2022-2023学年七年级数学上册（苏科版）专题6.3 余角、补角、对顶角（知识解读）（含解析）

专题6.3 余角、补角、对顶角（知识解读）
【学习目标】
1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．
3.理解并掌握对顶角和邻补角定义，性质，会运用其性质进行有关的运算。
【知识点梳理】
考点1 余角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
考点2 补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．
（2）补角的性质：同角（等角）的补角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
考点3：相交线
（1）相交线概念:两条不同的直线，如有公共点则称这两条直线相交，这个公共点称为两条直线的交点。
（1）相交线的性质：两直线相交只有一个交点。
注意：（1）两条直线相交可以形成四个角。
（2）其中不超过的角称为两直线的夹角。
（3）两直线有一个交点，则两直线相交。
两线四角:两条直线相交，会出现四个角。
考点4 对顶角
（1）概念：∠1与∠3 有公共顶点O，而没有公共边，其中∠1的两边OA、OD是∠3的两边OB、OC的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角。
互为对顶角：∠1=∠3, ∠2=∠4.
（2）对顶角的性质：对顶角相等
考点5 邻补角的
（1）概念：如图：∠1与∠2有一条公共边OD，它们的另外一条边为OA、OB互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。
互为邻补角：∠1与∠2，∠2与∠3， ∠3与∠4，∠1与∠4。
（2）性质：邻补角相加180°
【典例分析】
【考点1 余角和补角及有关运算】
【典例1-1】（2022秋 思明区校级月考）已知∠α＝25°30'，则它的补角为（　　）
A．25°30′ B．64° 30' C．164° 30' D．154°30′
【典例1-2】（2022秋 泰山区校级月考）如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2022春 舞钢市期中）若∠A＝50°，则∠A的余角的度数是（　　）
A．40° B．130° C．90° D．180°
【变式1-1】（2021秋 重庆期末）已知∠α＝35°40′，则∠α的补角的度数为（　　）
A．55°60′ B．55°20′ C．144°60′ D．144°20′
【变式1-3】（2022 新华区校级一模）在下列各图中，∠1与∠2一定是互补关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例2】（2021秋 秀屿区校级期末）已知一个角的余角比它的补角的还少5°，求这个角．
【变式2-1】（2021秋 梁平区期末）若一个角的补角加上20°后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【变式2-2】（2021秋 启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【变式2-3】（2022春 聊城期末）一个角的补角加上30°后，等于这个角的余角的4倍，则这个角的度数为（　　）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【典例3】（2021秋 栾城区期末）如图，点A、O、B在同一条直线上．
（1）∠AOC比∠BOC大100°，求∠AOC与∠BOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠BOC与∠BOD互余，求∠BOD的度数；
（3）在（1）（2）的条件下，若OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．
【变式3】（2021秋 西宁期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．
（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度数；
（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度数．
【典例4】（2021秋 阳东区期末）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
（1）如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；
（2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由；
（3）如图③，若将两个同样的三角板中60°锐角的顶点A叠放在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，并说明理由．
【变式4】（2021秋 泰兴市期末）将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，则∠DOC＝　　°，∠DOC与∠AOB的关系是 　　；
（2）如图②，固定三角板BOD不动，将三角板AOC绕点O旋转到如图所示位置．
①（1）中你发现的∠DOC与∠AOB的关系是否仍然成立，请说明理由；
②如图②，若∠BOC＝70°，在∠BOC内画射线OP，设∠BOP＝x°（0＜x＜50），探究发现随着x的值的变化，图中以O为顶点的角中互余角的对数也变化．请直接写出以O为顶点的角中互余角的对数有哪几种情况？并写出每一种情况相应的x的取值或取值范围．
【考点2 相交线】
【典例5】（2022春 龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（　　）
A．10 B．14 C．21 D．15
【变式5-1】（2021秋 让胡路区校级期末）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（　　）个．
A．3个 B．1或3个
C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
【变式5-2】（2022春 昭阳区校级月考）已知2条直线最多有＝1个交点，3条直线最多有＝3个交点，4条直线最多有＝6个交点，…由此猜想，8条直线最多有个交点（　　）
A．16 B．28 C．32 D．40
【考点3 对顶角和邻补角及有关运算】
【典例6】（2022秋 南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式6】（2022春 江津区校级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例7】（2022春 重庆月考）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式7】（2022春 横县期中）下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例8】（2022春 仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（　　）
