高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第二节 指数函数（二）
一、单选题
1．（2022高一上·联合期中）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·青岛期末）函数与函数的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
3．（2022·商洛模拟）“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022高一上·南充期末）若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高一上·福清期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021高一上·三明期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
7．（2022高一上·通州期中）已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若方程在区间内有解，求实数的取值范围.
8．（2022高一上·联合期中）已知函数是定义在R上的奇函数（其中实数）．
（1）求实数m的值；
（2）试判断函数的单调性，并求不等式的解集．（无需证明单调性）
9．（2022高三上·宝应开学考）已知函数，
（1）当时，求函数在的值域
（2）若关于x的方程有解，求a的取值范围．
10．（2022高二下·烟台期末）已知是上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
11．（2022高一下·汕头期末）已知函数（，且）满足.
（1）求的值；
（2）解不等式.
12．（2022高二下·农安月考）已知函数 （ ，且 ）是指数函数．
（1）求k，b的值：
（2）求解不等式 ．
13．（2022·南昌模拟）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求的最小值.
14．（2021高一上·广西月考）已知奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数t的最大值．
15．（2021高一上·桐乡月考）定义在 上的奇函数 .
（1）求 的值，并判断 的单调性（不必证明）；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
16．（2021高一上·重庆月考）已知函数的图象经过点，其中且．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
17．（2021高一上·深圳期中）已知函数 ， ，其中 ，且 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）求不等式 的解集．
18．（2021高一上·龙岩期中）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
故答案为：C.
【分析】化简函数，得到，进而得到且函数的单调性，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：在同一坐标系中，作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知：函数与函数的图象关于原点对称，
故答案为：C
【分析】 由题意，利用指数函数的图象和性质，函数图象的对称性，得出答案.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，所以，当时，满足，但不满足，所以“是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据指数函数的单调性，结合充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在定义域上单调递减，所以等价于，解得，即原不等式的解集为
故答案为：A
【分析】 由题意利用指数函数的单调性，解指数不等式，求得实数a的取值范围.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数的图象可知：.
而二次函数的图象的对称轴为，所以.
对照四个选项：
对于A：对称轴，符合题意.
对于B：对称轴，不符合题意.
对于C：对称轴，不符合题意.
对于D：对称轴，不符合题意.
故答案为：A
【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象的对称轴，逐项进行分析判断，可得答案。
6．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数在上为减函数，
，等价于，解得
所以实数a的取值范围是
故答案为：A
【分析】 根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解出答案.
7．【答案】（1）解：函数在区间上为增函数，
最大值为，的最小值为.
（2）解：方程在区间内有解即函数与函数在区间内有交点.
函数在区间上为增函数，
，
解得.
【知识点】指数函数单调性的应用；指数函数综合题
【解析】【分析】（1）根据指数函数 的单调性，进而求得函数的最值；
（2）根据题意，转化为 函数与函数在区间内有交点 ，求函数在 上的值域，进而求得的取值范围.
8．【答案】（1）解：因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，得，
此时，，
所以函数为奇函数，故；
（2）解：因为，
因为函数为增函数，为减函数，为增函数，
所以函数在R上单调递增，
所以由得，
∴，
∴，
∴，
∴所求不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，求得，结合奇偶性的定义验证，即可求解；
（2）根据函数的单调性，把不等式转化为， 得到不等式 ， 即可求解.
9．【答案】（1）解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
【知识点】函数的值域；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）依题意可得， 令，∵，∴， 最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；
10．【答案】（1）解：因为为奇函数，所以，即，
整理得．
因为上式对恒成立，所以．
（2）解：因为，所以，所以，
令，，
因为在上单调递增，因为，则，，
所以，，
所以要使在上有解，只需要．
因此，实数的取值范围是.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由奇函数的定义和恒等式的性质，解方程可得所求实数的值；
(2)由指数函数的值域和单调性，可得 ，令，， 判断g (x)的单调性，求得g (x)的范围，进而可得实数的取值范围．
11．【答案】（1）解：因为
所以，整理得，解得或（舍）
（2）解：由（1）可得，
所以，即为，整理可得，
因为为单调递增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为
【知识点】函数的值；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和函数的解析式，进而求出实数a的值。
（2）利用已知条件结合函数的单调性，进而求出不等式的解集。
12．【答案】（1）解：由 ( ，且 )是指数函数，知 ， .故 ，
（2）解：由(1)得 ( ，且 ).
①当 时， 在R上单调递增，
则由 ，得 ，可得 ，解得 ；
②当 时， 在R上单调递减，
则由 ，得 ，可得 ，解得 .
综上①②可知，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】(1)根据指数函数的定义列出方程，即可得解；
(2)分a>1和0
13．【答案】（1）解：因为，所以，则，
①，解得，
②，解得，
所以不等式的解集为
（2）解：.
当且仅当时，取得最小值8
【知识点】指数函数单调性的应用；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用指数的单调性可得，再解不等式可得答案；
（2）利用基本不等式和绝对值不等式可得答案.
