北师大版九年级数学上册《1.3.2正方形的判定》 教学课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
学习目标
探索并证明正方形的判定定理，进一步发展推理能力；
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
掌握中点四边形的性质及判定中点四边形形状的方法；
矩形
菱形
正方形
平行四边形
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角且有一组邻边相等
还记得前面学行四边形、菱形、矩形和正方形之间的关系图吗？
知识回顾
平行四边形
矩形
菱形
正方形
知识回顾
新知探究
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？
？
正方形的判定
思考：满足什么条件的矩形是正方形？
新知探究
有一组邻边相等的矩形是正方形；
矩 形
正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形.
思考：满足什么条件的菱形是正方形？
请证明你的结论，并与同伴交流.
有一个角是直角的菱形是正方形；
新知探究
菱 形
正方形
对角线相等的菱形是正方形.
结论证明
如图，矩形ABCD中，AB=AD.求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
AB=CD，AD=BC，
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴矩形ABCD是正方形.
A
D
C
B
如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直.
求证：矩形ABCD是正方形.
A
D
C
B
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵AC⊥BD.
∴∠AOD=∠AOB=90°，
在△AOB和△AOD中，
OB=OD，∠AOB=∠AOD，OA=OA，
∴△AOB≌△AOD，∴AB=AD.
∴矩形ABCD是正方形.
结论证明
结论证明
如图，在菱形ABCD中，∠A=90°.求证：菱形ABCD是正方形.
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∠A=∠C，∠B=∠D.
又∵∠A=90°，∴∠C=90°.
∵∠A+∠B=180°，∴∠B=90°.
∴菱形ABCD是正方形.
结论证明
如图，在菱形ABCD中，AC=BD.求证：菱形ABCD是正方形.
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
在△ABD和△BAC中，
AB=BA，AD=BC，BD=AC，
∴△ABD≌△BAC，
∴∠DAB=∠CBA.
∵∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠DAB=∠CBA=90°.
∴菱形ABCD是正方形.
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.
知识精讲
定理 对角线相等的菱形是正方形.
定理 有一个角是直角的菱形是正方形.
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形.
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形？先猜一猜，再证明.
新知探究
以正方形四边中点为顶点的四边形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
而，，，分别为各边中点，
故△A≌△B≌△≌△.
∴===，∠=∠=45°，
∴∠=90°.∴四边形是正方形.
以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？
先猜一猜，再证明.
新知探究
依次连接菱形各边中点可得矩形；
依次连接矩形各边中点可得菱形.
依次连接任意四边形各边中点就能得到一个中点四边形.
（1）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边的中点.求证：四边形EFGH是矩形.
A
B
C
D
H
E
F
G
O
结论证明
证明：连接AC，BD，相交于点O.在△ABD中，
∵E，H分别为AB，AD的中点，∴EH∥BD.
在△CBD中，∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG∥BD，∴EH∥FG.同理，可证EF∥HG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.∴∠1=∠AOD=90°.
∴∠EHG=∠1=90°，∴ EFGH为矩形.
1
（2）已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边的中点.求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连接AC，BD，相交于点O，
同（1）可得，四边形EFGH为平行四边形.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD.
∵EH=BD，HG=AC.
∴EH=HG.
∴ EFGH为菱形.
A
B
C
D
H
E
F
G
O
结论证明
以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？
如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
依次连接平行四边形各边中点可得平行四边形.
依次连接四边形各边中点所得的新四边形的形状与原四边形
的对角线有关：
四边形
对角线互相垂直
对角线相等
中点四边形为矩形
中点四边形为菱形
探究思考
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.
∴∠EBC=∠ECB.
∴EB=EC.
典例精讲
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
∴ BECF是菱形（菱形的定义）.
在△EBC中，
∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，
∴∠BEC=90°.
∴菱形BECF是正方形（有一个角
是直角的菱形是正方形）.
典例精讲
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理 对角线相等的菱形是正方形.
定理 有一个角是直角的菱形是正方形.
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形.
四边形对角线互相垂直，中点四边形为______.
四边形对角线相等，中点四边形为______.
课堂小结
正方形的判定
矩形
菱形
1. ABCD是正方形须加的条件是（ ）
A.对角线互相垂直且相等 B.对角线相等
C.一组邻边相等 D.对角互补
2.矩形、菱形、正方形都有的性质是（ ）
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角
3.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能找到一点，使该点到各边距离相等的四边形是（ ）
A.平行四边形、菱形、 B.菱形、矩形
C.矩形、正方形 D.菱形、正方形
A
D
B
巩固练习
4.直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC.求证：四边形CEDF是正方形.
A
B
C
D
E
F
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
∴∠FCD=∠ECD=45°，∴∠FDC=45°，
∵ CD平分∠ACB，
∴ 四边形CEDF为矩形.
又∵∠ACB=90°，
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°，
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴CF=FD，
巩固练习