人教版八年级上册数学 第十五章 分式 综合测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学 第十五章 分式 综合测试题（含解析） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 49.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-29 00:00:00 | ||
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文档简介
八年级上数学《第十五章 分式》综合测试题
考试时间：90分钟； 试卷满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，共30分）
1．（2022 怀化）代数式x，，，x2，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2021春 拱墅区期末）要使分式有意义，则（ ）
A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1
3．（2022春 莲池区期末）2020年国产芯片迎来最好的时刻，中芯国际宣布中芯南方厂第一代14纳米FinFET工艺，即中国首条14纳米芯片生产线已成功投产，月产能为3.5万片．其中14纳米＝0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣8 C．1.4×10﹣9 D．14×10﹣9
4．（2021秋 沂水县期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022春 东明县期末）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021秋 绥棱县期末）2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．6 B．6
C．6 D．6
7．（2022春 内江期末）如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
8．（2022 建平县模拟）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021春 亭湖区校级月考）若a＞1，则a﹣2、a、a2的大小关系是（ ）
A．a﹣2＜a＜a2 B．a＜a2＜a﹣2 C．a2＜a＜a﹣2 D．a2＜a﹣2＜a
10．（2022 渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
二．填空题（共8小题，共24分）
11．（2021秋 呼和浩特期末）当x＝ 时，分式的值为0．
12．（2022 金华）若分式的值为2，则x的值是 ．
13．（2022秋 通州区期中）分式，的最简公分母是 ．
14．（2022 温州）计算： ．
15．（2022 菏泽）若a2﹣2a﹣15＝0，则代数式（a） 的值是 ．
16．（2022秋 莱阳市期中）甲、乙两个火车站相距720km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2h，则火车原来的速度为 ．
17．（2022秋 芝罘区期中）已知a2﹣3a+1＝0，则2a2﹣3a的值是 ．
18．（2022秋 烟台期中）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 ．
三．解答题（共66分）
19．（每小题4分，共16分）计算：
（1）﹣12022+（2022﹣π）0﹣（）﹣2+（﹣2）3． （2）
（3）． （4）（1）．
20．（每小题4分，共8分）解方程：
（1）； （2）1．
21．（6分）（2021 天河区校级二模）先化简，再求值：（），其中x＝2．
22．（6分）（2022 武功县模拟）端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进A、B两种品牌的粽子进行销售，据了解，用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，且每袋B品牌粽子的价格是每袋A品牌粽子价格的1.2倍，求每袋A品牌粽子的价格．
23．（6分）如果关于x的方程3无解，试求m的值？
24．（6分）（2022春 驿城区校级期末）请仿照例子解题：
恒成立，求M、N的值．
解：∵，
∴，则，
即，故，
解得：，请你按照上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．
25．（8分）若关于x的方程2的解为正数，求m的取值范围．
26．（10分）（2021秋 十堰期末）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
八年级上数学《第十五章 分式》综合测试题（解析版）
考试时间：90分钟； 试卷满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，共30分）
1．（2022 怀化）代数式x，，，x2，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．
【解答】解：分式有：，，，
整式有：x，，x2，
分式有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字．
2．（2021春 拱墅区期末）要使分式有意义，则（ ）
A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：要使分式有意义，
则x+1≠0，
解得，x≠﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3．（2022春 莲池区期末）2020年国产芯片迎来最好的时刻，中芯国际宣布中芯南方厂第一代14纳米FinFET工艺，即中国首条14纳米芯片生产线已成功投产，月产能为3.5万片．其中14纳米＝0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣8 C．1.4×10﹣9 D．14×10﹣9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2021秋 沂水县期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．
【解答】解：A.，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意；
C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；
D.，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
5．（2022春 东明县期末）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
6．（2021秋 绥棱县期末）2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．6 B．6
C．6 D．6
【分析】根据租车数量＝总人数÷每辆车乘坐的人数，结合单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设A型客车每辆坐x人，则B型客车每辆坐（x+15）人，
