2014学年高中数学人教B版必修四单元测评：第一章 基本初等函数Ⅱ Word版含解

单元测评 基本初等函数(Ⅱ)
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．半径为π cm，圆心角为的角所对的弧长是(　　)
A. cm　　　　　　　 B. cm
C. cm D. cm
解析：l＝α·r＝×π＝(cm)，故选B.
答案：B
2．如果cos(π＋A)＝－，那么sin的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为cos(π＋A)＝－cosA＝－，所以cosA＝，则sin＝cosA＝.
答案：B
3．已知α∈，tanα＝，则sinα＝(　　)
A. B．－
C．± D．－
解析：由题意知tanα＝＝，即cosα＝2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，所以5sin2α＝1，又α∈，所以sinα＝－.
答案：B
4．给出下列命题：
①函数f(x)＝4cos的一条对称轴是直线x＝－；②已知函数f(x)＝min{sinx，cosx}，则f(x)的值域为；③若α，β均是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ.
其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为f＝4cos＝0，所以x＝－不是f(x)的一条对称轴，①错误；由f(x)＝min{sinx，cosx}的图像可得f(x)∈，②正确；当α＝390°，β＝60°时，满足α＞β，但sinα＜sinβ，③错误．故选B.
答案：B
5．把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是(　　)
A
　　B
C
　　D
解析：由题意，y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数解析式为y＝cosx＋1，向左平移一个单位为y＝cos(x＋1)＋1，向下平移一个单位为y＝cos(x＋1)，利用特殊点变为，知选A.
答案：A
6．将函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：函数f(x)向右平移得到函数g(x)＝f＝sinω，因为此时函数过点，
所以sinω＝0，即ω＝＝kπ，
所以ω＝2k，k∈Z，所以ω的最小值为2，选D.
答案：D
7．在[0,2π]上满足sinx≥的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由图像知在[0,2π]上，若sinx≥，则≤x≤，即x∈.故选C.
答案：C
8．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则f(x)的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：作出函数y＝4sin(2x＋1)与函数y＝x的图像，如图，观察图像可知，两个函数有三个交点，故选D.
答案：D
9．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为f(x)的最小正周期是π，且f(x)是偶
函数，所以f＝f＝f.又当x∈时，f(x)＝sinx，所以f＝f＝sin＝.故选B.
答案：B
10．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则f＝(　　)
A．2＋ B.
C. D．2－
解析：由图像可知，此正切函数的周期等于2×＝，所以ω＝2.从题图中知，图像过点，所以0＝Atan，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝.再由图像过定点(0,1)，可得A＝1. 综上可知f(x)＝tan.故有f＝tan＝tan＝.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．函数y＝sin2x的最小正周期T＝__________.
解析：由周期公式得T＝＝π.
答案：π
12．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图像如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则此函数的解析式为__________．
解析：由图像知，A＝2，b＝2，＝－＝，由T＝得ω＝2，根据2×＋φ＝，得φ＝，所以函数的解析式为y＝2sin＋2.
答案：y＝2sin＋2
13．函数y＝cos2x＋sinx＋1(x∈R)的最大值为__________，最小值为__________．
解析：y＝1－sin2x＋sinx＋1＝－2＋，所以函数的最大值为，最小值为1－.
答案：　1－
14．化简：＝__________.
解析：＝＝1.
答案：1
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知0＜α＜，sinα＝.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解：(1)因为0＜α＜，sinα＝，
所以cosα＝，故tanα＝.(6分)
(2)＝
＝
＝
＝4.(12分)
16．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的周期为π，且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
解：(1)由最低点为M得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.(2分)
由点M在图像上得2sin＝－2，
即sin＝－1.
∴＋φ＝2kπ－，即φ＝2kπ－，k∈Z.
又φ∈，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(6分)
(2)∵x∈，
∴2x＋∈.(8分)
∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
(12分)
17．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)设0＜x＜π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．
解： (1)显然A＝2，又图像过点(0,1)，所以f(0)＝1，即sinφ＝，因为|φ|＜，所以φ＝；
由图像结合“五点法”可知，对应函数y＝sinx图像上的点(2π，0)，所以ω·＋＝2π，得ω＝2.(4分)
故所求函数的解析式为f(x)＝2sin.
(6分)
(2)如图所示，在同一坐标系中作出y＝2sin(x∈(0，π))和y＝m(m∈R)的图像．
(8分)
由图可知，当－2＜m＜1或1＜m＜2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
所以m的取值范围为－2＜m＜1或1＜m＜2.
(10分)
当－2＜m＜1时，两根的和为；
当1＜m＜2时，两根的和为.(13分)
18．(13分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A＞0，x∈(－∞，＋∞)，0＜φ＜π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f＝，求cos2α.
解：(1)依据周期公式可得周期T＝.(4分)
(2)由题设可知A＝4且sin＝1，则φ＋＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
(8分)
因为0＜φ＜π，所以φ＝.
即f (x)＝4sin.(10分)
(3)因为f＝4sin＝4cos2α＝，所以cos2α＝.(13分)