【精品解析】高中数学人教A版（2019）必修一 第五章 第七节 三角函数的应用

高中数学人教A版（2019）必修一 第五章 第七节 三角函数的应用
一、单选题
1．（2022高一上·武汉期末）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．（2022高一上·海安期末）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（　　）（参考数据：，）
A． B． C． D．
3．（2017高一上·龙海期末）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（　　）
A． B．
C． D．
4．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）
A． B．
C． D．
二、解答题
6．（2022高一上·薛城期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
7．（2022高一上·滑县期末）2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）
（1）求，关于x的函数关系式；
（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．
8．（2020高一上·肇庆期末）广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时.
（1）求小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；
（2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值.
9．（2022高一上·丽水期末）如图，一个轴心为的圆形筒车按逆时针方向每分钟转2圈.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：)(在水面下则为负数)，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间(单位：)之间的关系为，求
（1）筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）盛水筒入水后至少经过多少时间出水？
10．（2022高一上·宁波期末）如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P、Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出时t的取值范围．
11．（2020高一上·蓬江期末）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间．
（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
12．（2020高一上·青岛期末）如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 .
（1）求 的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻 (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 分钟后，盛水筒W是否在水中？
13．（2020高一上·福建期末）如图，某公园摩天轮的半径为40 ，圆心O距地面的高度为50 ，摩天轮做匀速转动，每3 转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.
（1）已知在 时点P距离地面的高度为 ，求 时，点P距离地面的高度；
（2）当离地面 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.
14．（2022高一上·信阳期末）整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.
（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
15．（2022高一上·广州期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离；
（2）在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？
16．（2020高一上·阜宁期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 来描述.
（1）根据以上数据，求出函数 的表达式；
（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
17．（2020高一上·东莞期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为 .
（1）求 ， ， ， 的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；
（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.
18．（2020高一上·台州期末）如图，摩天轮的半径为 ， 点距地面的高度为 ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最高点.
（Ⅰ）试确定点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式；
（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 距离地面超过 ？
19．（2020高一上·苏州期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面
10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω>
0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.
20．（2019高一上·田阳月考）如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．
（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；
（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因函数最大值为110，最小值为10，因此有，解得，
而函数的周期为10，即，则，
又当时，，则，而，解得，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最值求解方法，进而得出A，B的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再结合五点对应法和，进而得出的值，从而得出 （米）关于（分钟）的解析式 。
2．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图1可得，又，
所以，所以，
所以，
该地的纬度约为北纬。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合正切函数的定义和角之间的关系，进而得出该地的纬度约为北纬的度数。
3．【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：依题意， ，解得 ，
又T= ，
∴ω= ．
又f（3）=15，
∴3sin（ +φ）+12=15，
∴sin（ +φ）=1．
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin t+12．
故选：A．
【分析】高潮时水深为A+K，低潮时水深为﹣A+K，联立方程组求得A和K的值，再由相邻两次高潮发生的时间相距12h，可知周期为12，由此求得ω值，再结合t=3时涨潮到一次高潮，把点（3，15）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求．
4．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h（t）=Acosωt+B，
∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．
由于最大值与最小值分别为18，2．
∴，解得A=﹣8，B=10．
∴h（t）=﹣8cost+10．
故选：B．
【分析】由题意可设h（t）=Acosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．
5．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ=，sinφ=．
解得φ=，
故选：C．
【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
6．【答案】（1）解：因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）解：由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
（注：的取值范围不考虑开闭）
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，，从而得到 ，；
（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为2，即可得到.
7．【答案】（1）解：可设，
∵转动的周期为30分钟，∴，
∵枢轮的直径为3.4米，∴，
∵点P的初始位置为最高点，∴，
∴，
∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，
∵水位以每分钟0.017米的速度下降，
∴；
（2）解：P点进入水中，则，即．
∴．
作出和的大致图像，显然在内存在一个交点．
令，
∵，
，
∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；
综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.
【知识点】正弦函数的图象；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1） 设，结合题意求得其解析式的值，得到，根据退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处和水位的下降速度，即可求得的表达式；
（2） P点进入水中，得到，得出不等式，令，结合三角函数的图象与性质，以及，即可求解.
8．【答案】（1）解：如图所示，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系，
由题意可设
因为摩天轮的最高点距地面 ，最低点距地面 ，
所以 解得 ，
又函数周期为t，可得 ，所以 .
