高中数学人教A版2019必修第二册 9.1.2分层随机抽样 教学设计(表格式)

9.1.2 分层随机抽样
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《9.1.2 分层抽样》，本节的主要内容在本章的结构上，通过大背景的“串联”，从大背景中不断提出新问题，从而通过问题链进行探究学习，合理选择抽样方法的必要性并掌握分层抽样方法。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标 学科素养
A.理解分层抽样的基本思想和适用情形. B.掌握分层抽样的实施步骤. C.了解二种抽样方法的区别和联系． 1.数学建模：结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性； 2.逻辑推理：学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本； 3.直观想象： 对简单随机抽样、分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系． 4.数学运算：总体平均数的估计方法
1.教学重点：理解分层抽样的基本思想和适用情形.．
2.教学难点： 掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数．
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教学过程 教学设计意图 核心素养目标
一、温故知新 1、简单随机抽样的概念: 设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 2、简单随机抽样的特点: ①总体个数有限；②逐个进行抽取；③机会均等抽样. 3、简单随机抽样的常用方法： ①抽签法； ②随机数表法. 抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本， 二、问题探究 例如,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形,这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差. 能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 在对树人中学高一年级学生身高的调查中， 采取简单随机抽样的方式抽取了50名学生。 1.抽样调查最核心的问题是什么？ 2.会不会出现样本中 50 个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？ 3.为什么会出现这种“极端样本”？ 4.如何避免这种“极端样本”？ 样本代表性;会;抽样结果的随机性个体差异较大;分组抽样，减少组内差距 在树人中学高一年级的 712 名学生中， 男生有 326 名、女生有 386 名。 样本量在男生、女生中应如何分配？ 假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？ 你认为哪些因素影响学生视力？抽样要考虑哪些因素？ 分层抽样 每一层抽取的样本数= 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.×总样本量 做一做 1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 【解析】A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样． 【答案】　B　 2．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆. 【解析】　三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本为46辆，则按＝的比例抽样，所以依次应抽取1 200×＝6(辆)，6 000×＝30(辆)，2 000×＝10(辆)． 【答案】　6　30　10 1.分层抽样的步骤 2.分层抽样的特点有哪些？ 【提示】　(1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；(2)分成的各层互不交叉；(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量． 3.　计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办？ 【提示】　为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体． 探究3　分层抽样公平吗？ 【提示】　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关． 如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝. 4.　简单随机抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？ 【提示】　简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中．简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关． 分层抽样应用最广泛，它充分利用总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性． 分层随机抽样的平均数 两种抽样方法的特点及其适用范围如下表： 类别简单随机抽样分层抽样各自 特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互 联系在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样适用 范围总体中的个体数较少总体由存在明显差异的几部分组成
１.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？ ２.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？ 是否也可以直接用样本平均数进行估计？ （1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则： 分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数 第1层的总体平均数和样本平均数为: 第2层的总体平均数和样本平均数为: 总体平均数和样本平均数为: 由于用第一层的样本平均数 可以估计第１层的总体平均数 ，第二层的样本平均数 　可以估计第2层的总体平均数,因此我们可以用 估计总体平均数 对各层样本平均数加权（层权）求和 ; 分层随机抽样如何估计总体平均数 在比例分配的分层随机中抽样中 例1.在树人中学高一年级的 712 名学生，男生有 326 名、女生有 386 名，分别抽取的男生23名男生、27名女生样本数据如下 173.0174.0166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0
163.0164.0161.0157.0162.0165.0168.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0
样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.6 高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行分层，得到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。 （1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生的平均身高。 （2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高一全体学生的平均身高。 小明用比例分配的分层抽样方法，从高一年级的学生中抽取了十个样本量为50的样本，计算出样本平均数。与相同样本量的简单随机抽样的结果比较。 序号12345678910简单随机抽样165.2162.8164.4164.4165.6164.8165.3164.3165.7165.0分层随机抽样165.8 165.1 164.3 164.3 166.4 164.6 165.2164.9 166.1 165.1
由生活中的问题出发，提出问题，让学生感受到采用分层抽样的必要性。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。 通过具体问题，让学生感受分层抽样的概念及方法，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 通过实例分析，让学生掌握分层抽样的基本步骤，并熟悉的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测 1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　) A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样 B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样 C．从一箱30个零件中抽取5个入样 D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样 【答案】　D 【解析】　D中总体有明显差异，故用分层抽样． 2．一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为(　　) A．20,15,5　　　　　B．4,3,1 C．16,12,4 D．8,6,2 【答案】　A【解析】　三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20,40×＝15,40×＝5. 3．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为(　　) A．7,5,8 B．9,5,6 C．7,5,9　 D．8,5,7 【答案】　B 【解析】　由于样本容量与总体个体数之比为＝，故各年龄段抽取的人数依次为45×＝9(人)， 25×＝5(人)，20－9－5＝6(人)． 4．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格： 产品类型ABC产品数量(件)1 300样本容量130
由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件． 【解析】　抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3 000－1 300)－100]×＝800(件)． 【答案】　800 5．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表： 第一车间第二车间第三车间女工173100y男工177xz
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15. (1)求x的值； (2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？ 【解】　(1)由＝0.15，得x＝150. (2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250， ∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400. 设应从第三车间抽取m名工人，则由＝，得m＝20. ∴应在第三车间抽取20名工人． 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。
四、小结 1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点： （1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。 （2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 （3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行抽样。 2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。 3、分层随机抽样中如何用样本估计总体平均值。 ； 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
本节的主要内容在本章的结构上，通过大背景的“串联”，从大背景中不断提出新问题，从而通过问题链进行探究学习，合理选择抽样方法的必要性并掌握分层抽样方法。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。
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