圆锥曲线定值问题
1 定值问题
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.
Eg
① 一个球在水平面上无论怎么滚动，球心到水平面的距离都是半径长；
② 椭圆上一动点到两焦点的距离之和为一定值；
2 解决此类问题的基本策略
定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口.
① 参数法
把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关；
解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值.
② 由特殊到一般法
把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.
③ 几何法
根据几何关系确定相关几何量的不变.
【方法一】参数法
【典题1】 已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．
求椭圆的方程；
过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．
【解析】 过程略，所求椭圆方程为；
证明：当直线斜率不存在时，
此时．
当直线斜率存在时，设直线的方程为．
由，得．
设，
则有
.
(求用弦长公式)
，直线的方程为
同理． (同理可得，故整体计算量不太大)
所以．
综上为定值．
【点拨】
① 定值问题往往涉及到“运动变化”，我们一定要找到其“源头”.我们是如下思考的
线段长度是分别随直线的变化而变化
线段长度由直线决定
线段长度由直线的斜率决定
这样就找到了“源头”，故想到用表示线段长度；找源头的方式决定了引入的参数；
② 本题采取参数法，显然可理解为直线与椭圆的弦长，故用弦长公式表示线段，当直线斜率存在时，表示成关于参数的式子，则证明为定值，即证明为常数便可；
③ 若本题是一道非解答题，利用特殊法(即不存在时)就很容易得到为定值.
【典题2】 椭圆：的离心率为为的长轴上的一个动点，过点斜率为的直线交于两点．当时.
求的方程；求证：为定值．
【解析】(1)过程略，椭圆的方程为；
(2)依题意的方程为，
代入并整理得．
设，
则
同理．
．
所以是定值．
【点拨】
① 本题的“变化源头”是，线段的长度变化显然是由的值决定的，故想到用表示线段，则就是引入的参数；
② 本题采取参数法，线段用两点间距离公式表示成与，进而表示为关于的式子，证明是定值即证明是常数，与参数无关.
③ 直线的方程设为，降低了计算量.
【典题3】 已知是椭圆上的两点，且其中为椭圆的右焦点．
求实数的取值范围；
在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．
【解析】由已知条件知：直线过椭圆右焦点．
当直线与轴重合时．
当直线不与轴重合时，设：，
代入椭圆方程，并整理得．
设，
由根与系数的关系得．
所以．
又由得，
所以
解之得．
综上，实数的取值范围是．
设，
直线不与轴重合时，
则 (向量常用坐标处理)
为定值，(为定值，即它不受的影响)
所以，解得．
故存在定点使得为定值．
经检验，当与轴重合时也成立，
存在定点使得为定值．
【点拨】
① 本题的“变化源头”是直线，若设直线方程为，“源头”可理解为，即不管取任何值，的值恒定不变，引入参数；
② 若式子是定值，不受的影响，则有；
③ 注意最后直线与轴重合特殊情况的分析.
【典题4】 一束光线从点出发，经直线：上一点反射后，恰好穿过点．
求点的坐标；
求以为焦点且过点的椭圆的方程；
设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】设关于的对称点为，
(由反射的性质，可知点三点共线)
则且解得即，
易得直线方程为，
由解得．
因为，根据椭圆定义，
得
所以．又，
所以．所以椭圆的方程为．
方法一 假设存在两定点为，
则 (斜率常用斜率公式处理)
(若其是定值，则不受的影响，先想到消元)
又，
若要是定值，则要满足，
解得或，
所以有且只有两定点，
使得为定值．
方法二 假设存在两定点为，
使得对于椭圆上任意一点(除长轴两端点)都有(为定值)，
即将代入并整理得
(相当要方程恒成立，与定点问题的方法类似)
由题意式对恒成立，
所以，解之得或．
所以有且只有两定点，
使得为定值．
【点拨】
① 方法一分式是定值(即同项系数比相等)；
方法二利用方程恒成立的方法：式子对恒成立，设是关键；
② 点处的切线平分在点处的外角.（椭圆的光学性质）
【典题5】 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的最小值，并求此时圆的方程；
(3)设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点为坐标原点，求证：为定值．
【解析】(1)过程略，椭圆的方程为．
(2) 过程略，最小值为，圆的方程为．
(3) 分析：，故可求出直线方程从而得到，如引入参数呢？
方法一 设，，，
则直线的方程为，
令，得，
同理，(把上式的改为)
故
又点与点在椭圆上，
故，
代入式，
得．
所以为定值．
方法二 设，
不妨设，其中．
则直线的方程为
令，得，
同理， (把上式的改成)
故．
所以为定值．
【点拨】参数法处理定值问题，找到了“运动源头”，如何引入参数需要根据题意，计算量是一衡量因素.本题源头是点和点，设，是最常见；方法二由椭圆的参数方程设为，引入参数比方法一少，计算量差不多吧！引入参数要注意参数的几何意义.
