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11.2 实数
一、教学目标
知识与技能：
1、了解无理数、实数的概念，以及实数的两种分类。
2、能判断一个数是有理数还是无理数。
3、了解实数与数轴上的点一一对应的关系。
4、会进行实数的大小的比较
过程与方法：
1、通过亲身探索，认识到实数和数轴上的点一一对应的关系，体会数形结合的思想。
2、从定义和性质两方面对实数进行分类，体会分类讨论的思想方法。
情感态度与价值观：
1、经历数系扩张的过程，进一步体验数系的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。培养数感与估数能力。
2、养成严谨治学的学习态度，刻苦学习的精神。
教学重点
无理数、实数的概念及实数的分类；实数与数轴上的点一一对应的关系。
教学难点
实数的大小的比较
四、教学过程
（一）、实践探索
首先我们来进行一个数学活动。
1.做一做：、(1)用计算器求；(2)利用平方关系验算所得结果．
这里，我们用计算器求得=1.414213562，再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近2．这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值．
2.如果用计算机计算，结果如何呢？阅读课本的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是有理数．那么，是怎样的数呢？
（二）、探索归纳
1、回顾有理数的概念
（1）有理数的分类.
（2）随意写几个数，将其化为小数，看一看结果，由此可得什么结论。
2、无理数、实数概念
无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称为实数。
计算结果是无限不循环小数，所以不是有理数．类似地，、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
3、实数的分类
（1）从定义分 （2）从正、负分
（三）、试一试
1、按计算器显示的结果，想象在数轴上的位置。
2、在数轴上，你能找到表示的点吗？
（四）、反思提高
1、将所有有理数都标在数轴上，那么数轴被填满了吗？
2、若再将所有无理数都标在数轴上，数轴被填满了吗？
归纳：数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
（五）、新知应用
1、在下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？（想一想判断标准）
3.14, ,π,,,,,,0.20200200020002...
解：有理数是：
无理数是：
2、比较大小
试估计与π的大小关系．
方法1：∵=18，=12，∴3>2
方法2：∵>4，<4，∴3>2
方法3：∵==>1，∴3>2
归纳可知：实数的大小比较，一般都可以通过使用计算器，用估算的办法达到目的，但有些实数的大小比较，还可以通过作差、作商等方法来达到目的。
五、课堂练习
1.下列各数中：
－1，，3.14159,π,,－,0,0.,,,2.121122111222…
其中有理数有___________________________________.
无理数有_______________________________________.
2.判断正误
（1）有理数包括整数、分数和零………………………………………………（ ）
（2）无理数都是开方开不尽的数………………………………………………（ ）
（3）无理数是无限小数………………………………………………… （ ）
（4）无限小数是无理数………………………………………………… （ ）
（5）无理数是开方开不尽的数……………………………………………（ ）
（6）无理数不能用分数表示………………………………………………（ ）
（7）整数和分数统称实数…………………………………………………（ ）
（8）数轴上的点表示实数…………………………………………………（ ）
（9）有理数与数轴上的点成一一对应关系…………………………………（ ）
六、回顾与总结
1、什么是无理数？实数？
2、实数如何分类？
3、实数与数轴上的点有什么关系？
七、课后作业
1、下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数？
2、在数轴上找到表示的点。
3、比较下列各组实数的大小：
（1）和 （2）
八、教学反思
1、“无理数是无限小数”和“无限小数是无理数”这两种说法对吗？
2、有理数和无理数的区别。
3、实数的大小比较。
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1.41421356237309504880
168872420969807856967
187537694807317667973
79907324784621070···
√2 =
问题情景
利用计算器如下操作:
⑴ 1.4142135622 显示:
1.99999999
即是说, 1.4142135622 =1.99999999
⑵√2 显示:
1.414213562
,再平方得:
2
问题:
相同显示的平方结果为何不同？
是因为限于计算器显示位数的原因，其实操作
√2 显示的结果还没有结束.
像这样, 位数无限又不循环的一类数称之无理数.
无限不循环小数叫做无理数.
实数的分类：
实数
有理数
无理数
整数
分数
正整数
零
负整数
(可化为有限小数或无限循环小数)
(无限不循环小数)
无理数常有的表现形式:
开方开不尽根的根号式
及
π
新知归纳
8. 无理数与有理数的积是无理数. ( )
1. 无限小数是无理数. ( )
下列说法正确与否, 若错则举例说明:
×
2. 无理数是无限小数. ( )
√
3. 无理数就是开不尽根的数. ( )
×
4. 带根号的数都是无理数. ( )
×
5. 无理数与无理数的和是无理数. ( )
6. 无理数与有理数的和是无理数. ( )
7. 无理数与无理数的积是无理数. ( )
×
×
×
√
9. 任何无理数的绝对值总是正数. ( )
√
做一做
给出下列各数中: , -3, , , , 3.1415,
非负有理数有:
整数有:
无理数有:
√5
√-27
3
√3
3
355
113
, , 3+ , 2 , , 1.121221222···
π
2
√121
√29
√2
1
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
-3
,
√-27
3
√121
√5
√3
3
π
2
√29
3+
√2
2
1.121221222···
355
113
3.1415
√121
1
3
找一找
新知讲授
试估计 与π的大小关系
方法 ：∵ =18， =12，∴3 >2
归纳可知：实数的大小比较，一般都可以通过使用计算器，用估算的办法达到目的，但有些实数的大小比较，还可以通过作差、作商等方法来达到目的。
1. 比较下列各组数的大小:
⑴
7
22
√2
+ 与π
√3
⑵
π与
⑶ 3
⑷ 与 2
√2
与 2
√3
√5
√3
2. 化简计算:
⑴ -2 + -3 - -3
√3
√5
√5
√2
⑵ 1- + - + -
√3
√3
√2
√5
课堂练习
0
1
-1
√2
如图是两个边长1的正方形
拼成的长方形, 其面积是2.
现剪下两个角重新拼成一个
正方形,
新正方形的边长是_____
√2
√2
2
√2
下图数轴中, 正方形的对角线长
为____,
以原点为圆心, 对角线长为
√2
半径画弧截得一点,
该点
与原点的距离是____,
√2
该点表示的数是____.
√2
实数与数轴上的点是一一对应关系.
√2
-
实践探索
1. 已知: x = , 求 x 的值.
√2
2. 求 2- 的相反数和绝对值.
√5
3. 根据如图数轴表示, 化简下式:
0
b
a
√2
√3
√2
-
巩固提高
1、无理数与实数:
2、实数与数轴:
每个实数都能在数轴上找到一个对应的点,
无理数的运算适用于有理数的一切运算法则.
无理数与有理数统称为实数.
无限不循环小数叫做无理数.
反之, 数轴上每一个点都对应一个实数.
(一一对应)
3、无理数的运算:
课堂小结
1、下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数？
2、在数轴上找到表示的点。
3、比较下列各组实数的大小：
（1） 和 （2）
课后作业
