5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）教学设计

第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）
教学设计
一、教学目标
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.
2.能够利用单调性解决一些问题，比如比较大小，求最值等.
二、教学重难点
1、教学重点
正弦函数、余弦函数的单调性、最值，研究函数的思想方法
2、教学难点
利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性、最值
三、教学过程
1、新课导入
前面研究了正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待于我们去研究呢？继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有何规律？
2、探索新知
单调性
由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它 一个周期区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
教师：观察正弦函数的图像.
问题1：函数值的变化有什么特点？
学生：观察函数图像.思考函数图像的变化趋势，总结函数的单调性.
当时，曲线逐渐上升，是增函数，的值由-1增大到1；
当时，曲线逐渐下降，是减函数，的值由1减小到-1.
用表格表示为：
问题2：推广到整个定义域呢？
学生：观察图像，讨论交流.
当时，正弦函数y=是增函数，函数值由-1增大到1.
当时，正弦函数y=是减函数，函数值由1减小到-1.
同理，观察余弦函数的图像.
问题3：余弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
教师引导学生发现余弦函数的图像特点，并与正弦函数
的图像特点进行比较，学生分组探讨，教师巡视.
当时，曲线逐渐上升，是增函数，的值由-1增大到1.
当时，曲线逐渐下降，是减函数，的值由1减小到-1.
用表格表示为：
推广到整个定义域：
当时，余弦函数是增函数，的值由-1增大到1.
当时，余弦函数是减函数，函数值由1减小到-1.
问题4：正弦函数、余弦函数的单调区间分别是什么？
正弦函数的增区间为，减区间为.
余弦函数的增区间为，减区间为
最大值与最小值
问题5：继续观察图像，当正弦函数、余弦函数取最值时，x的取值有何规律？
对于正弦函数，有
当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值-1
对于余弦函数有
当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值-1.
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）
（2）
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值
（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合；
使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合.
函数的最大值是；最小值是.
（2）令，使函数取得最大值的z的集合，就是使取得最小值的z的集合.
由，得.所以，使函数取得最大值的x的集合是.
同理，使函数取得最小值的x的集合是.
函数的最大值是3，最小值是-3.
方法总结：
（1）求解例题的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大（小）值.
（2）对于形如的函数，一般通过变量代换（如设）化归为的形式，然后利用正弦函数的最大（小）值求解.
（3）余弦函数类似.
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小：
（1）与；（2）与.
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
解：（1）因为，正弦函数在区间上单调递增，所以.
（2），.
因为，且函数在区间上单调递减，所以，
即.
方法技巧：
比较三角函数值的大小时，先化三角函数为同名三角函数，再将角转化到同一个单调区间内，利用单调性比较大小.若α，β不在同一个单调区间内，则要通过诱导公式等工具先把α，β转化到同一个单调区间内再比较函数值的大小，有时可先大致判断函数值的符号，若符号不同，则大小易判.
提问：你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试
上图中
由图可知即.
类似地，可以比较出.
例5 求函数的单调递增区间.
分析：令，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数 在相应的区间上也一定单调递增.
解：令，则.
因为的单调区间是，且由，得.所以，函数的单调区间是
思考：你能求出函数的单调区间吗？
分析：本例的求解是转化与化归思想的应用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题，然后解不等式得所求区间.
解：令.由于是的减函数，因此函数的减区间就是原函数的增区间.
函数的单调递减区间是
由于
得
设，,
.
的单调递增区间是.
方法技巧：求函数的单调区间的的一般步骤：当时，把 “”看成一个整体，由得出x的取值范围，即可得出函数的单调递增区间；
由得出x的取值范围，即可得出函数的单调递增区间.
【注意】单调区间之间只能用“，”或“和”连接，不能用“”.
3、课堂练习
1.函数，的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查正弦型函数的单调区间.令，解得，当时，，即函数的单调递增区间是.
2.函数的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，作出函数的图像如下：
由图知，函数在区间和单调递增；
在区间和上单调递减.所以选项ABC错误，选项D正确.
故选：D.
3.已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知 时, 取得最大值, 则, 解得, 由于,
则, 故, 最小正周期, 故选 B.
4.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】（1）令，得；
令，得.故函数的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）当时，，当，即时，取得最大值，；当，即时，取得最小值，.函数在区间上的最小值和最大值分别为.
4、小结作业
小结：正弦函数、余弦函数的单调区间及最值.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）
一、问题引入
二、新课讲解
1.正弦函数单调性
2.余弦函数单调性
3.正余弦函数最值
三、例3、例4、例5
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