2014学年高中数学人教B版必修四单元测评：第二章 平面向量 Word版含解析

单元测评 平面向量
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．下列等式恒成立的是(　　)
A.＋＝0
B.－＝
C．(a·b)·c＝a(b·c)
D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
解析：由数量积满足分配律可知D正确．
答案：D
2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－18，则a与b的夹角θ是(　　)
A．120°　　　　　　　　 B．150°
C．60° D．30°
解析：∵cosθ＝＝＝－，∴θ＝150°.
答案：B
3．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则与2i＋3j垂直的向量是(　　)
A．3i＋2j B．－2i＋3j
C．－3i＋2j D．2i－3j
解析：2i＋3j＝(2,3)，C中－3i＋2j＝(－3,2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i＋3j与－3i＋2j垂直．
答案：C
4．已知a， b均为单位向量，它们的夹角为120°，那么|a＋3b|的值为(　　)
A. B.
C. D．4
解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋9＋6·|a|·|b|·cos120°＝10＋6·cos120°＝7.所以|a＋3b|＝.
答案：A
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(－3，－4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析：因为c＝λ1a＋λ2b，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以解得λ1＝1，λ2＝－2.
答案：B
6．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于(　　)
A. B.
C. D．(1,0)
解析：令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝?y＝.
答案：B
7．向量a与b不共线，＝a＋kb，＝la＋b(k，l∈R)，且与共线，则k，l应满足(　　)
A．k＋l＝0 B．k－l＝0
C．kl＋1＝0 D．kl－1＝0
解析：因为与共线，所以设＝λ(λ∈R)，即la＋b＝λ(a＋kb)＝λa＋λkb，所以(l－λ)a＋(1－λk)b＝0.因为a与b不共线，所以l－λ＝0且1－λk＝0.消去λ得1－lk＝0，所以kl－1＝0.
答案：D
8．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设a与b的夹角为θ，
∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，∴a·b≤，
∴cosθ＝≤＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
答案：B
9．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　)
A.·
B.·
C.·
D.·
解析：由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则·＝||·||·cos30°＝a2，·＝||·||·cos60°＝a2.
答案：A
10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由已知得BC＝，∠BCD＝135°，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝××cos180°＋×1×cos135°＋2××cos45°＋2×1×cos0°＝2.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝__________.
解析：∵|＋|＝|－|，
∴△ABC是以A为直角顶点的三角形，又M是BC的中点，则||＝||＝×4＝2.
答案：2
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝__________.
解析：由题知·＋·＝2，
即·－·＝·(＋)＝2＝2?c＝||＝.
答案：
13．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝__________.
解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
则由A(0,0)、B(2,0)、E(2，)、D(1，)、可得·＝1.
答案：1
14．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________．
解析：＝(＋)＝＋，
＝－＝＋，＝－.
∵M、O、N三点共线，∴＝－，∴m＋n＝2.
答案：2
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．
解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cosθ(其中θ为a与b的夹角)．(6分)
∵0°＜θ＜120°.
∴－＜cosθ＜1，∴＜|c|＜5，(10分)
∴|c|的取值范围为(，5)．(12分)
16．(12分)如图所示，D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝BD2－DC2，求证AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.(2分)
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.(4分)
由已知得a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
即e·(c－d)＝0.(6分)
∵＝＋＝d－c，
∴·＝e·(d－c)＝0，(10分)
∴⊥，即AD⊥BC.(12分)
17．(13分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求实数m满足的条件；
(2)若ABC为直角三角形，求实数m的值．
解：(1)∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，
若A、B、C三点不能构成三角形，则这三点共线，(3分)
∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)．
∴3(1－m)＝2－m，∴m＝.(6分)
(2)∵△ABC为直角三角形，
①若∠A＝90°，则⊥，
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，∴m＝.(8分)
②若∠B＝90°，则⊥，
∴＝(－1－m，－m)，
∴3(－1－m)＋(－m)＝0，
∴m＝.(10分)
③若∠C＝90°，则⊥，
∴(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，
∴m＝.(12分)
综上可得m＝或－或.(13分)
18．(13分)如图，在四边形ABCD中，＝λ(λ∈R)，||＝||＝2，|－|＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
(1)求λ的值；
(2)求·的值．
解：(1)因为＝λ，所以BC∥AD，且||＝λ||.
因为||＝||＝2，所以||＝2λ.
又|－|＝2，
所以||＝2.(4分)
作AH⊥BD交BD于H，则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，有cos∠ABH＝＝，
于是∠ABH＝30°，
所以∠ADB＝∠DBC＝30°.
而∠BDC＝90°，
所以BD＝BC·cos30°，即2＝2λ·，
解得λ＝2.(8分)
(2)由(1)知，
∠ABC＝60°，||＝4，
所以与的夹角为120°，
故·＝||·||cos120°＝－4.
(13分)