依题意得：6．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2022春 内江期末）如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
【分析】根据题意可得 ，即可求解．
【解答】解：x，y同时变为原来的4倍，
则有 ，
∴该分式的值是原分式值的，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质；熟练掌握分式的基本性质，准确计算是解题的关键．
8．（2022 建平县模拟）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9．（2021春 亭湖区校级月考）若a＞1，则a﹣2、a、a2的大小关系是（ ）
A．a﹣2＜a＜a2 B．a＜a2＜a﹣2 C．a2＜a＜a﹣2 D．a2＜a﹣2＜a
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数大小比较方法得出答案．
【解答】解：∵a＞1，
∴a﹣21，a2＞a，
∴a﹣2＜a＜a2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数大小比较，正确掌握有理数比较大小的方法是解题关键．
10．（2022 渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
【分析】利用不等式组的解为x＞2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相加即可得出结论．
【解答】解：∵不等式组的解集为x＞2，
∴a﹣2≤2．
∴a≤4．
关于y的分式方程1的解为y．
∵y＝3是原分式方程的增根，
∴3．
∴a≠3．
∵关于y的分式方程1的解为正整数，
∴为正整数．
∴a＝2，4，7．
∵a≤4，
∴a＝2，4．
∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，注意解分式方程可能产生增根是解题的关键．
二．填空题（共8小题，共24分）
11．（2021秋 呼和浩特期末）当x＝ 时，分式的值为0．
【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣9＝0，且3﹣x≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣9＝0，且3﹣x≠0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12．（2022 金华）若分式的值为2，则x的值是 ．
【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．
【解答】解：由题意得：2，
去分母得：2＝2（x﹣3），
去括号得：2x﹣6＝2，
移项，合并同类项得：2x＝8，
∴x＝4．
经检验，x＝4是原方程的根，
∴x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．
13．（2022秋 通州区期中）分式，的最简公分母是 10bc2 ．
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案．
【解答】解：分式，的最简公分母是10bc2．
故答案为：10bc2．
【点评】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．
14．（2022 温州）计算： 2 ．
【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．
【解答】解：原式，
，
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．
15．（2022 菏泽）若a2﹣2a﹣15＝0，则代数式（a） 的值是 15 ．
【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．
【解答】解：（a）
＝a2﹣2a，
∵a2﹣2a﹣15＝0，
∴a2﹣2a＝15，
∴原式＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（2022秋 莱阳市期中）甲、乙两个火车站相距720km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2h，则火车原来的速度为 100km/h ．
【分析】设火车原来的速度为xkm/h，则提速后的速度为1.2xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合提速后从甲站到乙站的时间缩短1.2h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设火车原来的速度为xkm/h，则提速后的速度为1.2xkm/h，
根据题意得：1.2，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
∴火车原来的速度为100km/h．
故答案为：100km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17．（2022秋 芝罘区期中）已知a2﹣3a+1＝0，则2a2﹣3a的值是 6 ．
【分析】根据等式的性质得到a3，根据完全平方公式求出a27，计算即可．
【解答】解：∵a2﹣3a+1＝0，
∴a≠0，a2﹣3a＝﹣1，
∴a3，
∴（a）2＝9，即a2+29，
∴a27，
则原式＝a2﹣3a+a21+7＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
18．（2022秋 烟台期中）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 m＞2且m≠3 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为负数确定出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（x+3）＝3（x+m），
解得：x＝﹣3m+6，
由分式方程解为负数，
∴﹣3m+6＜0，且﹣3m+6≠﹣3且﹣3m+6≠﹣m，
解得：m＞2且m≠3．
故答案为：m＞2且m≠3．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
三．解答题（共66分）
19．（每小题4分，共16分）计算：
（1）﹣12022+（2022﹣π）0﹣（）﹣2+（﹣2）3． （2）
（3）． （4）（1）．
【分析】（1）先算乘方运算，再合并即可；
（2）先将除化为乘，分解因式约分，再计算同分母分式相加减．
（3）先把分母因式分解，再把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
（4）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．
【解答】解：（1）解：原式＝﹣1+1﹣9+（﹣8）
＝﹣17；
（2）原式 （x+1）
．
（3）原式＝[]
．
（4）原式
．