14．【答案】（1）解：∵函数为奇函数，
∴，
∴，对恒成立，
∴，
即．
（2）解：由（1）知，
∵对任意的，不等式恒成立，
∴对任意的，不等式恒成立，
∵，当且仅当时等号成立，
∴
∴实数t的最大值是3．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的性质，整理化简计算出a的取值即可。
(2)由(1)的结论即可求出函数的解析式，结合题意即可得出不等式恒成立。然后由基本不等式即可求出原式的最大值。
15．【答案】（1）解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，即
解得a=1，此时 ，
经检验， f(x)为奇函数，所以a=1满足题意；
由上可知 ， 由2x+1>0且y=2x+1在R上单调递增.
所以f(x)在R上单调递减.
（2）因为f(x)为奇函数，
故由 得f(kx-4)>f(x2-2x) ，
又由（1）知f(x)为减函数，故得x2-2x>kx-4，即 在 上恒成立.
令 ，
则依题意只需k由“对勾”函数的性质可知g(x)在[1，2]上递减，在[2，4]上递增，
所以g(x)min=g(2)=2 ，
故k的取值范围是k<2 ．
【知识点】复合函数的单调性；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，结合指数函数的单调性以及复合函数的单调性求解即可；
（2）根据奇函数的性质，结合化归思想将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用对勾函数的性质求最值即可求解.
16．【答案】（1）解：由题意，函数的图象经过点，
可得，即，解得.
（2）解：由，可得，
根据指数函数的性质，可得函数在为单调递减函数，
又由，，
所以函数的值域为.
【知识点】函数的值域；指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由指数函数的图象把点的坐标代入计算出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由指数函数的图象和性质，结合题意代入数值计算出函数的最值，从而即可得出函数的值域。
17．【答案】（1）当 时， 在 上为减函数，
由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
故该不等式的解集为 ．
（2）由不等式 ，得 ，
当 时，可得 ，解得 ，所以不等式的解集为 ．
当 时，可得 ，解得 ，所以不等式的解集为 ．
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由f(x)< 1，即 ，由0< a< 1，则 ，在(-∞， +∞)上单调递减，因此3x + 1 > 0，解得 ，即可求得 的x的取值范围；
(2)由不等式 ，即 ，则0< a< 1时，函数f(x)= ax在R单调递减，则 ，解得 ，同理当 时，得解得 ，综合可得 不等式 的解集．
18．【答案】（1）解：当时，，即，即，
即，则，解得.
故不等式的解集为.
（2）解：由，即，则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的取值范围是
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【分析】 (1)把a= 6代入，求解关于2x的一元二次不等式，进一步求解指数不等式求得不等式的解集；
(2) 由，即， 分离a，再由基本不等式求最值即可得 的取值范围.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第二节 指数函数（二）
一、单选题
1．（2022高一上·联合期中）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
故答案为：C.
【分析】化简函数，得到，进而得到且函数的单调性，即可求解.
2．（2022高二下·青岛期末）函数与函数的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：在同一坐标系中，作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知：函数与函数的图象关于原点对称，
故答案为：C
【分析】 由题意，利用指数函数的图象和性质，函数图象的对称性，得出答案.
3．（2022·商洛模拟）“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，所以，当时，满足，但不满足，所以“是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据指数函数的单调性，结合充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。
4．（2022高一上·南充期末）若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在定义域上单调递减，所以等价于，解得，即原不等式的解集为
故答案为：A
【分析】 由题意利用指数函数的单调性，解指数不等式，求得实数a的取值范围.
5．（2021高一上·福清期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数的图象可知：.
而二次函数的图象的对称轴为，所以.
对照四个选项：
对于A：对称轴，符合题意.
对于B：对称轴，不符合题意.
对于C：对称轴，不符合题意.
对于D：对称轴，不符合题意.
故答案为：A
【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象的对称轴，逐项进行分析判断，可得答案。
6．（2021高一上·三明期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数在上为减函数，
，等价于，解得
所以实数a的取值范围是
故答案为：A
【分析】 根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解出答案.
二、解答题
7．（2022高一上·通州期中）已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若方程在区间内有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数在区间上为增函数，
最大值为，的最小值为.
（2）解：方程在区间内有解即函数与函数在区间内有交点.
函数在区间上为增函数，
，
解得.
【知识点】指数函数单调性的应用；指数函数综合题
【解析】【分析】（1）根据指数函数 的单调性，进而求得函数的最值；
（2）根据题意，转化为 函数与函数在区间内有交点 ，求函数在 上的值域，进而求得的取值范围.
8．（2022高一上·联合期中）已知函数是定义在R上的奇函数（其中实数）．
（1）求实数m的值；
（2）试判断函数的单调性，并求不等式的解集．（无需证明单调性）
【答案】（1）解：因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，得，
此时，，
所以函数为奇函数，故；
（2）解：因为，
因为函数为增函数，为减函数，为增函数，
所以函数在R上单调递增，
所以由得，
∴，
∴，
∴，
∴所求不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，求得，结合奇偶性的定义验证，即可求解；
（2）根据函数的单调性，把不等式转化为， 得到不等式 ， 即可求解.