A．42° B．48° C．96° D．132°
【变式8-1】（2022春 来凤县期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝70°，则∠BOD度数是（　　）
A．75° B．65° C．55° D．105°
【变式8-2】（2022春 东莞市期中）若∠A＝54°，则∠A的邻补角是（　　）
A．36° B．126° C．46° D．136°
【典例9】（2022春 和平区校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数；
（2）猜想OA与OB之间的位置关系，并证明．
【变式9-1】（2022春 碑林区校级月考）如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，∠COF：∠AOC＝2：3，射线OE平分∠BOF，求∠BOD的度数．
【变式9-2】（2022春 鼓楼区期中）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）写出图中∠BOD的对顶角 　 　，和两个邻补角 　 ；
（2）若∠BOD＝40°，求∠EOC的度数．
【变式9-3】（2022春 东莞市期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠COB的角平分线．
（1）∠AOC的对顶角是 　 　；
（2）若∠BOC＝130°，求∠BOD、∠DOE的度数．
专题6.3 余角、补角、对顶角（知识解读）
【学习目标】
1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．
3.理解并掌握对顶角和邻补角定义，性质，会运用其性质进行有关的运算。
【知识点梳理】
考点1 余角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
考点2 补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．
（2）补角的性质：同角（等角）的补角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
考点3：相交线
（1）相交线概念:两条不同的直线，如有公共点则称这两条直线相交，这个公共点称为两条直线的交点。
（1）相交线的性质：两直线相交只有一个交点。
注意：（1）两条直线相交可以形成四个角。
（2）其中不超过的角称为两直线的夹角。
（3）两直线有一个交点，则两直线相交。
两线四角:两条直线相交，会出现四个角。
考点4 对顶角
（1）概念：∠1与∠3 有公共顶点O，而没有公共边，其中∠1的两边OA、OD是∠3的两边OB、OC的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角。
互为对顶角：∠1=∠3, ∠2=∠4.
（2）对顶角的性质：对顶角相等
考点5 邻补角的
（1）概念：如图：∠1与∠2有一条公共边OD，它们的另外一条边为OA、OB互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。
互为邻补角：∠1与∠2，∠2与∠3， ∠3与∠4，∠1与∠4。
（2）性质：邻补角相加180°
【典例分析】
【考点1 余角和补角及有关运算】
【典例1-1】（2022秋 思明区校级月考）已知∠α＝25°30'，则它的补角为（　　）
A．25°30′ B．64° 30' C．164° 30' D．154°30′
【答案】D
【解答】解：180°﹣25°30′＝154°30′．
故选：D．
【典例1-2】（2022秋 泰山区校级月考）如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠C＝90°；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
故图中与∠B互余的角有2个．
故选：B．
【变式1-1】（2022春 舞钢市期中）若∠A＝50°，则∠A的余角的度数是（　　）
A．40° B．130° C．90° D．180°
【答案】A
【解答】解：∠A的余角＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：A．
【变式1-1】（2021秋 重庆期末）已知∠α＝35°40′，则∠α的补角的度数为（　　）
A．55°60′ B．55°20′ C．144°60′ D．144°20′
【答案】D
【解答】解：∵∠α＝35°40′，
∴∠α的补角的度数为180°﹣35°40′＝144°20′．
故选：D．
【变式1-3】（2022 新华区校级一模）在下列各图中，∠1与∠2一定是互补关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：对于A选项，∠1与∠2为对顶角，
∴∠1＝∠2，不一定是互补关系，
故A选项错误；
对于B选项，由平角的定义可得∠1+∠2＝180°，
∴∠1与∠2是互补关系，
故B选项正确；
对于C选项，根据三角形内角和定理可知，
∠1+∠2＝90°，
∴∠1与∠2是互余关系，
故C选项错误；
对于D选项，∠1与∠2为同旁内角，
当两直线平行时，∠1与∠2互补，否则不一定互补，
故D选项错误．
故选：B．
【典例2】（2021秋 秀屿区校级期末）已知一个角的余角比它的补角的还少5°，求这个角．
【解答】解：设这个角的度数是x°，
则90﹣x＝（180﹣x）﹣5，
解得：x＝27，
即这个角的度数是27°，
答：这个角的度数是27°．
【变式2-1】（2021秋 梁平区期末）若一个角的补角加上20°后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解答】解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，补角180°﹣x，
根据题意得，180°﹣x+20°＝3（90°﹣x），
解得x＝35°．
故选：B．
【变式2-2】（2021秋 启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），
解得：α＝30°．
故这个角的度数为30°．
故选：A．
【变式2-3】（2022春 聊城期末）一个角的补角加上30°后，等于这个角的余角的4倍，则这个角的度数为（　　）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】B
【解答】解：设这个角的度数为x．
由题意得，180°﹣x+30°＝4（90°﹣x）．
∴x＝50°．
故选：B
【典例3】（2021秋 栾城区期末）如图，点A、O、B在同一条直线上．
（1）∠AOC比∠BOC大100°，求∠AOC与∠BOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠BOC与∠BOD互余，求∠BOD的度数；
