数学人教A版(2019)选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质（共27张ppt）

(共27张PPT)
第三章
圆锥曲线
3.2.2双曲线的简单几何性质
一
二
三
教学目标
了解并掌握双曲线的几何性质：对称性，范围，顶点，渐近线，离心率
理解离心率的大小对双曲线开口大小的影响
能利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程
学习目标
难点
重点
易错点
复习回顾
焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.
焦点在y轴的双曲线y2项系数为正.
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
c2-a2=b2
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
新课导入
问题1类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
的哪些几何性质？如何研究这些性质？
范围、对称性、顶点、离心率
渐近线
下面，我们利用双曲线的标准方程
研究双曲线的几何性质.
新知探究
探究一：观察的形状，提炼出它的几何性质
观察双曲线 的形状, 你能从图上看出它的范围吗 它具有什么样的对称性 双曲线上哪些点比较特殊
1.范围
我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈R
x
y
-a
a
O
问题2 类比研究椭圆范围的方法，观察图中的双曲线，它有怎样的范围？
追问 可以从代数角度给予说明吗？
x
y
-a
a
O
从图形上看，双曲线
从方程上看：
(1)把x换成-x方程不变，图象关于 轴对称；
(2)把y换成-y方程不变，图象关于 轴对称；
(3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，
图象关于 成中心对称。
y
x
原点
坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心.
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
2.对称性
关于x轴、y轴、原点对称.
问题3 类比椭圆的对称性，观察双曲线的图像，双曲线有怎样的对称性？
但我们也把 这两点画在y轴上(图3.2-8).
3.顶点
F1
F2
O
x
y


A1

说明它与x轴有两个交点, 坐标分别为
B1(0,-b),
B2(0,b)
A1(－a,0),
A2(a,0).
说明它与y轴没有交点,
线段A1A2, B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别等于2a,2b. a和b分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长.
A2

B1

B2

图3.2-8
2a
2b
问题4 类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶点
它们叫做双曲线的顶点.
4.离心率
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率.
∵c>a>0
∴e >1
问题5 双曲线的离心率与椭圆的离心率的范围有什么不同？
e的范围
4.离心率
追问1 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征
发现:
e越大双曲线的开口就越“开阔”；
e越小，双曲线的开口就越“扁狭”
追问2：双曲线的离心率刻画了双曲线“张口”大小。可是这是为什么呢？这个悬念我们先暂时留一下，待到后面再讲。
5.渐近线
利用信息技术画出双曲线和两条直线.
问题5：观察图像并回答： 这两条直线有何特征？
x
y
B
1
B
2
O
F
2
F
1
A
2
A
1
5.渐近线
追问1 在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？
追问2：大家想不想知道其中的原因？
课后阅读课本128页的探究和发现
概念生成
一般地，双曲线()的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
追问1 如何记忆双曲线的渐近线方程？
在双曲线标准方程中，把“1”换成0即可！
追问2 渐近线对双曲线的开口有什么影响
渐近线与实轴的夹角越大，双曲线的开口也就越大
x
y
o
a
b
追问3 渐近线对画出双曲线简图有什么指导意义？
x
y
B
1
B
2
O
F
2
F
1
A
2
A
1
5.渐近线
这个矩形的对角线，也就是渐近线，可以比较快捷、较为准确地画出双曲线的图形。
画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。
当a=b时，这个矩形框是正方形，此时双曲线叫做等轴双曲线。
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1


y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1


等轴双曲线
等轴双曲线的离心率e=
渐近线与离心率
问题7：离心率对双曲线图形形状的影响
x
y
B
1
B
2
O
F
2
F
1
A
2
A
1
新知探究二：—-焦点在轴时双曲线的性质
图象 范围 对称性 顶点 渐近线
离心率
或
或
关于坐标轴和原点都对称
性质
双曲线
关于坐标轴和原点都对称
例3 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程, 并画出双曲线草图.
解：
3
-3
4
-4
x
y
O


F1(0,-5)
F2(0,5)
课堂例题
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
解：
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
解：
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
解：
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
解：
解：
解：
解：
解：
图象 范围 对称性 顶点 渐近线
离心率
或
或
关于坐标轴和原点都对称
总结双曲线的几何性质
性质
双曲线
关于坐标轴和原点都对称
课堂小结