4.3.1对数的概念 课件（共17张PPT）

第四章 指数函数与对数函数
4.3.1 对数的概念
在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x 中求出经过x年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的y倍．
反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
（一）概念的引入
答案：通过方程2=1.11????,3=1.11????,4=1.11????
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（一）概念的引入
追问1：若 1.11????=2，这里的x存在吗？唯一吗？能否借助已有知识解释？你能表示它吗？
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答案：唯一存在，可以由指数函数来解释。图像上可以通过软件来实现。
运算的学习轨迹：在加法运算a+x=N中求解x时定义了减法及它的运算结果“差”的概念；在乘法运算ax=N中求解x时定义了除法及它的运算结果“商”的概念；在乘方运算 ????????=N中求解x时定义了开方及它的运算结果“数的n次方根”的概念。现在我们想从 ????????=N中求解x，也需要定义一种新的概念．
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追问2：为什么要学习减法、除法、开方运算？并类比思考如何解决上面这个问题？
（一）概念的引入
　追问3：请同学们阅读教科书对数概念部分，并回答下列问题：
　　（1）在上面的问题中，如果4=1.11???? ，则x如何表示？是什么含义？
　　（2）什么是常用对数和自然对数，它们如何表示？
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（一）概念的引入
上述问题实际上就是从2=1.11x ，3=1.11x ，4=1.11x ，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这就是本节要学习的对数.
例如：
由于2=1.11x，所以x就是以1.11为底2的对数，记作x＝log1.112；
由于3=1.11x，所以x就是以1.11为底3的对数，记作x＝log1.113；
再如：
由于42=16，所以以4为底16的对数是2，记作x＝log416.
一般地，如果ax＝N，(a>0且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数记作x＝logaN，其中a叫底数，N叫真数．
（一）概念的引入
特别注意:：logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
通常，将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN；另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数称为自然对数，并把logeN简记为lnN ．
一般地，如果ax＝N，(a>0且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数记作x＝logaN，其中a叫底数，N叫真数．
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（二）概念的精致
问题2：欧拉指出：“对数源出于指数”，结合定义，你是如何理解这句话的？利用这种关系，你可以得出对数的哪些性质？
追问1：能否利用较为简洁的形式表达出指数、对数之间的这种关系？
指数与对数的关系：
当a>0，a≠1时，ax＝N?________．
logaN＝x
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
底数
幂
真数
指数
以a为底N的对数
（二）概念的精致
其实指数式与对数式，虽然从形式上看，两者不同，但本质上是一致的.这个一致就是底数、指数（对数）、幂（真数）三者之间的关系.
例1 将下列指数形式化为对数形式， 对数形式化为指数形式：
(1) 54＝625； (2) ； (3) ＝5.73；
(4)log0.516＝－4； (5)lg0.01＝－2； (6)ln10＝2.303．
（三）概念的应用
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
由指数和对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
（真数一定为正数）
利用对数与指数间的关系证明这两个结论.
因为ax＝N，(a>0且a≠1)，由指数函数的性质可知：N>0，所以负数和
0没有对数. （真数N一定为正数）
(1) log 64 x＝ ； (2) logx8＝6；
(3) lg100＝x; (4) －ln e2 ＝x.
例2 求下列各式中的x 的值：
（三）概念的应用
练习1 求下列各式的值：
(1) ； (2) ．
（三）概念的应用
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1) lg(ln x)＝0 ； (2) lg(ln x)＝1 ； (3) log7[log3(log2x)]＝0 ．
（三）概念的应用
1. 对数的概念：
一般地，如果ax＝N，(a>0且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数记作x＝logaN，其中a叫底数，N叫真数. （真数一定为正数）
2. 对数的性质：
（四）小结提升
课本126页 习题4.3 第1题
求下列各式中x的值