（3）在（1）（2）的条件下，若OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC比∠BOC大100°，
∴∠AOC＝∠BOC+100°，
又点A、O、B在同一条直线上．
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC+100°+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝40°，
∠AOC＝140°；
（2）∵∠BOC与∠BOD互余，
∴∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣40°＝50°；
（3）∵OE平分∠AOC，
∴得∠COE＝∠AOC＝70°，
∵∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝∠COE+∠BOD+∠BOC
＝70°+90°
＝160°．
【变式3】（2021秋 西宁期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．
（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度数；
（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝3∠COD，∠COD＝10°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠AOC的余角＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOC的余角的度数是60°；
（2）∵∠AOC＝3∠COD，∠AOC＝45°，
∴，
∵点A，O，B在一条直线上，
∴∠AOB＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝15°+60°＝75°，
∴∠COE的度数为75°．
【典例4】（2021秋 阳东区期末）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
（1）如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；
（2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由；
（3）如图③，若将两个同样的三角板中60°锐角的顶点A叠放在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，并说明理由．
【解答】解：（1）CB是∠ECD的平分线，
理由：∵∠ACB＝90°，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCB＝∠ECD﹣∠ECB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ECB＝∠DCB，
∴CB是∠ECD的平分线；
（2）∠ACE＝∠DCB，
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠ECB＝90°，∠DCB+∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB；
（3）∠DAB+∠EAC＝120°，
理由：∵∠DAC＝∠EAB＝60°，
∴∠DAE+∠EAC＝60°，∠EAC+∠CAB＝60°，
∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB＝120°，
∵∠DAE+∠EAC+∠CAB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAE＝120°．
【变式4】（2021秋 泰兴市期末）将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，则∠DOC＝　　°，∠DOC与∠AOB的关系是 　　；
（2）如图②，固定三角板BOD不动，将三角板AOC绕点O旋转到如图所示位置．
①（1）中你发现的∠DOC与∠AOB的关系是否仍然成立，请说明理由；
②如图②，若∠BOC＝70°，在∠BOC内画射线OP，设∠BOP＝x°（0＜x＜50），探究发现随着x的值的变化，图中以O为顶点的角中互余角的对数也变化．请直接写出以O为顶点的角中互余角的对数有哪几种情况？并写出每一种情况相应的x的取值或取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝155°，
∴∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝25°，
∴∠AOB+∠COD＝155°+25°＝180°；
故答案为：25；互补；
（2）①成立；
理由：∠DOC+∠AOB
＝∠AOC﹣∠AOD+∠DOB+∠AOD
＝∠AOC+∠DOB
＝90°+90°
＝180°；
②∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝20°，
∴∠AOD＝70°；此时有两对角互余，∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD；
当共有3种情况：
当x＝35时，∠BOP＝∠COP＝35°，则∠BOP+∠DOP＝∠COP+∠DOP＝90°，
此时互余的角有4对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠BOP和∠DOP，∠COP和∠DOP；
当x＝20时，∠BOC＝∠AOD＝∠DOP＝70°，∠COD＝∠COP＝20°，
此时，互余的角有6对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠DOP和∠COD，∠AOD和∠BOP，∠BOC和∠BOP，∠DOP和∠BOP；
当0＜x＜50且x≠35和20时，
此时互余的角有3对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠BOP和∠DOP．
【考点2 相交线】
【典例5】（2022春 龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（　　）
A．10 B．14 C．21 D．15
【答案】A
【解答】解：两条直线相交，最多交点数为1个；
三条直线相交，最多交点数为1+2＝3（个）；
四条直线相交，最多交点数为1+2+3＝6（个）；
五条直线相交，最多交点数为1+2+3+4＝10（个）．
故选：A．
【变式5-1】（2021秋 让胡路区校级期末）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（　　）个．
A．3个 B．1或3个
C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
【答案】D
【解答】解：当三条直线平行时，交点个数为0；
当三条直线相交于1点时，交点个数为1；
