高中数学人教A版2019必修第二册 9.1.2 分层随机抽样 导学案（含答案）

9.1.1 简单随机抽样
A.理解分层抽样的基本思想和适用情形.
B.掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数．
C.了解二种抽样方法的区别和联系．
重点：理解分层抽样的基本思想和适用情形.
难点：掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数．
1、简单随机抽样的概念:
设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
2、简单随机抽样的特点:
①总体个数有限；②逐个进行抽取；③机会均等抽样.
3、简单随机抽样的常用方法：
①抽签法； ②随机数表法.
抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，
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一、情境与问题
问题1,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形,这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差.
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？
在对树人中学高一年级学生身高的调查中， 采取简单随机抽样的方式抽取了50名学生。
1.抽样调查最核心的问题是什么？
2.会不会出现样本中 50 个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？
3.为什么会出现这种“极端样本”？
4.如何避免这种“极端样本”？
样本代表性;会;抽样结果的随机性个体差异较大;分组抽样，减少组内差距
在树人中学高一年级的 712 名学生中， 男生有 326 名、女生有 386 名。
样本量在男生、女生中应如何分配？
假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
你认为哪些因素影响学生视力？抽样要考虑哪些因素？
分层抽样
每一层抽取的样本数=
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.×总样本量
做一做
1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
2．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆.
1.分层抽样的步骤
2.分层抽样的特点有哪些？
3.　计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办？
探究3　分层抽样公平吗？
4.　简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？
两种抽样方法的特点及其适用范围如下表：
两种抽样方法的特点及其适用范围如下表：
类别 简单随机抽样 分层抽样
各自 特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层，分层进行抽取
相互 联系 在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
适用 范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成
总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性．
分层随机抽样的平均数
问题探究
１.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？
２.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？
是否也可以直接用样本平均数进行估计？
（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：
分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
第1层的总体平均数和样本平均数为:
第2层的总体平均数和样本平均数为:
总体平均数和样本平均数为:
由于用第一层的样本平均数 可以估计第１层的总体平均数 ，第二层的样本平均数 　可以估计第2层的总体平均数,因此我们可以用
估计总体平均数
对各层样本平均数加权（层权）求和
;
分层随机抽样如何估计总体平均数
在比例分配的分层随机中抽样中
例1.在树人中学高一年级的 712 名学生，男生有 326 名、女生有 386 名，分别抽取的男生23名男生、27名女生样本数据如下
173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0
172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0
167.0 170.0 175.0
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 168.0 155.0 164.0 162.5
154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0
172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.6
高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行分层，得到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生的平均身高。
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高一全体学生的平均身高。
1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　)
A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
2．一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为(　　)
A．20,15,5　　　　　B．4,3,1 C．16,12,4 D．8,6,2
3．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为(　　)
A．7,5,8 B．9,5,6 C．7,5,9　 D．8,5,7
4．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型 A B C
产品数量(件) 1 300
样本容量 130
由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
5．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间 第二车间 第三车间
女工 173 100 y
男工 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行抽样。
2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。
3、分层随机抽样中如何用样本估计总体平均值。
；
参考答案：
知识梳理
学习过程
1. 【解析】A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．
【答案】　B　
2． 【解析】　三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本为46辆，则按＝的比例抽样，所以依次应抽取1 200×＝6(辆)，6 000×＝30(辆)，2 000×＝10(辆)．
【答案】　6　30　10
2. 【提示】　(1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；
(2)分成的各层互不交叉；
(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量．
3.　 【提示】　为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体．
探究3　 【提示】　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．
如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.
4.　 【提示】　简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中．简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关．
系统抽样容易实施，可节约抽样成本．系统抽样所得样本的代表性与个体编号有关，如果个体随编号呈现某种特征，所得样本代表性很差．分层抽样应用最广泛，它充分利用
问题探究
１.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？
２.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？
是否也可以直接用样本平均数进行估计？
例1. 样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.6
高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行分层，得到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生的平均身高。
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高一全体学生的平均身高。
小明用比例分配的分层抽样方法，从高一年级的学生中抽取了十个样本量为50的样本，计算出样本平均数。与相同样本量的简单随机抽样的结果比较。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
简单随机抽样 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.3 165.7 165.0
分层随机抽样 165.8 165.1 164.3 164.3 166.4 164.6 165.2 164.9 166.1 165.1
达标检测
1．【答案】　D
【解析】　D中总体有明显差异，故用分层抽样．
2．【答案】　A【解析】　三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20,40×＝15,40×＝5.
3．【答案】　B
【解析】　由于样本容量与总体个体数之比为＝，故各年龄段抽取的人数依次为45×＝9(人)，
25×＝5(人)，20－9－5＝6(人)．
4． 【解析】　抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3 000－1 300)－100]×＝800(件)．
【答案】　800
5． 【解】　(1)由＝0.15，得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，
∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取m名工人，则由＝，得m＝20.
∴应在第三车间抽取20名工人．
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