4.2.2等差数列前n项和公式（第1、2课时） 课件（共20张PPT）
文档属性
| 名称 | 4.2.2等差数列前n项和公式（第1、2课时） 课件（共20张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-30 08:00:48 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
4.2.2等差数列的前n项和
（第1课时）
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
思考 现有一堆钢管，如图，第1层有1根，第2层有2根，第3层有3根，……，第100层有100根，
你能计算出共有多少根钢管吗？即求1+2+3+4+…+100=？
层
据此可得1+2+3+4+…+100
=
=5050
思考 上述求和过程利用了
等差数列的什么性质？
合作探究
思考 可看作等差数列{}的前100项和，类比上述算法，你能求出等差数列{}的前n项和吗？即=？
所以
记
由①＋②得
上述求和方法叫做倒序相加法
合作探究
探究 倒序相加法能否用来求首项为公差为的等差数列的前项和 呢？
①+②, 得
①
②
新知讲解
将代入
等差数列的前n项和公式
注 ①两个公式共涉及 五个量，知三求二;
②当已知首项，末项，项数n时，用公式较好；
当已知首项、公差和项数时，用公式较好．
③数列是等差数列
(p、q为常数)，反之成立吗？
数列是等差数列，其中 , = - .
例题讲解
分析：
（1）可以直接利用公式求和；
（2）可以先利用的值求出d，再利用公式求和；
（3）已知公式 中的，
等差数列的前n项和公式的应用
例1 已知数列是等差数列.
（1）若，，求 ；（2）若，，求；
（3）若， , ，求n.
例题讲解
解：（1）因为，，根据公式，可得 .
（2）因为，，所以，
根据公式，可得.
（3）把， , 代入得
整理，得，解得 n=12，或n=-5（舍去）
所以 n=12.
例题讲解
例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于的二元一次方程，解解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得.
解：由题意，知， .
把它们代入公式，得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
2. 已知数列{an}的前n项和公式为，则数列{an}（ ）
A．是以为首项， 为公差的等差数列
B．是以2为首项， -2为公差的等差数列
C．是以-2为首项，2为公差的等差数列
D．不是等差数列
课堂练习
1. 在等差数列中，
（1）已知，，求；
（2）已知， 求 .
A
课堂练习
3 .在等差数列中，若， 求=5，求 .
课堂练习
4 .已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及项数 .
新知讲解
设等差数列的前n项和为 ，则
2. 等差数列的依次项之和，公差为的等差数列.
拓展 等差数列前n项和的常用性质
1. 若表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d，
②当项数为偶数2n时， ， .
① 当项数为偶数2n-1时， ， , .
跟踪训练
跟踪训练
1. 设一个等差数列的前n项和为30，前2n项和为100， 则它的前3n项和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
C
3. 已知数列， 均为等差数列，其前n项和分别为，且，则
例题讲解
分析：
将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列.设数列的前n项和为.由题意可知，是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列，其前n项和为.
根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且 .
由，可得.
因此，第1排应安排21个座位.
例3 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.
例题讲解
例4 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
解法1：因为 ，
所以，当n取与最接近的正数即5或6时，最大，最大值为30.
解法2：由，所以是递减数列.
由可知，
当时，当时，当时，
所以当n=5或6时，最大.
最大值为=30
合作探究
求等差数列的前项和的最值的解题策略
(1)二次函数法
将配方，转化为求二次函数的最值问
题，借助函数单调性或函数图像来解决；
(2)邻项变号法
①当时，满足 的项数n使取得最大值.
②当时，满足 的项数n使取得最小值.
跟踪训练
1. 在等差数列中，设为其前n项和，且，当取得最大值时，n的值为____.
7
题型拓展
等差数列的综合应用
例5 已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2＝an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Bn.
例6 已知数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，①求{an}的通项公式；②求数列{|an|}的前n项和Tn.
课堂总结
1.等差数列的前n项和公式
知三求二
2.等差数列的前n项和的性质
（2）等差数列的依次项之和，公差为的等差数列.
（1）若表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d，
②当项数为偶数2n时， ， .
① 当项数为偶数2n-1时， ， , .
（3）数列是等差数列，其中 , = - .
课堂总结
求等差数列的前项和的最值的解题策略
(1)二次函数法
将配方，转化为求二次函数的最值问
题，借助函数单调性或函数图像来解决；
(2)邻项变号法
①当时，满足 的项数n使取得最大值.