【方法二】“由特殊到一般”法
【典题1】 已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．
求双曲线的方程；
若直线分别与直线交于两点，证明为定值；
是否存在常数，使得∠∠恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】过程略，双曲线的方程为：．
证明：设直线的方程为，
(源头是，则用表示，并证明其与无关)
另设，
联立化为．
．
又直线的方程为
代入，解得．
同理．
．
．
(分析：先通过特殊情况确定，再证明一般情况下也成立)
当直线的方程为时，解得．易知此时为等腰直角三角形，
其中也即．
下证：对直线存在斜率的情形也成立．
．
1，．
，
，
结合正切函数在上的图象可知．
【点拨】
① 第三问本质是证明是定值，本题采取了“由特殊到一般法”，思路是：在直线斜率不存在的特殊情况下易得，再证明对直线存在斜率的情形也成立；不采取特殊情况得到，往下的思路是很难想到的；
② 关于角度的问题，我们较容易想到解三角形的知识点，本题要证明，思路是：，角度问题转化为斜率问题是常见思路.
【方法三】几何法
【典题1】 已知抛物线:经过点．
求抛物线的方程及其相应准线方程；
过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中．设线段和的中点分别为，过点作，垂足为．证明：存在定点，使得线段长度为定值．
【解析】过程略，抛物线的方程为，准线方程为；
证明：设，
由 可得，
可得
即同理可得
，
则直线的方程为，
可得直线过定点，
则，又，(隐圆，定弦定角模型)
的轨迹是为圆心，为半径的圆，
则存在定点，使得线段长度为定值．
【点拨】
① “存在定点，使得线段长度为定值”，意味着动点到定点是定长，即的轨迹是以为圆心的圆；
② 本题的“变化源头”是(或)，由①的分析较为直接的思路是求出的轨迹，具体作法：求出直线方程，再与直线联立求出点的坐标(用表示)，消参后得到的轨迹；这有个缺点是计算量较大；
③ 本题的解法属于几何法，在求出直线方程，有“意外收获”：它有定点，结合图象确定是“定弦定角的隐圆模型”，可知的轨迹，确定定点.
【典题2】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为,．已知和)都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
求椭圆的方程；
设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
若求直线的斜率；求证：是定值．
【解析】过程略，椭圆的方程为．
解：由(1)得，
又直线与直线平行，
设与的方程分别为．
设，
由可得．
(舍)，
①
同理 ②
由①②得
解得．
直线的斜率为．
证明：直线与直线平行，(相似三角形的字型)
即．
由点在椭圆上知
．
同理．
，
由①②得
．是定值．
【点拨】
① 本题采取了几何法，利用相似三角形的性质把转化为的式子，再利用的关系确定其为定值；
② 本题另一思路：求出点的坐标---求出直线的方程---求出点的坐标---得到点的轨迹方程---若证明其是椭圆即可证明是定值，但计算量较大.
巩固练习
1 (★★★) 如图，已知椭圆：过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，．则在下列命题中，正确的是( )
A．若记直线的斜率分别为则的大小是定值为
B．的面积是定值
C．线段长度的平方和是定值
D．设则
【答案】
【解析】，设直线的方程为．
联立方程组消元得：，
，
，
故正确；
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组解得
不妨设在第三象限，则)，
用替换可得，
到的距离d
又
，故正确；
又
，故正确；
联立方程组可得，
故替换可得)，
到直线的距离
，
当且仅当即时取等号．
，故正确．
故选：．
2(★★) 在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点，且满足过两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为．
(1)求：的值；(2)证明为定值．
【答案】
【解析】(1)设
焦点，，
化简整理得，，
(定值)
(2)抛物线方程为x
过抛物线两点的切线方程分别为和
即和联立解出两切线交点的坐标为
(定值)
3(★★) 已知，椭圆过点两个焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值．
【答案】
【解析】(Ⅰ)由题意，
可设椭圆方程为解得(舍去)
所以椭圆方程为．
(Ⅱ)设直线方程为：
代入得
设，
因为点在椭圆上，
所以由韦达定理得：
所以．
又直线的斜率与的斜率互为相反数，
在上式中以代，可得
所以直线的斜率
即直线的斜率为定值，其值为．
4 (★★★) 已知椭圆：的长轴长为，上顶点为，左、右焦点分别为，且∠，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的两个动点，若，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由．
【答案】
【解析】(1)设椭圆的半焦距为由已知可得，
，在中，可得∠，
，解得．
椭圆的方程为；
(2)当直线的斜率存不在时，，
由可得，
结合椭圆的对称性，可设，则，
将点代入椭圆方程，可得
解得．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
此时点到直线的距离即
设，
联立可得，
由，得，
．
又，
即解得
即．
综上所述，点到直线的距离是定值．
5(★★★) 已知离心率为的椭圆与直线交于两点，记直线的斜率为直线的斜率为．
(1)求椭圆方程；
(2)若则三角形的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】
【解析】(1)由题意解得
．
椭圆方程为；
(2)设，
当直线的斜率存在时，设其方程为
联立椭圆方程可得：．
则
．
点到直线的距离．
．
由．
化简得：，代入三角形面积可得；
若直线的斜率不存在，可得．
综上可得，三角形的面积为定值．
6(★★★) 已知椭圆和圆：过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
(1)①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
②若椭圆上存在点，使得∠，求椭圆离心率的取值范围；
(2)设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值．
【答案】
【解析】(1)①圆过椭圆的焦点，圆：，
，
．
②由∠及圆的性质，可得
，且，
则四边形是正方形，，
，
．
(2)设，则
整理得，
方程为：方程为：．
，
直线方程为即．
令，得令，得
为定值，定值是．
7(★★★) 已知点，点满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，问在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
【解析】(1)由题意可得
由可得
整理可得的轨迹方程为；
(2)假设在轴上存在点，使得为定值．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去，可得，
令，则
由，
所以
，
将看做常数，要使得上式为定值，需满足，即
此时
