北师大版九年级数学上册 1.2.1矩形的性质 教学课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
学习目标
理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系;
经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力;
能够用综合法证明矩形的性质定理以及其他相关结论，
探索并掌握直角三角形的性质定理.
进一步发展演绎推理能力;
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
新知引入
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是特殊的平行四边形，
它具有一般平行四边形的所有性质.
新知探究
你能列举一些这样的性质吗？
是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
对边平行且相等；
对角相等；
对角线互相平分.
矩形
矩形是轴对称图形吗？
如果是，它有几条对称轴？
新知探究
矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是过每组对边中点的直线.
你认为矩形还具有哪些特殊的性质？
矩形的四个角都是直角.
通过观察，可以发现：矩形的对角线相等.
新知探究
你能证明这些结论吗？
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB
（矩形的对角相等），
AB∥DC（矩形的对边平行）.
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
结论证明
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC（矩形的对边相等）.
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：（2）AC=DB.
结论证明
定理 矩形的四个角都是直角.
定理 矩形的对角线相等.
知识精讲
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
请你完成这个定理的证明.
新知探究
BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
因为BE=BD，BD=AC，
所以BE=AC.
已知：如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB.
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=DB.
∵DE=CD，
∴CE=AB.
又∵ ∠ACB=90°，
延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE.
证明：
∴四边形ACBE是平行四边形.
∴四边形ACBE是矩形，
∴CD=CE=AB.
A
C
B
E
D
定理证明
典例精讲
例 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.
解法1：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），
AC=BD（矩形的对角线相等），
OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的对角线互相平分）.
∴OA=OD.
∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=（180°-120°）=30°.
∴BD=2AB=2×2.5=5.
典例精讲
例 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.
解法2：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等），
OA=OC=AC，OB=OD=BD
（矩形的对角线互相平分）.
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.
∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=OB=2.5，
∴AC=2OA=2×2.5=5.
∴OA=OB.
例 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角），
AC=BD（矩形的对角线相等），
AO=CO=AC，BO=DO=BD（矩形的对角线互相平分）.
∴AO=BO=DO=BD.
∵ED=3BE，
∴BE=OE.
典例精讲
又∵AE⊥BD，
∴AB=AO.
∴AB=AO=BO，
即△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°－∠ABO=90°－60°=30°.
∴AE=AD=×6=3.
典例精讲
例 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.
课堂小结
矩形的性质
直角三角形的性质：
中心对称图形；对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.
轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是过每组对边中点的直线.
定理 矩形的四个角都是直角.
定理 矩形的对角线相等.
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的定义：_______________的平行四边形叫做矩形.
有一个角是直角
1.下列说法错误的是（ ）
A.矩形的对角线互相平分
B.矩形的对角线相等
C.有一个角是直角的四边形是矩形
D.矩形有平行四边形的所有性质，是特殊的平行四边形
C
平行四边形
巩固练习
2.填空：
（1）矩形的定义中有两个条件：一是______________，二是_________________．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为________、________、________、________．
平行四边形
有一个角是直角
A
B
C
D
120°
120°
60°
60°
巩固练习
3.如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm.求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，AO=OC=BO=OD．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°．
∴△AOB是等边三角形.
∴AO=BO=AB=4cm，
∴AC=AO+OC=AO+BO=8(cm)，
A
B
C
D
O
即矩形对角线的长为8cm.
巩固练习