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高中数学人教A版（2019）必修一 第五章 第五节 三角恒等变换
一、单选题
1．（2022高一上·太原期末）（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一上·雅安期末）（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．（2022高一上·乐山期末）（ ）．
A． B． C． D．1
4．（2022高一上·乐山期末）已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022高一上·大通期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一上·新乡期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高一上·吐鲁番期末）已知，则（ ）
A．－ B． C．－ D．
8．（2022高一上·城区期末）（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高一上·集贤期末）若，则（ ）
A． B． C．或1 D．或
10．（2022高一上·新化期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
11．化简：的值为（ ）
A．2+ B．2- C．1+ D．-1
二、填空题
12．（2022高一上·轮台期末）= .
13．（2022高一上·吐鲁番期末） .
14．（2020高一上·新邵期末）若 ，则 .
15．（2019高一上·广东月考）化简： .
三、解答题
16．（2022高一上·太原期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
17．（2022高一上·城区期末）已知，.
（1）求；
（2）若角的终边上有一点，求.
18．（2022高一上·信阳期末）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19．（2022高一上·河北期末）已知，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
20．（2022高一上·天津市期末）已知.
（1）求，的值；
（2）求的值.
21．（2022高一上·珠海期末）已知.
（1）求及；
（2）若，，求的值.
22．（2022高一上·岳阳期末）已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
23．（2022高一上·吉林期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
24．（2022高一上·南山期末）
（1）化简：.
（2）已知都是锐角，，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】由两角和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
2．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】，
故答案为：A．
【分析】利用诱导公式与两角和的正弦公式即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由可知
，
故答案为：B
【分析】利用两角和的余弦公式可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为且，则，
所以.
故答案为：C．
【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解sin2θ的值.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】
.
故答案为：C.
【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦两角差公式即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为，所以，，
所以
另解：因为，所以，，所以
．
故答案为：C
【分析】利用正、余弦的二倍角公式化简，即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由题意得，
，
即，
所以.
故答案为：D.
【分析】 由诱导公式及已知可求sina，利用二倍角的余弦函数公式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】
原式
故答案为：D
【分析】根据三角函数的诱导公式与三角函数中两角差的余弦公式即可得到答案.
9．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由，
两边平方得
，
或，
，
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合平方法和同角三角函数基本关系式、二倍角的正弦公式以及正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出的值。
10．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合特殊值对应的角的正切值，再利用两角差的正切公式，进而得出 的值 。
11．【答案】B
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：
=2﹣．
故选B．
【分析】直接利用两角和的三角函数，化简表达式，利用二倍角公式求出30°的三角函数，得到结果．
12．【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】===.
故答案为：.
【分析】 根据辅助角公式将三角函数转化为两角和与差的正弦公式或余弦公式，即可得答案.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】由两角和的正弦公式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由二倍角余弦公式可得 .
故答案为： .
【分析】直接代入二倍角余弦公式即可求解。
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】原式
故答案为:
【分析】将正切化为弦后通分,利用两角差的正弦公式的逆用公式化简,然后用二倍角的正弦公式以及诱导公式可得答案.
16．【答案】（1）解：由，两边平方得：
，即，
所以；
（2）解：因为，，
所以，
所以，
所以，
；
（3）解：
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)根据题意由同角三角函数的基本关系式以及二倍角的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
(2)由同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
(3)根据题意 由二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：，，则
故
（2）解：角终边上一点，
则
由（1）可得，
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由条件求得，将所求式展开计算；
（2）由条件求得与，再由二倍角与两角和的正切公式计算.
18．【答案】（1）解：由题意，
解得，即
故
（2）解：由题意
即，又，故
故
【知识点】函数的值；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而求出函数的解析式，再结合代入法求出函数的值，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合代入法和角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式以及二倍角的余弦公式，从而求出 的值。
19．【答案】（1）解：因，，则，，
所以，的值分别是和.
（2）解：由（1）知，，，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用给定条件结合同角公式计算作答；
（2）由（1）结合二倍角公式求出 ，，再利用和角的正弦公式计算作答.
20．【答案】（1）解：∵，且，
∴，
∴，.
（2）解：
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；
（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.
21．【答案】（1）解：，
.
（2）解：，
.
，
.
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【分析】（1）应用二倍角正切公式求，由和角正切公式求；
（2）根据已知角的范围及函数值，结合同角三角函数的平方关系求 ，，进而应用和角正弦公式求.
22．【答案】（1）解：；
（2）解：因为为锐角，且，所以，，
所以.
（3）解：由知，，
因为，为锐角，，所以，
，
又，为锐角，∴，故.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知结合二倍角正切公式即可求解；
（2）由已知结合同角基本关系先求出 ，， 然后结合二倍角余弦公式可求；
（3）由（1）先求出，再由，代数求值即可.
23．【答案】（1）解：，
由，，可得：，
∴原式=.
（2）解：由（1）知：，
.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知结合同角平方关系先求出，然后结合二倍角正弦公式可求；
（2）由（1）可求，然后结合两角差的正切公式可求.
24．【答案】（1）解：
（2）解：因为都是锐角，则，
又，，
，
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）将所求关系式通分，利用辅助角公式及倍角公式、诱导公式化简可得答案；
（2）利用两角和与差的三角函数及同角三角函数间的关系运算求解即可.