又 时， ，所以 ，即 可取 ，
所以 （ ，t为参数）
（2）解：依题意，可知 ，即 ，
不妨取第一圈，可得 ，
所以持续时间为 ，即 ，所以t的最小值为15
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1） 以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系， 再利用已知条件结合余弦型函数的实际应用，进而求出小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式。
（2）利用（1）求出求出的小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式结合余弦型函数的图象，进而解绝对值不等式求出满足要求的实数t的取值范围，从而求出t的最小值。
9．【答案】（1）解：筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，则
周期，，
盛水筒刚浮出水面时，可得
，，，
，
；
所以，筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）解：盛水筒入水后，，所以，，令得25【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，再结合已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用盛水筒刚浮出水面时，可得，再结合得出的值，从而得出 ，再利用代入法得出筒车转了时，盛水筒到水面的距离。
（2）当盛水筒入水后，，再结合正弦型函数的图象得出，，令得出t的取值范围，所以盛水筒入水后至少经过5s后出水。
10．【答案】（1）解：如图，
以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．
由题意，摩天轮的角速度
所以甲所在的位置的纵坐标
则
（2）解：令甲、乙两位游客距离地面的高度为、，则
，
令，得或
解得：．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件建立余弦型函数的模型，进而得出在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式。
（2）利用已知条件结合（1）中的余弦型函数的模型，从而得出两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出时t的取值范围。
11．【答案】（1）解：如图所示，标出点M与点N，设 ，
根据题意可知， ，所以 ，
根据函数 的物理意义可知：
，
又因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，
所以可得：
（2）解：根据题意可知， ，即 ，
当水轮转动一圈时， ，可得： ，
所以此时 ，
解得： ，
又因为 （秒），即水轮转动任意一圈内，有 秒的时间点P距水面的高度超过2米．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】 (1 ) 如图所示，标出点M与点N，设 ， 建立三角函数关系式表示高度h关于时间t的函数；
(2)由h关于t的函数，令h>2，求出 时的取值范围，再计算有多长时间即可.
12．【答案】（1）解：由题意知， ，即 ，所以 ，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得： ，
当 时， ，代入 得， ，
因为 ，所以
（2）解：由（1）知： ，
盛水筒达到最高点时， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以，当 时， ，
所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点
（3）解：由题知： ，即 ，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，
所以 ，
所以 ，
所以，再经过 分钟后 ，
所以再经过 分钟后盛水筒不在水中
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值， 由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米， 进而求出A，K的值，再利用特殊点代入法，进而结合的取值范围，进而求出的值。
（2） 由（1）知： ，盛水筒达到最高点时， ，当 时，结合代入法，从而得出 ，因为 ，所以，当 时， ，所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点。
（3） 由题知： ，即 ，由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出 的值，再利用两角和的正弦公式，进而求出 的值， 所以再经过 分钟后盛水筒不在水中。
13．【答案】（1）解：依题意， ， ， ，
由 得 ，所以 .
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
所以 ，
所以 .
即 时点P距离地面的高度为70m
（2）解：由（1）知 .
令 ，即 ，
从而 ，
∴ .
∵ ，
∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件 ， ， ， 结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再结合正弦型函数的解析式 结合代入法，进而求出的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用代入法结合正弦型函数的解析式，进而求出当 时点P距离地面的高度为70m 。
（2） 由（1）知 ， 令 ，即 ， 再结合余弦函数的图象，从而求出t的取值范围，再利用 ，所以转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌。
14．【答案】（1）解：设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
（2）解：过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，
故三角形区域面积的最大值为
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；三角函数模型的简单应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 设MN与AB相交于点E，再利用正弦函数的定义得出ME的长，再结合求和法得出的长 。
（2） 过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，再利用三角形的面积公式得出三角形区域面积为，设，再利用结合不等式的性质，所以，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象求值域的方法，得出t的取值范围，再结合，则，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形区域面积的最大值。
15．【答案】（1）解：筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为，故，当时，，故点P到水面的距离为m
（2）解：点P从开始转动的一圈，所用时间，令，其中，解得：，则，故点P到水面的距离不低于的时间为4s.
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h关于时间t的函数和时的函数值；
（2） 点P从开始转动的一圈，所用时间 ， 令，其中 ，再求解不等式，得到，从而求出答案.
16．【答案】（1）解：由表格可知 ，
则 ，
又 ，
当 时， ，
即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为货船需要的安全水深度为6，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出函数的最值，由此得到A与B的值，结合最值即可求出函数的周期，由函数的周期公式计算出的值，然后由特殊点法代入数值计算出，由此得到函数的解析式。
(2)根据题意把实际问题转化为数学问题，代入数值结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出t的取值范围，结合已知条件即可求出k的取值，从而得出答案。
17．【答案】（1）解：由题知 ，得 ，
由题意得 ， ，
（2）解：由 ，得 ，
所以 ，即 ，
当 时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时 .
