吉林省辽源市第五高中2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

辽源市第五高中2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．《乌鸦喝水》通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（ ）
A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗
5．从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（ ）
A． B．5 C． D．
二、多选题
9．己知两条直线m，n，两个平面α，β．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．平分 B．
C．延长交直线于点，则三点共线 D．
12．已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．的展开式的中间一项的系数是___________.（用数字作答）.
14．若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.
15．已知曲线在点处的切线与曲线也相切.则______．
16．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________.
四、解答题
17．已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
18．在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
(1)求角B；
(2)若，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．
19．如图，四棱锥中，底面是矩形，，.为上的点，且平面；
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
20．年某地持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市A区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图．
不受影响 受影响 合计
A区
B区
合计
(1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；
(2)当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？
附：
21．已知过定点的直线交曲线于A，B两点．
(1)若直线的倾斜角为，求；
(2)若线段的中点为，求点的轨迹方程．
22．已知函数.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
(3)若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.
辽源五中2022--2023学年度高三上学期
期中考试数学试题答案
1-8DBBBBCBC
CD 10.AD 11.ACD 12.BC
13． 14． 15．1 16．
17．(1)
(2)
18．(1)
(2)
19．(1)略
(2)
20．(1)0.86；
(2)没有95%的把握.
2×2列联表：
不受影响 受影响 合计
区 7 3 10
区 4 6 10
合计 11 9 20
21．(1)
(2)，其中
22．(1)
(2)
(3)