②当时，满足 的项数n使取得最小值.
4.2.2等差数列的前n项和
（第1课时）
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
思考 现有一堆钢管，如图，第1层有1根，第2层有2根，第3层有3根，……，第100层有100根，
你能计算出共有多少根钢管吗？即求1+2+3+4+…+100=？
层
据此可得1+2+3+4+…+100
=
=5050
思考 上述求和过程利用了
等差数列的什么性质？
合作探究
思考 可看作等差数列{}的前100项和，类比上述算法，你能求出等差数列{}的前n项和吗？即=？
所以
记
由①＋②得
上述求和方法叫做倒序相加法
合作探究
探究 倒序相加法能否用来求首项为公差为的等差数列的前项和 呢？
①+②, 得
①
②
新知讲解
将代入
等差数列的前n项和公式
注 ①两个公式共涉及 五个量，知三求二;
②当已知首项，末项，项数n时，用公式较好；
当已知首项、公差和项数时，用公式较好．
③数列是等差数列
(p、q为常数)，反之成立吗？
数列是等差数列，其中 , = - .
例题讲解
分析：
（1）可以直接利用公式求和；
（2）可以先利用的值求出d，再利用公式求和；
（3）已知公式 中的，
等差数列的前n项和公式的应用
例1 已知数列是等差数列.
（1）若，，求 ；（2）若，，求；
（3）若， , ，求n.
例题讲解
解：（1）因为，，根据公式，可得 .
（2）因为，，所以，
根据公式，可得.
（3）把， , 代入得
整理，得，解得 n=12，或n=-5（舍去）
所以 n=12.
例题讲解
例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于的二元一次方程，解解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得.
解：由题意，知， .
把它们代入公式，得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
2. 已知数列{an}的前n项和公式为，则数列{an}（ ）
A．是以为首项， 为公差的等差数列
B．是以2为首项， -2为公差的等差数列
C．是以-2为首项，2为公差的等差数列
D．不是等差数列
课堂练习
1. 在等差数列中，
（1）已知，，求；
（2）已知， 求 .
A
课堂练习
3 .在等差数列中，若， 求=5，求 .
课堂练习
4 .已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及项数 .
新知讲解
设等差数列的前n项和为 ，则
2. 等差数列的依次项之和，公差为的等差数列.
拓展 等差数列前n项和的常用性质
1. 若表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d，
②当项数为偶数2n时， ， .
① 当项数为偶数2n-1时， ， , .
跟踪训练
跟踪训练
1. 设一个等差数列的前n项和为30，前2n项和为100， 则它的前3n项和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
C
3. 已知数列， 均为等差数列，其前n项和分别为，且，则
例题讲解
分析：
将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列.设数列的前n项和为.由题意可知，是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列，其前n项和为.
根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且 .
由，可得.
因此，第1排应安排21个座位.
例3 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.
例题讲解
例4 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.
解法1：因为 ，
所以，当n取与最接近的正数即5或6时，最大，最大值为30.
解法2：由，所以是递减数列.
由可知，
当时，当时，当时，
所以当n=5或6时，最大.
最大值为=30
合作探究
求等差数列的前项和的最值的解题策略
(1)二次函数法
将配方，转化为求二次函数的最值问
题，借助函数单调性或函数图像来解决；
(2)邻项变号法
①当时，满足 的项数n使取得最大值.
②当时，满足 的项数n使取得最小值.
跟踪训练
1. 在等差数列中，设为其前n项和，且，当取得最大值时，n的值为____.
7
题型拓展
等差数列的综合应用
例5 已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2＝an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Bn.
例6 已知数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，①求{an}的通项公式；②求数列{|an|}的前n项和Tn.
课堂总结
1.等差数列的前n项和公式
知三求二
2.等差数列的前n项和的性质
（2）等差数列的依次项之和，公差为的等差数列.
（1）若表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d，
②当项数为偶数2n时， ， .
① 当项数为偶数2n-1时， ， , .
（3）数列是等差数列，其中 , = - .
课堂总结
求等差数列的前项和的最值的解题策略
(1)二次函数法
将配方，转化为求二次函数的最值问
题，借助函数单调性或函数图像来解决；
(2)邻项变号法
①当时，满足 的项数n使取得最大值.
②当时，满足 的项数n使取得最小值.