【点评】本题考查实数及分式的混合运算，解题的关键是掌握实数、分式运算的相关法则及运算顺序．
20．（每小题4分，共8分）解方程：
（1）； （2）1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣1﹣x2+1＝1，即x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴此方程无解，
则原分式方程无解；
（2）去分母得：4x﹣x+2＝﹣3，
解得：x，
检验：把x代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（6分）（2021 天河区校级二模）先化简，再求值：（），其中x＝2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当x＝2时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（6分）（2022 武功县模拟）端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进A、B两种品牌的粽子进行销售，据了解，用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，且每袋B品牌粽子的价格是每袋A品牌粽子价格的1.2倍，求每袋A品牌粽子的价格．
【分析】设每袋A品牌粽子的价格为x元，则每袋B品牌粽子的价格为1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每袋A品牌粽子的价格．
【解答】解：设每袋A品牌粽子的价格为x元，则每袋B品牌粽子的价格为1.2x元，
依题意得：，
解得：x＝25．
经检验，x＝25 是原方程的解，且符合题意．
答：每袋A品牌粽子的价格为25元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（6分）如果关于x的方程3无解，试求m的值？
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．
【解答】解：去分母得：m+3x﹣6＝x﹣1，
由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入方程得：m＝1．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
24．（6分）（2022春 驿城区校级期末）请仿照例子解题：
恒成立，求M、N的值．
解：∵，
∴，则，
即，故，
解得：，请你按照上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据分式相等的条件列出方程组，求出方程组的解即可得到M与N的值．
【解答】解：已知等式整理得：，
∴M（x﹣2）+N（x+2）＝x﹣8，
整理得：（M+N）x﹣2M+2N＝x﹣8，
∴，即，
①+②得：2M＝5，
解得：M，
①﹣②得：2N＝﹣3，
解得：N，
∴．
【点评】此题考查了分式的加减法，以及解二元一次方程组，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
25．（8分）若关于x的方程2的解为正数，求m的取值范围．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数，求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
解得：x，
由分式方程解为正数，得到x＞0且x≠2，
∴0，且2，
解得：m＜6且m≠0．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分式方程分母不为0这个条件．
26．（10分）（2021秋 十堰期末）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，由题意：A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
考试时间：90分钟； 试卷满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，共30分）
1．（2022 怀化）代数式x，，，x2，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2021春 拱墅区期末）要使分式有意义，则（ ）
A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1
3．（2022春 莲池区期末）2020年国产芯片迎来最好的时刻，中芯国际宣布中芯南方厂第一代14纳米FinFET工艺，即中国首条14纳米芯片生产线已成功投产，月产能为3.5万片．其中14纳米＝0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣8 C．1.4×10﹣9 D．14×10﹣9
4．（2021秋 沂水县期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022春 东明县期末）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021秋 绥棱县期末）2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．6 B．6
C．6 D．6
7．（2022春 内江期末）如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
8．（2022 建平县模拟）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021春 亭湖区校级月考）若a＞1，则a﹣2、a、a2的大小关系是（ ）
A．a﹣2＜a＜a2 B．a＜a2＜a﹣2 C．a2＜a＜a﹣2 D．a2＜a﹣2＜a
10．（2022 渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
二．填空题（共8小题，共24分）
11．（2021秋 呼和浩特期末）当x＝ 时，分式的值为0．
12．（2022 金华）若分式的值为2，则x的值是 ．
13．（2022秋 通州区期中）分式，的最简公分母是 ．
14．（2022 温州）计算： ．
15．（2022 菏泽）若a2﹣2a﹣15＝0，则代数式（a） 的值是 ．
16．（2022秋 莱阳市期中）甲、乙两个火车站相距720km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2h，则火车原来的速度为 ．
17．（2022秋 芝罘区期中）已知a2﹣3a+1＝0，则2a2﹣3a的值是 ．
18．（2022秋 烟台期中）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 ．
三．解答题（共66分）
19．（每小题4分，共16分）计算：
（1）﹣12022+（2022﹣π）0﹣（）﹣2+（﹣2）3． （2）
（3）． （4）（1）．
20．（每小题4分，共8分）解方程：
（1）； （2）1．
21．（6分）（2021 天河区校级二模）先化简，再求值：（），其中x＝2．
