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高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第二节 指数函数（一）
一、单选题
1．（2022高一上·泸州期末）函数（且）的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一上·廊坊期末）指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一上·如东期末）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一上·大通期末）若是指数函数，则有（ ）
A．或 B． C． D．且
5．（2022高一上·凉州期末）函数（且）的图像恒过定点（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高一上·南京月考）将函数y=ex图象上所有的点向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数为，则=（ ）
A．ex+1 B．ex-1 C．e-x+1 D．e-x-1
二、多选题
7．（2022高一下·嫩江月考）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2021高一上·兰州期末）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．a>b>0 B．a
三、填空题
9．（2022高一上·南阳期中）函数的单调递减区间为 ，值域为 ．
10．（2022高一下·盐田月考）已知函数，若函数在上为减函数，则实数a的取值范围为 .
11．（2022高一上·杨浦期末）不等式的解集是 .
12．（2022高一上·成都期末）若函数（，且）的图象经过点，则 .
13．（2022高一上·虹口期末）不等式的解集为 ．
14．（2022高一上·张家口期末）函数（且）的图像恒过定点 .
15．（2022高一上·温州期末）函数且过定点 ．
16．（2022高一上·河池期末）已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则 ．
四、解答题
17．（2022高一上·广东期末）已知函数（，且）．
（1）若函数的图象过点，求b的值；
（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．
18．（2022高一上·通州期末）已知函数，且的图象经过点．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）若，求证：在区间内存在零点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为在函数中，
当时，恒有 ，
函数的图象恒过定点.
故答案为：B.
【分析】由指数函数图象的性质，结合整体思想代入数值计算出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】因为指数函数在R上单调递减，
所以，得，
所以实数a的取值范围是。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合复数函数的单调性，即同增异减，进而判断复合函数的单调性，从而得出实数a的取值范围。
3．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故答案为：A
【分析】根据指数函数的单调性可解决此题．
4．【答案】C
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】因为是指数函数，
所以，解得.
故答案为：C．
【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】当时，，
则函数的图像恒过定点，
故答案为：C.
【分析】 根据指数函数的性质，把代入即可求解出答案.
6．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】将函数图象上所有的点向右平移1个单位长度，
所得图象对应的函数为，
根据左加右减原则得，
故答案为：B.
【分析】根据题意由函数平移的性质结合指数函数的图象，即可得出答案。
7．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】解：由指数函数的定义得a2-4a+4=1且a≠1，解得a=3.
故答案为：ACD.
【分析】根据指数函数的定义，列出方程，解得a.
8．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数和的图象如图所示：
若a，b均为正数，则a>b>0；
若a，b为负数，则a若a=b=0，则.
故答案为：ABD
【分析】根据题意构造函数结合指数函数的图象和性质，分情况讨论代入验证即可得出答案。
9．【答案】；
【知识点】复合函数的单调性；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】令，则开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，即，
又因为在上单调递增，故在上单调递增，
所以由得，故，
故在上单调递增，在上单调递减，且，
所以函数的单调递减区间为，值域为．
故答案为：；.
【分析】令，结合二次函数的性质，求得函数的单调区间和最大值，再由函数单调性，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
10．【答案】
【知识点】二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】二次函数的对称轴为，要想当时，该二次函数单调递减，则有，当函数在上为减函数时，
只需满足条件：，
故答案为：
【分析】根据f (x)为减函数，结合二次函数以及指数函数的单调性，列出不等式组，解不等式组即可得出实数a的取值范围.
11．【答案】（-∞，1）
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集为（-∞，1）。
故答案为：（-∞，1）。
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
12．【答案】2
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数的图象经过点，所以，解得.
故答案为：2.
【分析】 由题意，利用指数函数的单调性和特殊点，求得b的值.
13．【答案】(-∞，0]
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】依题意，不等式化为：，而函数在R上单调递增，解得，
所以不等式的解集为(-∞，0]。
故答案为：(-∞，0]。
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
14．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，.此时.
故图像恒过定点.
故答案为：
【分析】根据指数型函数的性质，令，求得，即可得到答案.
15．【答案】（1，2）
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】令，可得，
，
因此，函数的图象过定点（1，2）。
故答案为：（1，2）。
【分析】利用指数型函数的图象恒过定点的性质，从而结合换元法和代入法，进而得出函数且过的定点坐标。
16．【答案】或2
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】①当时，，得；②当时，，得，故或2．
故答案为：或2.
【分析】利用指数函数的单调性，求出函数的最值，列出方程求解即可．
17．【答案】（1）解：，解得.
（2）解：当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）将点 代入 ，求出b的值；
（2）分 和 两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解出a的值.
18．【答案】（1）解：因为函数，且的图象经过点，
所以.
所以.
（2）解：因为，所以.
所以在区间上单调递减.
所以在区间上的最大值是.
所以.
所以在区间上的最大值是.
（3）证明：因为，
所以.
因为，，
所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得：在区间内存在零点．
【知识点】函数的最值及其几何意义；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)由特殊值代入法，把点的坐标代入到指数函数的解析式，计算出a的取值从而得出函数的解析式。
(2)结合指数函数的单调性，代入数值计算出函数的值，由此得出函数的最值。
(3)首先整理化简函数g(x)的解析式，然后由零点存在性定理代入数值计算出结果，由此得出答案。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第二节 指数函数（一）
一、单选题
1．（2022高一上·泸州期末）函数（且）的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为在函数中，
当时，恒有 ，
函数的图象恒过定点.