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高中数学人教A版（2019）必修一 第五章 第五节 三角恒等变换
一、单选题
1．（2022高一上·太原期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】由两角和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
2．（2022高一上·雅安期末）（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】，
故答案为：A．
【分析】利用诱导公式与两角和的正弦公式即可求出答案.
3．（2022高一上·乐山期末）（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由可知
，
故答案为：B
【分析】利用两角和的余弦公式可求出答案.
4．（2022高一上·乐山期末）已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为且，则，
所以.
故答案为：C．
【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解sin2θ的值.
5．（2022高一上·大通期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】
.
故答案为：C.
【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦两角差公式即可得到答案.
6．（2022高一上·新乡期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为，所以，，
所以
另解：因为，所以，，所以
．
故答案为：C
【分析】利用正、余弦的二倍角公式化简，即可得答案.
7．（2022高一上·吐鲁番期末）已知，则（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由题意得，
，
即，
所以.
故答案为：D.
【分析】 由诱导公式及已知可求sina，利用二倍角的余弦函数公式即可求出答案.
8．（2022高一上·城区期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】
原式
故答案为：D
【分析】根据三角函数的诱导公式与三角函数中两角差的余弦公式即可得到答案.
9．（2022高一上·集贤期末）若，则（ ）
A． B． C．或1 D．或
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由，
两边平方得
，
或，
，
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合平方法和同角三角函数基本关系式、二倍角的正弦公式以及正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出的值。
10．（2022高一上·新化期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合特殊值对应的角的正切值，再利用两角差的正切公式，进而得出 的值 。
11．化简：的值为（ ）
A．2+ B．2- C．1+ D．-1
【答案】B
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：
=2﹣．
故选B．
【分析】直接利用两角和的三角函数，化简表达式，利用二倍角公式求出30°的三角函数，得到结果．
二、填空题
12．（2022高一上·轮台期末）= .
【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】===.
故答案为：.
【分析】 根据辅助角公式将三角函数转化为两角和与差的正弦公式或余弦公式，即可得答案.
13．（2022高一上·吐鲁番期末） .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】由两角和的正弦公式即可求出答案.
14．（2020高一上·新邵期末）若 ，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由二倍角余弦公式可得 .
故答案为： .
【分析】直接代入二倍角余弦公式即可求解。
15．（2019高一上·广东月考）化简： .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】原式
故答案为:
【分析】将正切化为弦后通分,利用两角差的正弦公式的逆用公式化简,然后用二倍角的正弦公式以及诱导公式可得答案.
三、解答题
16．（2022高一上·太原期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：由，两边平方得：
，即，
所以；
（2）解：因为，，
所以，
所以，
所以，
；
（3）解：
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)根据题意由同角三角函数的基本关系式以及二倍角的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
(2)由同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
(3)根据题意 由二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
17．（2022高一上·城区期末）已知，.
（1）求；
（2）若角的终边上有一点，求.
【答案】（1）解：，，则
故
（2）解：角终边上一点，
则
由（1）可得，
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由条件求得，将所求式展开计算；
（2）由条件求得与，再由二倍角与两角和的正切公式计算.
18．（2022高一上·信阳期末）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：由题意，
解得，即
故
（2）解：由题意
即，又，故
故
【知识点】函数的值；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而求出函数的解析式，再结合代入法求出函数的值，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合代入法和角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式以及二倍角的余弦公式，从而求出 的值。
19．（2022高一上·河北期末）已知，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：因，，则，，
所以，的值分别是和.
（2）解：由（1）知，，，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用给定条件结合同角公式计算作答；
（2）由（1）结合二倍角公式求出 ，，再利用和角的正弦公式计算作答.
20．（2022高一上·天津市期末）已知.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵，且，
∴，
∴，.
（2）解：
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；
（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.
21．（2022高一上·珠海期末）已知.
（1）求及；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）解：，
.
（2）解：，
.
，
.
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【分析】（1）应用二倍角正切公式求，由和角正切公式求；
（2）根据已知角的范围及函数值，结合同角三角函数的平方关系求 ，，进而应用和角正弦公式求.
22．（2022高一上·岳阳期末）已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）解：；
（2）解：因为为锐角，且，所以，，
所以.
（3）解：由知，，
因为，为锐角，，所以，
，
又，为锐角，∴，故.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知结合二倍角正切公式即可求解；
（2）由已知结合同角基本关系先求出 ，， 然后结合二倍角余弦公式可求；
（3）由（1）先求出，再由，代数求值即可.
23．（2022高一上·吉林期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：，
由，，可得：，
∴原式=.
（2）解：由（1）知：，
.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知结合同角平方关系先求出，然后结合二倍角正弦公式可求；
（2）由（1）可求，然后结合两角差的正切公式可求.
24．（2022高一上·南山期末）
（1）化简：.
（2）已知都是锐角，，求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：因为都是锐角，则，
又，，
，
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）将所求关系式通分，利用辅助角公式及倍角公式、诱导公式化简可得答案；
（2）利用两角和与差的三角函数及同角三角函数间的关系运算求解即可.
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