四川省成都市金苹果锦城第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题（含答案）

成都金苹果锦城一中2022—2023学年（上）高2020级期中考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
3．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．在刚刚进行的全校体能测试中，锦一高三某班40名同学体能成绩恰在内，绘成如下频率分布直方图（满分100分），下列说法正确的是（ ）
A．该班学生体能成绩的中位数是75分
B．该班占40%的同学体能成绩达到优秀（80分及以上为优秀）
C．该班学生体能成绩的平均数是77分
D．该班学生体能成绩的众数是78分
5．已知等比数列为递增数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为20，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知展开式各项的二项式系数之和为512，则展开式中的常数项是（ ）
A．84 B．－84 C．126 D．－126
8．定义在R上的奇函数满足，若当时，，则（ ）
A．－9 B．9 C．－3 D．3
9．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
10．把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义域为R的奇函数满足：当时，；当时，．现有下列四个结论：
①既无最大值也无最小值；②当时，；
③若，，则；④若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．已知向量，满足，，，则______．
14．记为等差数列的前n项和，若，则______．
15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝200m，则山高MN＝______m．
16．关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本题12分）
在①；②；③这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．
（1）求角A；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，，若已知，，求b，c的值．
18．（本题12分）
为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，即对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，其中男生80人，女生20人，调查得到如表所示的统计数据．
时间t/min
人数 32 28 14 14 8 4
（1）若每日使用手机的时间小于36min表现为“正常”，大于等于36min表现为“手机成瘾”，请根据已知条件补全下列2×2列联表，并判断是否有99%把握认为“手机成瘾”与性别有关；
“正常” “手机成瘾” 合计
男生 80
女生 10 20
合计 100
（2）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
19．（本题12分）
如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，，D为BC的中点，E为侧棱上的点．
（1）当E为的中点时，求证：平面；
（2）是否存在点E，使得平面与平面ABC所成的锐二面角为60°，若存在，求AE的长，若不存在，说明理由．
20．（本题12分）
如图，已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，离心率为，过的动直线l与椭圆C交于M、N两点，且的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为x轴上一点，使得∠MPO＝∠NPO（O为坐标原点）恒成立，记、的面积记分别为、，求的取值范围．
21．（本题12分）
已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设，，函数有两个极值点，．
①求m的取值范围；
②若，求的取值范围．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线，A是曲线上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，定点，射线与曲线，分别交于异于极点O的M，N两点，求△PMN的面积．
[选修4－5：不等式选讲]
23．已知函数的最小值为m．
（1）求m；
（2）已知a，b，c为正数，且，求的最小值．
高三上期半期考试理科数学参考答案
选择题 BBDCD CBCCB DC
填空题 13.1 14.14 15.300 16.
三、解大题
17. （1）若选①：由已知得：
，由正弦定理可得
，可得，
由余弦定理可得， 因为， 所以.
若选②：因为，
由正弦定理可得，
所以
因为 ， 所以， 所以，
因为， 所以
若选③：因为 ，由正弦定理得，
因为 ，所以，故可得
即，所以，因为 ，所以；
（2）由（1）可得，，所以，
由余弦定理得：，
所以，又因为，解得，.
18.(1)
“正常” “手机成瘾” 合计
男生 64 16 80
女生 10 10 20
合计 74 26 100
所以有99%把握认为“手机成瘾”与性别有关.
(2) 由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为，
则，所以, ,
, ,
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
19. （1）取中点，连接，，为的中点，
所以，且，又因为为的中点，，
且，所以，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，
平面，所以平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，
所以，，设，
，，
设平面的一个法向量，
所以，所以，
所以，
平面的一个法向量为，
所以，整理得
，所以，所以，
所以不存在点，使得平面与平面所成的锐二面角为．
20. （1），解得，，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设点 使得恒成立
设直线MN：，点、，则，
由消去并整理得：，
则，，
因为，则直线的斜率满足，
而 ，恒成立，解得，
，设，有，于是得，
因此有，，
，显然，当且仅当时取等号，
因此，解得，则，
所以的取值范围是.
21.（1）
当时，的增区间是，，减区间是
当时，在上单调递增；
当时，的增区间是，，减区间是；
（2）①，因为函数有两个极值点
所以有两个变号零点；
当时，，单减
当时，，单增
当时，；当时，
所以只需
所以；
②由已知
，令 得
，
令，，则，
令，则
单增，又因为
所以当时，，，单增
由洛必达法则 ，
所以，所求范围是2，
22. （1）曲线C1：x2＋（y－2）2＝4，即x2＋y2－4y＝0.
从而ρ2＝4ρsin θ.
所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sin θ.
设B（ρ，θ），则A，
则有ρ＝4sin＝－4cos θ.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－4cos θ.
（2）P到射线θ＝（ρ＞0）的距离为d＝4sin＝2，
射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1的交点M，则，＝4sin ＝2，
射线θ＝（ρ＞0）与曲线C2的交点N，则，＝－4cos ＝，
则|MN|＝＝，则＝＝.
23. （1）依题意得：，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，当时，取得最小值1，即的最小值．
（2）解：由（1）知，，
（当且仅当时等号成立），
∴，
当且仅当，即，时等号成立，
∴的最小值为12．