（3）解：设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则 经过 相邻两个盛水筒距离水面的高度分别 和 ，
所以 ， ，
所以 的最大值为 .
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可求出函数的周期，利用函数的周期公式代入数值计算出，再由题意即可求出、以及b的值即可。
(2)根据题意把实际问题化为数学问题，由特殊值代入法计算出，对k赋值计算出结果即可。
(3)由已知条件即可得出和，由此整理得到，结合两角和差的正弦公式以及正弦函数的性质即可求出h的最大值。
18．【答案】解：（Ⅰ）建立如图所示的平面直角坐标系，
设 是以 轴正半轴为始边， （ 表示点 的起始位置）为终边的角，
由题点 的起始位置在最高点知， ，
又由题知 在 内转过的角为 ，即 ，
所以以 轴正半轴为始边， 为终边的角为 ，
即 点纵坐标为 ，
所以点 距离地面的高度 关于旋转时间 的函数关系式是 ，
化简得 .
（Ⅱ）当 时，解得 ，
又 ，所以符合题意的时间段为 或 ，即在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 .
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合三角函数的实际应用，从而求出点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式。
（2）由（1）求出的函数关系式结合点 距离地面超过 ，从而求出在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 。
19．【答案】（1）解：由题意可设 ,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,
,得 .
又函数周期为30, ,
( ),
又 时, ,所以 ,即 , 可取 ,
所以
（2）解： , 解得 ,
所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米
（3）解：由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为 ,游客甲,乙中间相隔5个座舱,
则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了 ( )分钟,则游客乙在摩天轮上坐了 分钟,所以高度差为:
当 即 时,h取得最大值 .
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)设 ,根据最高点和最低点可得A与B,由周期求 值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为 ,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h关于t的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.
20．【答案】（1）解：以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系 ，
∵水轮每分钟旋转4圈，
∴ ．
∴ ．
∵水轮半径为4 m，
∴A=4．
∴ ．
当t=0时，y=0．
∴ ．
∴ ．
（2）解：由于最高点距离水面的距离为6，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴t=5+15k（k∈Z）．
∴当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1）设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系 ，利用周期求得ω，当t=0时，y=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得．（2）根据正弦函数的图象和性质可得t=5+15k（k∈Z）即当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修一 第五章 第七节 三角函数的应用
一、单选题
1．（2022高一上·武汉期末）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因函数最大值为110，最小值为10，因此有，解得，
而函数的周期为10，即，则，
又当时，，则，而，解得，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最值求解方法，进而得出A，B的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再结合五点对应法和，进而得出的值，从而得出 （米）关于（分钟）的解析式 。
2．（2022高一上·海安期末）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（　　）（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图1可得，又，
所以，所以，
所以，
该地的纬度约为北纬。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合正切函数的定义和角之间的关系，进而得出该地的纬度约为北纬的度数。
3．（2017高一上·龙海期末）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：依题意， ，解得 ，
又T= ，
∴ω= ．
又f（3）=15，
∴3sin（ +φ）+12=15，
∴sin（ +φ）=1．
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin t+12．
故选：A．
【分析】高潮时水深为A+K，低潮时水深为﹣A+K，联立方程组求得A和K的值，再由相邻两次高潮发生的时间相距12h，可知周期为12，由此求得ω值，再结合t=3时涨潮到一次高潮，把点（3，15）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求．
4．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h（t）=Acosωt+B，
∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．
由于最大值与最小值分别为18，2．
∴，解得A=﹣8，B=10．
∴h（t）=﹣8cost+10．
故选：B．
【分析】由题意可设h（t）=Acosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．
5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ=，sinφ=．
解得φ=，
故选：C．
【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
二、解答题
6．（2022高一上·薛城期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）解：由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
（注：的取值范围不考虑开闭）
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，，从而得到 ，；
（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为2，即可得到.
7．（2022高一上·滑县期末）2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）
（1）求，关于x的函数关系式；
（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）．
【答案】（1）解：可设，
∵转动的周期为30分钟，∴，
∵枢轮的直径为3.4米，∴，
∵点P的初始位置为最高点，∴，
∴，
∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，
∵水位以每分钟0.017米的速度下降，
∴；
（2）解：P点进入水中，则，即．
∴．
作出和的大致图像，显然在内存在一个交点．
令，
∵，
，
∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；
综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.