当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；
当三条直线互相不平行时，交点个数为3；
所以，它们的交点个数有4种情形．
故选：D．
【变式5-2】（2022春 昭阳区校级月考）已知2条直线最多有＝1个交点，3条直线最多有＝3个交点，4条直线最多有＝6个交点，…由此猜想，8条直线最多有个交点（　　）
A．16 B．28 C．32 D．40
【答案】B
【解答】解：∵2条直线最多有＝1个交点，
3条直线最多有＝3个交点，
4条直线最多有＝6个交点，
……
n条直线最多有个交点，
∴n＝8时，＝＝28．
故选：B
【考点3 对顶角和邻补角及有关运算】
【典例6】（2022秋 南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由对顶角的定义可知，
图中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【变式6】（2022春 江津区校级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有C选项中的是对顶角，其它都不是．
故选：C．
【典例7】（2022春 重庆月考）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据邻补角的定义可知，
图中的∠1与∠2是邻补角，
故选：C．
【变式7】（2022春 横县期中）下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．根据邻补角的定义，A中∠1与∠2不是邻补角，那么A不符合题意．
B．根据邻补角的定义，B中∠1与∠2是对顶角，那么B不符合题意．
C．根据邻补角的定义，C中∠1与∠2是邻补角，那么C符合题意．
D．根据邻补角的定义，D中∠1与∠2不是邻补角，那么D不符合题意．
故选：C．
【典例8】（2022春 仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（　　）
A．42° B．48° C．96° D．132°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB和∠COD是对顶角，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠AOB＝48°，
∴∠COD＝48°．
故选：B．
【变式8-1】（2022春 来凤县期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝70°，则∠BOD度数是（　　）
A．75° B．65° C．55° D．105°
【答案】C
【解答】解：由邻补角的定义得，
∠COE＝180﹣∠DOE＝110°，
∵∠COE＝110°且OA平分∠COE，
∴∠COA＝∠AOE＝55°，
∵∠COA与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD＝∠COA＝55°．
故选：C．
【变式8-2】（2022春 东莞市期中）若∠A＝54°，则∠A的邻补角是（　　）
A．36° B．126° C．46° D．136°
【答案】B
【解答】解：∠A＝54°，则∠A的邻补角为180°﹣54°＝126°，
故选：B．
【典例9】（2022春 和平区校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数；
（2）猜想OA与OB之间的位置关系，并证明．
【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣40°＝140°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠AOF，
∴∠COF＝×140°＝70°＝∠DOE，
即∠DOE＝70°；
（2）OA⊥OB，
证明：设∠BOD＝α，则∠AOE＝2∠BOD＝2α，
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣2α，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠COF＝＝90°﹣α，
又∵∠DOE＝∠COF＝90°﹣α，
∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣2α，
∴∠AOB＝∠AOE+∠BOE
＝2α+（90°﹣2α）
＝90°，
即OA⊥OB．
【变式9-1】（2022春 碑林区校级月考）如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，∠COF：∠AOC＝2：3，射线OE平分∠BOF，求∠BOD的度数．
【解答】解：∵射线OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，
由于∠COF：∠AOC＝2：3，可设∠COF＝2α，则∠AOC＝3α，
又∵∠COE＝80°，
∴∠BOE＝∠FOE＝∠BOF＝80°﹣2α，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴5α+2（80°﹣2α）＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOD＝∠AOC＝3α＝60°，
答：∠BOD的度数为60°
【变式9-2】（2022春 鼓楼区期中）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）写出图中∠BOD的对顶角 　 　，和两个邻补角 　 ；
（2）若∠BOD＝40°，求∠EOC的度数．
【解答】解；（1）∠BOD的对顶角是∠AOC，两个邻补角是∠AOD，∠BOC，
故答案为：∠AOC；∠AOD，∠BOC；
（2）∵OB平分∠EOD，
∴∠DOE＝2∠BOD＝80°，
∵∠EOC+∠DOE＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣∠DOE＝100°．
【变式9-3】（2022春 东莞市期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠COB的角平分线．
（1）∠AOC的对顶角是 　 　；
（2）若∠BOC＝130°，求∠BOD、∠DOE的度数．
【解答】解：（1）由对顶角的定义可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故答案为：∠BOD；
（2）∵∠BOC＝130°，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣130°＝50°，
又∵OE是∠COB的角平分线．
∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC＝65°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE
＝50°+65°
＝115°，
答：∠DOE的度数为115°．