4.3.1等比数列的概念（第1课时） 概念及通项公式 课件（共27张PPT）

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努力请从今日始！
4.3.1 等比数列的概念
1.已知递减的等差数列{an}的前n项和为 Sn, S6 =S11 ,
则 不成立的是 ( )
A. a9 = 0 B. S9最大 C. S16 > 0 D. S17 = 0
解析: ∵S6 =S11 ，∴a7+ a8+a9 + a10 + a11 = 0，
∵等差数列{an}中， a7+a11= a8+a10=2a9，
∴ a7+a11= a8+a10=2a9 = 0 ∴ a8+a10= 0
又等差数列{an}为递减数列，所以公差d<0，
∴ a8 > 0 , a9 = 0， a10 < 0，
B
对点练清 ：0
∴数列{an}前8项为正数， S8或S9 最大.
高中数学（选择性必修）第二册第一课时等比数列的概念及通项公式2022.11.284.3等比数列4.3.1等比数列的概念教学目标充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学生学习数学的兴趣。知识与技能：过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。情感态度与价值观：1.正确理解等比数列及等比中项的概念；2.掌握等比数列的通项公式；3.并能对等比数列的通项公式进行简单的运用.一、等差数列及其有关概念2、等差数列的符号表示（定义式）1、等差数列的定义：数列{an}中，任取相邻的两项an、an-1(n≥2)或an+1、an(n∈ N*).若an-an-1=d(常数)(n≥2) {an}为等差数列.或:若an+1-an=d(常数)(n∈ N*) {an}为等差数列知识回顾：an-an-1=d(常数)(n≥2).或:若an+1-an=d(常数)(n∈ N*)一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：在30天中，每天借给穷人10万元．借钱第一天，穷人还1分钱；第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的2倍，30天后，互不相欠。穷人听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。情景（3）--固君子本数学是有用的20,21,22,23,…,226,227,228,229.210=1024220=1048576228=268435456问题导入229=5368709 121.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:请看下面几个问题中的数列.2.《庄子·天下》中提到:“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是④9, 92, 93，…，910；①100, 1002, 1003，…，10010；②5 , 52, 53，…，510.③情景导入3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2，4，8，16，32，64，….⑤4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是⑥探究：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？情景导入我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.如果用{an}表示数列①，那么有这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．其余几个数列也有这样的取值规律吗，请你写出相应的规律.情景导入9, 92, 93，…，910；①100, 1002, 1003，…，10010；②5 , 52, 53，…，510.③④2，4，8，16，32，64，….⑤⑥思考p13：类比等差数列你能通过运算发现以下数列的取值规律吗？各式取值规律：从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数.思考:类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？导入新课符号语言:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．注意:(1)从第2项起每一项与它的前一项之比为常数q;(2)任意一项an≠ 0且q≠0;(3)q=1时，{an}为非零常数列.新课讲授：一、等比数列的概念1、等比数列的定义(文字语言)：(递推公式)(1)公比q为什么不能等于0？首项能等于0吗？(2)公比q=1时是什么数列？说明：(1)公比q≠0，则an≠0 (n∈N)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；(2)q=1，常数列；既是等差又是等比数列。思考：解析：(1)①若q=0，此时数列{an}从第2项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。②若a1=0,第2项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零.新课讲授：一、等比数列的概念B课堂练习：1分析： 判定方法1°各项an≠02°依据等比数列的定义2、等比中项
若 在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
所以 G 2 = ab.
反之，若G 2=ab(ab>0)，
∴a, G, b 成等比数列.
即a , G , b成等比数列
类似等差中项
新课讲授： 一、等比数列的概念
1、思维辨析(对的打“A”,错的打“B”)(1)若数列{an}满足an+1=2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列. ()(2)常数列b，b，b，……，一定为等比中项.()(3)任意两个非零常数a，b都有等比中项. ()(4)G2=ab是a，G，b成等比数列的充要条件. ( )解析：(1)不一定.当a1=0时,按所给递推关系式,该数列的各项都为0,此时{an}不是等比数列.(3)当ab<0时，a，b没有等比中项.(2)当b=0时，不是等比数列.(4)当G=a=b=0时，满足G2=ab，此时a，G，b不是等比数列.课堂练习：1BBBB又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.思路1：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义：an+1=an q所以a2=a1qa3=a2q=(a1q) q= a1q2，a4=a3q=(a1q2) q=a1q3，an=a1qn-1(n≥2 ) . 则 首项为a1，公比为q的等比数列{an}通项公式为探究p28!你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？递推公式不完全归纳法迭代法an=a1qn-1(n∈N﹡,q≠0)……累乘法探究p28!你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？思路2：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0根据等比数列的定义：an+1=an q递推公式n-1个n-1个新课讲授：二、等比数列的通项公式等比数列{an}首项为a1，公比为q，{an}的通项公式为：an=a1qn-1(n∈N﹡,q≠0)反之：任给指数函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a．等比数列{an}的图像有什么特点 新课讲授：二、等比数列的通项公式解法1：设等比数列{an}的公比为q，由a4= 48 ,a6= 12，例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12 , 求{an}的第5项.分析：等比数列{an}由a1，q唯一确定，可利用条件列出关于a1，q的方程(组)，进行求解．典型例题p29：综上可得{an}的第5项是24或-24．思考：有没有其他解法？等差数列{an}(m、n、k∈N*)若m+n=2k，则am+an=2ak.即ak是am与an的等差中项.例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12 , 求{an}的第5项.分析：类比等差数列{an}的等差中项，你有什么结论？典型例题p29：综上可得{an}的第5项是24或-24．解法2:由题意a5是a4与a6的等比中项，思考：有没有其他解法？等差数列{an}(m、n、k∈N*)若m+n=2k，则am+an=2ak.即ak是am与an的等差中项.等比数列{an}中，若m+n=2k，则am·an=ak2.即ak是am与an的等比中项.例2已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.典型例题p30：等比数列通项公式的推广1、已知: 等比数列{an}中，a3=20,a6=160 ,求an.解法1：设等比数列{an}的公比为q,课堂练习：1等比数列{an}通项公式解法2：设等比数列{an}的公比为q,分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．例3数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列．解:设前三项的公比为q,后三项的公差为d，典型例题p30：课堂小结1一、等比数列的定义二、等比数列的通项公式1、an=a1qn-1(n∈N﹡,q≠0)等比数列通项公式的推广等比数列{an}首项为a1，公比为q任取相邻的两项an、an-1(n≥2)或an+1、an(n∈ N*).等差数列等比数列定义an-an-1=d公差与公比d可以是0等差中项与等比中项2A=a+b通项公式an=a1+(n－1)dan=am+(n－m)dq≠0G2=aban=a1qn-1an=amqn-m课堂小结2再见!