【知识点】正弦函数的图象；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1） 设，结合题意求得其解析式的值，得到，根据退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处和水位的下降速度，即可求得的表达式；
（2） P点进入水中，得到，得出不等式，令，结合三角函数的图象与性质，以及，即可求解.
8．（2020高一上·肇庆期末）广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时.
（1）求小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；
（2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值.
【答案】（1）解：如图所示，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系，
由题意可设
因为摩天轮的最高点距地面 ，最低点距地面 ，
所以 解得 ，
又函数周期为t，可得 ，所以 .
又 时， ，所以 ，即 可取 ，
所以 （ ，t为参数）
（2）解：依题意，可知 ，即 ，
不妨取第一圈，可得 ，
所以持续时间为 ，即 ，所以t的最小值为15
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1） 以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系， 再利用已知条件结合余弦型函数的实际应用，进而求出小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式。
（2）利用（1）求出求出的小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式结合余弦型函数的图象，进而解绝对值不等式求出满足要求的实数t的取值范围，从而求出t的最小值。
9．（2022高一上·丽水期末）如图，一个轴心为的圆形筒车按逆时针方向每分钟转2圈.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：)(在水面下则为负数)，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间(单位：)之间的关系为，求
（1）筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）盛水筒入水后至少经过多少时间出水？
【答案】（1）解：筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，则
周期，，
盛水筒刚浮出水面时，可得
，，，
，
；
所以，筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）解：盛水筒入水后，，所以，，令得25【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，再结合已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用盛水筒刚浮出水面时，可得，再结合得出的值，从而得出 ，再利用代入法得出筒车转了时，盛水筒到水面的距离。
（2）当盛水筒入水后，，再结合正弦型函数的图象得出，，令得出t的取值范围，所以盛水筒入水后至少经过5s后出水。
10．（2022高一上·宁波期末）如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P、Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出时t的取值范围．
【答案】（1）解：如图，
以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．
由题意，摩天轮的角速度
所以甲所在的位置的纵坐标
则
（2）解：令甲、乙两位游客距离地面的高度为、，则
，
令，得或
解得：．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件建立余弦型函数的模型，进而得出在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式。
（2）利用已知条件结合（1）中的余弦型函数的模型，从而得出两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出时t的取值范围。
11．（2020高一上·蓬江期末）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间．
（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
【答案】（1）解：如图所示，标出点M与点N，设 ，
根据题意可知， ，所以 ，
根据函数 的物理意义可知：
，
又因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，
所以可得：
（2）解：根据题意可知， ，即 ，
当水轮转动一圈时， ，可得： ，
所以此时 ，
解得： ，
又因为 （秒），即水轮转动任意一圈内，有 秒的时间点P距水面的高度超过2米．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】 (1 ) 如图所示，标出点M与点N，设 ， 建立三角函数关系式表示高度h关于时间t的函数；
(2)由h关于t的函数，令h>2，求出 时的取值范围，再计算有多长时间即可.
12．（2020高一上·青岛期末）如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 .
（1）求 的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻 (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 分钟后，盛水筒W是否在水中？
【答案】（1）解：由题意知， ，即 ，所以 ，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得： ，
当 时， ，代入 得， ，
因为 ，所以
（2）解：由（1）知： ，
盛水筒达到最高点时， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以，当 时， ，
所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点
（3）解：由题知： ，即 ，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，
所以 ，
所以 ，
所以，再经过 分钟后 ，
所以再经过 分钟后盛水筒不在水中
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值， 由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米， 进而求出A，K的值，再利用特殊点代入法，进而结合的取值范围，进而求出的值。
（2） 由（1）知： ，盛水筒达到最高点时， ，当 时，结合代入法，从而得出 ，因为 ，所以，当 时， ，所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点。
（3） 由题知： ，即 ，由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出 的值，再利用两角和的正弦公式，进而求出 的值， 所以再经过 分钟后盛水筒不在水中。
13．（2020高一上·福建期末）如图，某公园摩天轮的半径为40 ，圆心O距地面的高度为50 ，摩天轮做匀速转动，每3 转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.
（1）已知在 时点P距离地面的高度为 ，求 时，点P距离地面的高度；
（2）当离地面 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.
【答案】（1）解：依题意， ， ， ，
由 得 ，所以 .
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
所以 ，
所以 .
即 时点P距离地面的高度为70m
（2）解：由（1）知 .
令 ，即 ，
从而 ，
∴ .
