2014学年高中数学人教B版必修四单元测评：第三章 三角恒等变换 Word版含解析

单元测评 三角恒等变换
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝，且β是第三象限角，则cos的值等于(　　)
A．±　　　　　　 B．±
C．－ D．－
解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
得sinβ＝－.
∵β在第三象限，∴cosβ＝－.
∴cos＝± ＝± ＝±.
答案：A
2．已知cos2α＝，则sin2α＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵cos2α＝1－2sin2α＝，∴sin2α＝.
答案：D
3．函数y＝的最小正周期为(　　)
A．2π B．π
C. D.
解析：y＝＝tan，∴T＝.
答案：C
4．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
解析：a＝sin59°，b＝sin61°，c＝sin60°，
∴a＜c＜b.
答案：D
5．函数y＝sinxcosx＋cos2x－的图像的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
解析：y＝sin2x＋(1＋cos2x)－＝sin2x＋·cos2x－＝sin－，令2x＋＝kπ，x＝－(k∈Z)，当k＝2时，x＝，对称中心是.
答案：B
6．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则||的最大值是(　　)
A. B．2
C．4 D.
解析：＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，则
||＝＝，故||的最大值为2.
答案：B
7．若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)的值为 (　　)
A. B.
C．4 D．12
解析：由已知得：4(tanα－tanβ)＝16(1＋tanαtanβ)，即＝4，所以tan(α－β)＝4.
答案：C
8．函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　)
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D.
解析：因为f(x)＝sinx－cosx＋sinx＝·＝sin，所以函数f(x)的值域为[－，]．
答案：B
9．函数y＝sin－sin2x的一个单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
解析：y＝sin－sin2x＝－sin，其增区间是函数y＝sin的减区间，即＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，∴＋kπ≤x≤＋kπ，当k＝0时，x∈.
答案：B
10．已知sin2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D.
解析：由sin2α＝，且＜2α＜π，可得cos2α＝－，所以tan2α＝－，所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若<α<β<，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则a，b的大小关系是__________．
解析：sinα＋cosα＝sin，sinβ＋cosβ＝sin，因为<α<β<，
所以<α＋<β＋<，
所以sin>sin，所以a>b.
答案：a>b
12．已知θ∈，＋＝2，则sin的值为__________．
解析：由已知条件可得sin＝sin2θ，
又θ∈，可知θ＋＋2θ＝3π，
即θ＝，sin＝sin＝.
答案：
13．已知cosαcos(α＋β)＋sinαsin(α＋β)＝－，β是第二象限角，则tan2β＝__________.
解析：由已知可得，cosβ＝－，可求tanβ＝－，
∴tan2β＝.
答案：
14．关于函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx，下列命题：
①存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x)在区间上单调递增；③函数f(x)的图像关于点成中心对称图形；④将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后将与y＝2sin2x的图像重合．
其中正确命题的序号是__________(注：把你认为正确的序号都填上)．
解析：∵f(x)＝2sin＝2sin
＝2sin2，
∴周期T＝π，故①正确；
∵≤2x＋≤，解得x∈，
∴是其递减区间，故②错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)?x＝－(k∈Z)，当k＝1时，得③正确；应该是向右平移，故④不正确．
答案：①③
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，且A＜B＜C，sinB＝，cos (2A＋C)＝－，求cos2A的值．
解：∵A＜B＜C，A＋B＋C＝π，
∴0＜B＜，A＋C＞，0＜2A＋C＜π.
∵sinB＝，∴cosB＝.
∴sin(A＋C)＝sin(π－B)＝，
cos(A＋C)＝－.(4分)
∵cos(2A＋C)＝－，
∴sin(2A＋C)＝.(8分)
∴sinA＝sin[(2A＋C)－(A＋C)]
＝×－×
＝.
∴cos2A＝1－2sin2A＝.(12分)
16．(12分)已知函数f(x)＝tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈，若f＝2cos2α，求α的大小．
解：(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}．
(4分)
f(x)的最小正周期为.(6分)
(2)由f＝2cos2α，
得tan＝2cos2α，
即＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
(8分)
因为α∈，所以sinα＋cosα≠0.
因此(cosα－sinα)2＝，
即sin2α＝.(10分)
由α∈，得2α∈.
所以2α＝，即α＝.(12分)
17．(13分)设f(x)＝6cos2x－sin2x.
(1)求f(x)的最大值及最小正周期；
(2)若锐角α满足f(α)＝3－2，求tan的值．
解：(1)f(x)＝6×－sin2x
＝3＋3cos2x－sin2x
＝2＋3
＝2cos＋3，(4分)
故f(x)的最大值为2＋3.最小正周期T＝＝π.(6分)
(2)由f(α)＝3－2，得2cos＋3＝3－2，
故cos＝－1.(8分)
又由0＜α＜，得＜2α＋＜，故2α＋＝π，
解得α＝π.(10分)
从而tan＝tan＝.(13分)
18．(13分)已知函数f(x)＝2cos＋2sin.
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合；
(3)若f(x)＝，求cos的值．
解：f(x)＝2cosxcos＋2sinxsin－2cosx
＝cosx＋sinx－2cosx
＝sinx－cosx
＝2sin.
(1)令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴单调递减区间为(k∈Z)．(4分)
(2)f(x)取最大值2时，x－＝2kπ＋(k∈Z)，则x＝2kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．(8分)
(3)f(x)＝即2sin＝，
∴sin＝.
∴cos＝1－2sin2
＝1－2×2
＝.(13分)