故答案为：B.
【分析】由指数函数图象的性质，结合整体思想代入数值计算出结果即可。
2．（2022高一上·廊坊期末）指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】因为指数函数在R上单调递减，
所以，得，
所以实数a的取值范围是。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合复数函数的单调性，即同增异减，进而判断复合函数的单调性，从而得出实数a的取值范围。
3．（2022高一上·如东期末）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故答案为：A
【分析】根据指数函数的单调性可解决此题．
4．（2022高一上·大通期末）若是指数函数，则有（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】因为是指数函数，
所以，解得.
故答案为：C．
【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
5．（2022高一上·凉州期末）函数（且）的图像恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】当时，，
则函数的图像恒过定点，
故答案为：C.
【分析】 根据指数函数的性质，把代入即可求解出答案.
6．（2021高一上·南京月考）将函数y=ex图象上所有的点向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数为，则=（ ）
A．ex+1 B．ex-1 C．e-x+1 D．e-x-1
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】将函数图象上所有的点向右平移1个单位长度，
所得图象对应的函数为，
根据左加右减原则得，
故答案为：B.
【分析】根据题意由函数平移的性质结合指数函数的图象，即可得出答案。
二、多选题
7．（2022高一下·嫩江月考）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】解：由指数函数的定义得a2-4a+4=1且a≠1，解得a=3.
故答案为：ACD.
【分析】根据指数函数的定义，列出方程，解得a.
8．（2021高一上·兰州期末）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．a>b>0 B．a【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数和的图象如图所示：
若a，b均为正数，则a>b>0；
若a，b为负数，则a若a=b=0，则.
故答案为：ABD
【分析】根据题意构造函数结合指数函数的图象和性质，分情况讨论代入验证即可得出答案。
三、填空题
9．（2022高一上·南阳期中）函数的单调递减区间为 ，值域为 ．
【答案】；
【知识点】复合函数的单调性；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】令，则开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，即，
又因为在上单调递增，故在上单调递增，
所以由得，故，
故在上单调递增，在上单调递减，且，
所以函数的单调递减区间为，值域为．
故答案为：；.
【分析】令，结合二次函数的性质，求得函数的单调区间和最大值，再由函数单调性，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
10．（2022高一下·盐田月考）已知函数，若函数在上为减函数，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】二次函数的对称轴为，要想当时，该二次函数单调递减，则有，当函数在上为减函数时，
只需满足条件：，
故答案为：
【分析】根据f (x)为减函数，结合二次函数以及指数函数的单调性，列出不等式组，解不等式组即可得出实数a的取值范围.
11．（2022高一上·杨浦期末）不等式的解集是 .
【答案】（-∞，1）
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集为（-∞，1）。
故答案为：（-∞，1）。
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
12．（2022高一上·成都期末）若函数（，且）的图象经过点，则 .
【答案】2
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数的图象经过点，所以，解得.
故答案为：2.
【分析】 由题意，利用指数函数的单调性和特殊点，求得b的值.
13．（2022高一上·虹口期末）不等式的解集为 ．
【答案】(-∞，0]
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】依题意，不等式化为：，而函数在R上单调递增，解得，
所以不等式的解集为(-∞，0]。
故答案为：(-∞，0]。
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
14．（2022高一上·张家口期末）函数（且）的图像恒过定点 .
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，.此时.
故图像恒过定点.
故答案为：
【分析】根据指数型函数的性质，令，求得，即可得到答案.
15．（2022高一上·温州期末）函数且过定点 ．
【答案】（1，2）
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】令，可得，
，
因此，函数的图象过定点（1，2）。
故答案为：（1，2）。
【分析】利用指数型函数的图象恒过定点的性质，从而结合换元法和代入法，进而得出函数且过的定点坐标。
16．（2022高一上·河池期末）已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则 ．
【答案】或2
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】①当时，，得；②当时，，得，故或2．
故答案为：或2.
【分析】利用指数函数的单调性，求出函数的最值，列出方程求解即可．
四、解答题
17．（2022高一上·广东期末）已知函数（，且）．
（1）若函数的图象过点，求b的值；
（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．
【答案】（1）解：，解得.
（2）解：当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）将点 代入 ，求出b的值；
（2）分 和 两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解出a的值.
18．（2022高一上·通州期末）已知函数，且的图象经过点．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）若，求证：在区间内存在零点．
【答案】（1）解：因为函数，且的图象经过点，
所以.
所以.
（2）解：因为，所以.
所以在区间上单调递减.
所以在区间上的最大值是.
所以.
所以在区间上的最大值是.
（3）证明：因为，
所以.
因为，，
所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得：在区间内存在零点．
【知识点】函数的最值及其几何意义；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)由特殊值代入法，把点的坐标代入到指数函数的解析式，计算出a的取值从而得出函数的解析式。
(2)结合指数函数的单调性，代入数值计算出函数的值，由此得出函数的最值。
(3)首先整理化简函数g(x)的解析式，然后由零点存在性定理代入数值计算出结果，由此得出答案。
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