22．（6分）（2022 武功县模拟）端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进A、B两种品牌的粽子进行销售，据了解，用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，且每袋B品牌粽子的价格是每袋A品牌粽子价格的1.2倍，求每袋A品牌粽子的价格．
23．（6分）如果关于x的方程3无解，试求m的值？
24．（6分）（2022春 驿城区校级期末）请仿照例子解题：
恒成立，求M、N的值．
解：∵，
∴，则，
即，故，
解得：，请你按照上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．
25．（8分）若关于x的方程2的解为正数，求m的取值范围．
26．（10分）（2021秋 十堰期末）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
八年级上数学《第十五章 分式》综合测试题（解析版）
考试时间：90分钟； 试卷满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，共30分）
1．（2022 怀化）代数式x，，，x2，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．
【解答】解：分式有：，，，
整式有：x，，x2，
分式有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字．
2．（2021春 拱墅区期末）要使分式有意义，则（ ）
A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：要使分式有意义，
则x+1≠0，
解得，x≠﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3．（2022春 莲池区期末）2020年国产芯片迎来最好的时刻，中芯国际宣布中芯南方厂第一代14纳米FinFET工艺，即中国首条14纳米芯片生产线已成功投产，月产能为3.5万片．其中14纳米＝0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣8 C．1.4×10﹣9 D．14×10﹣9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2021秋 沂水县期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．
【解答】解：A.，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意；
C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；
D.，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
5．（2022春 东明县期末）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
6．（2021秋 绥棱县期末）2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．6 B．6
C．6 D．6
【分析】根据租车数量＝总人数÷每辆车乘坐的人数，结合单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设A型客车每辆坐x人，则B型客车每辆坐（x+15）人，
依题意得：6．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2022春 内江期末）如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
【分析】根据题意可得 ，即可求解．
【解答】解：x，y同时变为原来的4倍，
则有 ，
∴该分式的值是原分式值的，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质；熟练掌握分式的基本性质，准确计算是解题的关键．
8．（2022 建平县模拟）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9．（2021春 亭湖区校级月考）若a＞1，则a﹣2、a、a2的大小关系是（ ）
A．a﹣2＜a＜a2 B．a＜a2＜a﹣2 C．a2＜a＜a﹣2 D．a2＜a﹣2＜a
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数大小比较方法得出答案．
【解答】解：∵a＞1，
∴a﹣21，a2＞a，
∴a﹣2＜a＜a2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数大小比较，正确掌握有理数比较大小的方法是解题关键．
10．（2022 渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
【分析】利用不等式组的解为x＞2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相加即可得出结论．
【解答】解：∵不等式组的解集为x＞2，
∴a﹣2≤2．
∴a≤4．
关于y的分式方程1的解为y．
∵y＝3是原分式方程的增根，
∴3．
∴a≠3．
∵关于y的分式方程1的解为正整数，
∴为正整数．
∴a＝2，4，7．
∵a≤4，
∴a＝2，4．
∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，注意解分式方程可能产生增根是解题的关键．
二．填空题（共8小题，共24分）
11．（2021秋 呼和浩特期末）当x＝ 时，分式的值为0．
【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣9＝0，且3﹣x≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣9＝0，且3﹣x≠0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12．（2022 金华）若分式的值为2，则x的值是 ．
【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．
【解答】解：由题意得：2，
去分母得：2＝2（x﹣3），
去括号得：2x﹣6＝2，
移项，合并同类项得：2x＝8，
∴x＝4．
经检验，x＝4是原方程的根，
∴x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．
13．（2022秋 通州区期中）分式，的最简公分母是 10bc2 ．
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案．
【解答】解：分式，的最简公分母是10bc2．
故答案为：10bc2．
【点评】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．
14．（2022 温州）计算： 2 ．
【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．
【解答】解：原式，
，
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．
15．（2022 菏泽）若a2﹣2a﹣15＝0，则代数式（a） 的值是 15 ．