9．（2022高三上·宝应开学考）已知函数，
（1）当时，求函数在的值域
（2）若关于x的方程有解，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
【知识点】函数的值域；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）依题意可得， 令，∵，∴， 最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；
10．（2022高二下·烟台期末）已知是上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为为奇函数，所以，即，
整理得．
因为上式对恒成立，所以．
（2）解：因为，所以，所以，
令，，
因为在上单调递增，因为，则，，
所以，，
所以要使在上有解，只需要．
因此，实数的取值范围是.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由奇函数的定义和恒等式的性质，解方程可得所求实数的值；
(2)由指数函数的值域和单调性，可得 ，令，， 判断g (x)的单调性，求得g (x)的范围，进而可得实数的取值范围．
11．（2022高一下·汕头期末）已知函数（，且）满足.
（1）求的值；
（2）解不等式.
【答案】（1）解：因为
所以，整理得，解得或（舍）
（2）解：由（1）可得，
所以，即为，整理可得，
因为为单调递增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为
【知识点】函数的值；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和函数的解析式，进而求出实数a的值。
（2）利用已知条件结合函数的单调性，进而求出不等式的解集。
12．（2022高二下·农安月考）已知函数 （ ，且 ）是指数函数．
（1）求k，b的值：
（2）求解不等式 ．
【答案】（1）解：由 ( ，且 )是指数函数，知 ， .故 ，
（2）解：由(1)得 ( ，且 ).
①当 时， 在R上单调递增，
则由 ，得 ，可得 ，解得 ；
②当 时， 在R上单调递减，
则由 ，得 ，可得 ，解得 .
综上①②可知，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】(1)根据指数函数的定义列出方程，即可得解；
(2)分a>1和013．（2022·南昌模拟）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求的最小值.
【答案】（1）解：因为，所以，则，
①，解得，
②，解得，
所以不等式的解集为
（2）解：.
当且仅当时，取得最小值8
【知识点】指数函数单调性的应用；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用指数的单调性可得，再解不等式可得答案；
（2）利用基本不等式和绝对值不等式可得答案.
14．（2021高一上·广西月考）已知奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数t的最大值．
【答案】（1）解：∵函数为奇函数，
∴，
∴，对恒成立，
∴，
即．
（2）解：由（1）知，
∵对任意的，不等式恒成立，
∴对任意的，不等式恒成立，
∵，当且仅当时等号成立，
∴
∴实数t的最大值是3．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的性质，整理化简计算出a的取值即可。
(2)由(1)的结论即可求出函数的解析式，结合题意即可得出不等式恒成立。然后由基本不等式即可求出原式的最大值。
15．（2021高一上·桐乡月考）定义在 上的奇函数 .
（1）求 的值，并判断 的单调性（不必证明）；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，即
解得a=1，此时 ，
经检验， f(x)为奇函数，所以a=1满足题意；
由上可知 ， 由2x+1>0且y=2x+1在R上单调递增.
所以f(x)在R上单调递减.
（2）因为f(x)为奇函数，
故由 得f(kx-4)>f(x2-2x) ，
又由（1）知f(x)为减函数，故得x2-2x>kx-4，即 在 上恒成立.
令 ，
则依题意只需k由“对勾”函数的性质可知g(x)在[1，2]上递减，在[2，4]上递增，
所以g(x)min=g(2)=2 ，
故k的取值范围是k<2 ．
【知识点】复合函数的单调性；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，结合指数函数的单调性以及复合函数的单调性求解即可；
（2）根据奇函数的性质，结合化归思想将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用对勾函数的性质求最值即可求解.
16．（2021高一上·重庆月考）已知函数的图象经过点，其中且．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）解：由题意，函数的图象经过点，
可得，即，解得.
（2）解：由，可得，
根据指数函数的性质，可得函数在为单调递减函数，
又由，，
所以函数的值域为.
【知识点】函数的值域；指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由指数函数的图象把点的坐标代入计算出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由指数函数的图象和性质，结合题意代入数值计算出函数的最值，从而即可得出函数的值域。
17．（2021高一上·深圳期中）已知函数 ， ，其中 ，且 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）当 时， 在 上为减函数，
由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
故该不等式的解集为 ．
（2）由不等式 ，得 ，
当 时，可得 ，解得 ，所以不等式的解集为 ．
当 时，可得 ，解得 ，所以不等式的解集为 ．
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)由f(x)< 1，即 ，由0< a< 1，则 ，在(-∞， +∞)上单调递减，因此3x + 1 > 0，解得 ，即可求得 的x的取值范围；
(2)由不等式 ，即 ，则0< a< 1时，函数f(x)= ax在R单调递减，则 ，解得 ，同理当 时，得解得 ，综合可得 不等式 的解集．
18．（2021高一上·龙岩期中）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，即，即，
即，则，解得.
故不等式的解集为.
（2）解：由，即，则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的取值范围是
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【分析】 (1)把a= 6代入，求解关于2x的一元二次不等式，进一步求解指数不等式求得不等式的解集；
(2) 由，即， 分离a，再由基本不等式求最值即可得 的取值范围.
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