当直线的斜率不存在时，可得，
所以
综上所述，存在0)，使得为定值．
8 (★★★) 已知椭圆：上动点为原点：
(1)若求证：为定值；
(2)点若求证：直线过定点；
(3)若求证：直线为定圆的切线．
【答案】 为定值 直线恒过定点
提示：证明圆心到直线的距离为定值
【解析】(1)由题意可知：设，
，
由在椭圆上，则)，)，代入整理得：，
则b2
为定值；
(2)易知，直线的斜率存在，设其方程为，设，
消去，整理得．
则
由，且直线的斜率均存在，
1，整理得．
因为 ，
所以．
整理得．
．
解得 或(舍去)．
直线恒过定点，
(3)设方程为：，
则方程为：，
联立可得：
同理可得：
则到直线的距离，即为斜边上的高，
(定值)．
则直线为定圆的切线．
9(★★★★) 已知是圆：上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为．
(1)求出轨迹的方程，并讨论曲线的形状；
(2)当时，在x轴上是否存在一定点，使得对曲线的任意一条过的弦为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】轨迹是为焦点，以为长轴长的椭圆，方程为；
定点为E定值为.
【解析】(1)由题意，
，
轨迹是为焦点，以为长轴长的椭圆，；
(2)由(1)曲线C为
设，分别过取两垂直与坐标轴的两条弦'，
则即，解得
所以若存在必为定值为．
下证满足题意．
设过点的直线方程为
代入中得
设，则
同理可得也满足题意．
综上得定点为定值为．圆锥曲线定值问题
1 定值问题
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.
Eg
① 一个球在水平面上无论怎么滚动，球心到水平面的距离都是半径长；
② 椭圆上一动点到两焦点的距离之和为一定值；
2 解决此类问题的基本策略
定值问题往往涉及到一连串的“运动变化”，要确定某几何量的定值，我们要先理解题意，明确“变化的源头”，再找到源头与含定值特征的几何量之间的代数或几何关系，来确定解题的突破口.
① 参数法
把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关；
解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值.
② 由特殊到一般法
把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.
③ 几何法
根据几何关系确定相关几何量的不变.
【方法一】参数法
【典题1】 已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．
求椭圆的方程；
过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．
【典题2】 椭圆：的离心率为为的长轴上的一个动点，过点斜率为的直线交于两点．当时.
求的方程；求证：为定值．
【典题3】 已知是椭圆上的两点，且其中为椭圆的右焦点．
求实数的取值范围；
在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．
【典题4】 一束光线从点出发，经直线：上一点反射后，恰好穿过点．
求点的坐标；
求以为焦点且过点的椭圆的方程；
设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典题5】 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的最小值，并求此时圆的方程；
(3)设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点为坐标原点，求证：为定值．
【方法二】“由特殊到一般”法
【典题1】 已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．
求双曲线的方程；
若直线分别与直线交于两点，证明为定值；
是否存在常数，使得∠∠恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【方法三】几何法
【典题1】 已知抛物线:经过点．
求抛物线的方程及其相应准线方程；
过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中．设线段和的中点分别为，过点作，垂足为．证明：存在定点，使得线段长度为定值．
【典题2】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为,．已知和)都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
求椭圆的方程；
设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
若求直线的斜率；求证：是定值．
巩固练习
1 (★★★) 如图，已知椭圆：过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，．则在下列命题中，正确的是( )
A．若记直线的斜率分别为则的大小是定值为
B．的面积是定值
C．线段长度的平方和是定值
D．设则
2(★★) 在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点，且满足过两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为．
(1)求：的值；(2)证明为定值．
3(★★) 已知，椭圆过点两个焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值．
4 (★★★) 已知椭圆：的长轴长为，上顶点为，左、右焦点分别为，且∠，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的两个动点，若，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由．
5(★★★) 已知离心率为的椭圆与直线交于两点，记直线的斜率为直线的斜率为．
(1)求椭圆方程；
(2)若则三角形的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
6(★★★) 已知椭圆和圆：过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
(1)①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
②若椭圆上存在点，使得∠，求椭圆离心率的取值范围；
(2)设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值．
7(★★★) 已知点，点满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，问在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8 (★★★) 已知椭圆：上动点为原点：
(1)若求证：为定值；
(2)点若求证：直线过定点；
(3)若求证：直线为定圆的切线．
9(★★★★) 已知是圆：上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为．
(1)求出轨迹的方程，并讨论曲线的形状；
(2)当时，在x轴上是否存在一定点，使得对曲线的任意一条过的弦为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．
