安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

定远县民族中学2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
命题：，使得成立，若为假命题，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
已知函数是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，若，则( )
A. B. C. D.
函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数，，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作 ( )
A. B. C. D.
窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
若数列满足，则的前项和为( )
A. B. C. D.
函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若关于的不等式的解集为，则
D. 若，则“”是“”的必要不充分条件
设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B. 为奇函数
C. 在上为减函数 D. 方程恰有个实数解
已知偶函数，的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列结论不正确的是( )
A. 函数
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称
D. 当时，函数的零点是
如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，则( )
A. B.
C. 的最大值为 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
设数列的每一项均为正数，且，且有，则
若单位向量，满足，则与的夹角为 ．
年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间单位：年的衰变规律满足表示碳原有的质量，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约 年．参考数据：，，
已知是上的偶函数，且若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
数列满足：，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设，数列的前项和为，求满足的最小正整数．
本小题分
记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知．
求证：；
若 ，求的最大值．
本小题分
党的十九大以来，恩施州深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化对接帮扶，州委州政府派恩施高中到杨家庄村去考察和指导工作该村较为贫困的有户农民，且都从事农业种植，据了解，平均每户的年收入为万元为了调整产业结构，恩施高中和杨家庄村委会决定动员部分农民从事白茶加工，据估计，若能动员户农民从事白茶加工，则剩下的继续从事农业种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事白茶加工的农民平均每户收入将为万元．
若动员户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入，求的取值范围；
在的条件下，要使这户农民中从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，求的最大值．
本小题分
已知向量，，，函数，且满足函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
求的表达式，并求方程在闭区间上的解；
在中，角，，的对边分别为，，已知，，求．
本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．
求实数，的值；
求函数在区间上的解析式，并利用定义证明函数在上的单调性．
本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
若函数没有零点，求实数的取值范围；
若函数，的最大值为，求实数的值．
答案和解析
1. 【解析】集合，
，
则，
．故答案选：．
2. 【解析】由题意，为假命题，故命题的否定为真命题，故，，
故，，又当时，，
当且仅当时，等号成立，所以的取值范围是．故选A．
3. 【解析】因为为奇函数，所以，
又为偶函数，所以，
所以，即，所以，
故是以为周期的周期函数．
由，易得，，
所以，所以，，解得，，
所以
4. 【解析】函数定义域为，，
所以函数为奇函数，
取，，排除答案A，
时，，，排除答案B，．故选C．
5. 【解析】根据图像：函数过点，代入，得，解的，
故，
当时，取，解得，小时分钟．故选：．
6. 【解析】取的中点，则
，
当点与点或点重合时，取得最大值，且最大值为，
故的最大值为．故选D．
7. 【解析】数列满足，
则数列的前项和为：
．故选D．
8. 【解析】由图可知，的最小正周期满足，
所以，所以，
因为，
且，所以，
所以，
故．故选：．
9. 【解析】：当时，满足，但，错误；
：，
而，则，故，
所以，即，正确；
：由题意得，可得，故，正确；
：当时，，而不成立，则必要性不成立，错误．故选：
10. 【解析】由题设，则关于对称，即，
又，则关于对称，即，
所以，故，
所以，故，
所以的周期为，
，A正确，
由周期性知：，故为奇函数，B正确
由题意，在与上单调性相同，而，递增，
关于对称知：在上递增，故上递增，
所以函数在上是增函数，C错误
的根等价干与交点横坐标，
所以如下图示函数图象：共有个交点， D正确．

11. 【解析】
，因为，所以最小正周期，得，
因为为偶函数，所以，，
因为，所以，
所以，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，故A错误；
对于，当时，，
而函数在上不单调，因此函数在区间上不单调，B错误；
对于，当时，，故为的最小值，
因此函数的图象关于直线对称，C正确；
对于，令，得：，，
当时，函数的零点是，故正确．故选AB．
12. 【解析】
，故A正确
过作交于，则，，
，
由向量关系知：，即，故B正确
由知，当且仅当时成立，故C错误
由，，
， ，
则
，
当且仅当时成立，故D正确．故答案选ABD．
13.
【解析】由题意知，
因为，所以，
令，所以，故是以首项为，公比为的等比数列．
即，，故．
14.
【解析】根据题意，设与的夹角为，
单位向量，满足，
则有，
即，解得： ，
又由，则，故答案为：．
15.
【解析】碳的质量是原来的，
由题意可知，
两边同时取以为底的对数得，
，
．
此推测良渚古城存在的时期距今约在年，
故答案为．
16.
【解析】由，可得或．
因为是上的偶函数，作出的函数图象如图所示：
由题意得，方程或有三个不相等的实数根，
由图象可得只有一解，
故有两解，
或，
解得：或．
故答案为：．
17.【解：Ⅰ由题意，，
当时，，
两式相减得，，即．
当时，也符合，
；
Ⅱ，
．
由，解得．
满足的最小正整数．
18.解：，
，
为锐角三角形，
，
，
在中，由正弦定理
，
，
令，，
，
当且仅当时取“”，
．
19.解：动员户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入。
则，解得
由于从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，
则，，化简得，．
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以的最大值为．
20.解：因为，，
所以
．
因为，所以，故，
即．
因为，所以，
又，所以，
所以或或，
即或或．
所以方程在闭区间上的解为或或．
由知，
所以，，即，．
因为，所以，，．
又，由正弦定理，
得，
整理得，
因为，所以，所以，
又，得，
所以
．
21.解：函数是定义在上的奇函数，
，即，，
又因为，所以，
即，所以，
综上可知，，
由可知当时，，
当时，，且函数是奇函数，
，
当时，函数的解析式为，
任取，，且，则
，
，，且，
，，，
于是，即，
故在区间上是单调增函数．
22.解：是偶函数，，
即对任意恒成立，
，
；
函数没有零点，即方程无实数根．
令，则函数的图象与直线无交点，
，
又，，
的取值范围是．
由题意，，
令，，，
当，即时，，；
当，即时，，解得舍去．
综上可知，实数．