【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．
【解答】解：（a）
＝a2﹣2a，
∵a2﹣2a﹣15＝0，
∴a2﹣2a＝15，
∴原式＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（2022秋 莱阳市期中）甲、乙两个火车站相距720km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2h，则火车原来的速度为 100km/h ．
【分析】设火车原来的速度为xkm/h，则提速后的速度为1.2xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合提速后从甲站到乙站的时间缩短1.2h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设火车原来的速度为xkm/h，则提速后的速度为1.2xkm/h，
根据题意得：1.2，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
∴火车原来的速度为100km/h．
故答案为：100km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17．（2022秋 芝罘区期中）已知a2﹣3a+1＝0，则2a2﹣3a的值是 6 ．
【分析】根据等式的性质得到a3，根据完全平方公式求出a27，计算即可．
【解答】解：∵a2﹣3a+1＝0，
∴a≠0，a2﹣3a＝﹣1，
∴a3，
∴（a）2＝9，即a2+29，
∴a27，
则原式＝a2﹣3a+a21+7＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
18．（2022秋 烟台期中）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 m＞2且m≠3 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为负数确定出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（x+3）＝3（x+m），
解得：x＝﹣3m+6，
由分式方程解为负数，
∴﹣3m+6＜0，且﹣3m+6≠﹣3且﹣3m+6≠﹣m，
解得：m＞2且m≠3．
故答案为：m＞2且m≠3．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
三．解答题（共66分）
19．（每小题4分，共16分）计算：
（1）﹣12022+（2022﹣π）0﹣（）﹣2+（﹣2）3． （2）
（3）． （4）（1）．
【分析】（1）先算乘方运算，再合并即可；
（2）先将除化为乘，分解因式约分，再计算同分母分式相加减．
（3）先把分母因式分解，再把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
（4）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．
【解答】解：（1）解：原式＝﹣1+1﹣9+（﹣8）
＝﹣17；
（2）原式 （x+1）
．
（3）原式＝[]
．
（4）原式
．
【点评】本题考查实数及分式的混合运算，解题的关键是掌握实数、分式运算的相关法则及运算顺序．
20．（每小题4分，共8分）解方程：
（1）； （2）1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣1﹣x2+1＝1，即x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴此方程无解，
则原分式方程无解；
（2）去分母得：4x﹣x+2＝﹣3，
解得：x，
检验：把x代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（6分）（2021 天河区校级二模）先化简，再求值：（），其中x＝2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当x＝2时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（6分）（2022 武功县模拟）端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进A、B两种品牌的粽子进行销售，据了解，用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，且每袋B品牌粽子的价格是每袋A品牌粽子价格的1.2倍，求每袋A品牌粽子的价格．
【分析】设每袋A品牌粽子的价格为x元，则每袋B品牌粽子的价格为1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每袋A品牌粽子的价格．
【解答】解：设每袋A品牌粽子的价格为x元，则每袋B品牌粽子的价格为1.2x元，
依题意得：，
解得：x＝25．
经检验，x＝25 是原方程的解，且符合题意．
答：每袋A品牌粽子的价格为25元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（6分）如果关于x的方程3无解，试求m的值？
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．
【解答】解：去分母得：m+3x﹣6＝x﹣1，
由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入方程得：m＝1．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
24．（6分）（2022春 驿城区校级期末）请仿照例子解题：
恒成立，求M、N的值．
解：∵，
∴，则，
即，故，
解得：，请你按照上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据分式相等的条件列出方程组，求出方程组的解即可得到M与N的值．
【解答】解：已知等式整理得：，
∴M（x﹣2）+N（x+2）＝x﹣8，
整理得：（M+N）x﹣2M+2N＝x﹣8，
∴，即，
①+②得：2M＝5，
解得：M，
①﹣②得：2N＝﹣3，
解得：N，
∴．
【点评】此题考查了分式的加减法，以及解二元一次方程组，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
25．（8分）若关于x的方程2的解为正数，求m的取值范围．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数，求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
解得：x，
由分式方程解为正数，得到x＞0且x≠2，
∴0，且2，
解得：m＜6且m≠0．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分式方程分母不为0这个条件．
26．（10分）（2021秋 十堰期末）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，由题意：A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．