∵ ，
∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件 ， ， ， 结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再结合正弦型函数的解析式 结合代入法，进而求出的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用代入法结合正弦型函数的解析式，进而求出当 时点P距离地面的高度为70m 。
（2） 由（1）知 ， 令 ，即 ， 再结合余弦函数的图象，从而求出t的取值范围，再利用 ，所以转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌。
14．（2022高一上·信阳期末）整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.
（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
【答案】（1）解：设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
（2）解：过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，
故三角形区域面积的最大值为
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；三角函数模型的简单应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 设MN与AB相交于点E，再利用正弦函数的定义得出ME的长，再结合求和法得出的长 。
（2） 过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，再利用三角形的面积公式得出三角形区域面积为，设，再利用结合不等式的性质，所以，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象求值域的方法，得出t的取值范围，再结合，则，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形区域面积的最大值。
15．（2022高一上·广州期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离；
（2）在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？
【答案】（1）解：筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为，故，当时，，故点P到水面的距离为m
（2）解：点P从开始转动的一圈，所用时间，令，其中，解得：，则，故点P到水面的距离不低于的时间为4s.
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h关于时间t的函数和时的函数值；
（2） 点P从开始转动的一圈，所用时间 ， 令，其中 ，再求解不等式，得到，从而求出答案.
16．（2020高一上·阜宁期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 来描述.
（1）根据以上数据，求出函数 的表达式；
（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
【答案】（1）解：由表格可知 ，
则 ，
又 ，
当 时， ，
即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为货船需要的安全水深度为6，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出函数的最值，由此得到A与B的值，结合最值即可求出函数的周期，由函数的周期公式计算出的值，然后由特殊点法代入数值计算出，由此得到函数的解析式。
(2)根据题意把实际问题转化为数学问题，代入数值结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出t的取值范围，结合已知条件即可求出k的取值，从而得出答案。
17．（2020高一上·东莞期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为 .
（1）求 ， ， ， 的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；
（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.
【答案】（1）解：由题知 ，得 ，
由题意得 ， ，
（2）解：由 ，得 ，
所以 ，即 ，
当 时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时 .
（3）解：设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则 经过 相邻两个盛水筒距离水面的高度分别 和 ，
所以 ， ，
所以 的最大值为 .
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可求出函数的周期，利用函数的周期公式代入数值计算出，再由题意即可求出、以及b的值即可。
(2)根据题意把实际问题化为数学问题，由特殊值代入法计算出，对k赋值计算出结果即可。
(3)由已知条件即可得出和，由此整理得到，结合两角和差的正弦公式以及正弦函数的性质即可求出h的最大值。
18．（2020高一上·台州期末）如图，摩天轮的半径为 ， 点距地面的高度为 ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最高点.
（Ⅰ）试确定点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式；
（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 距离地面超过 ？
【答案】解：（Ⅰ）建立如图所示的平面直角坐标系，
设 是以 轴正半轴为始边， （ 表示点 的起始位置）为终边的角，
由题点 的起始位置在最高点知， ，
又由题知 在 内转过的角为 ，即 ，
所以以 轴正半轴为始边， 为终边的角为 ，
即 点纵坐标为 ，
所以点 距离地面的高度 关于旋转时间 的函数关系式是 ，
化简得 .
（Ⅱ）当 时，解得 ，
又 ，所以符合题意的时间段为 或 ，即在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 .
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合三角函数的实际应用，从而求出点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式。
（2）由（1）求出的函数关系式结合点 距离地面超过 ，从而求出在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 。
19．（2020高一上·苏州期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面
10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω>
0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.
【答案】（1）解：由题意可设 ,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,
,得 .
又函数周期为30, ,
( ),
又 时, ,所以 ,即 , 可取 ,
所以
（2）解： , 解得 ,
所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米
（3）解：由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为 ,游客甲,乙中间相隔5个座舱,
则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了 ( )分钟,则游客乙在摩天轮上坐了 分钟,所以高度差为:
当 即 时,h取得最大值 .
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)设 ,根据最高点和最低点可得A与B,由周期求 值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为 ,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h关于t的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.
20．（2019高一上·田阳月考）如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．
（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；
（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．
【答案】（1）解：以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系 ，
∵水轮每分钟旋转4圈，
∴ ．
∴ ．
∵水轮半径为4 m，
∴A=4．
∴ ．
当t=0时，y=0．
∴ ．
∴ ．
（2）解：由于最高点距离水面的距离为6，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴t=5+15k（k∈Z）．
∴当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1）设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系 ，利用周期求得ω，当t=0时，y=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得．（2）根据正弦函数的图象和性质可得t=5+15k（k∈Z）即当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．
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