圆锥曲线定点问题
1 定点问题的含义
其实我们早已接触过了定点问题
① 二次函数过定点，
理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；
② 指数函数过定点，
理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；
③ 对数函数过定点；
理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；
④ 直线方程点斜式:斜率为，过点的直线方程为；
那直线，由于斜率不确定，它表示的不是一条确定的直线，而是“直线
簇”，但过定点，与的取值无关；
⑤ 圆，由于的不确定，它表示的不是一个确定的圆，而是“圆簇”，但过
定点，与的取值无关.
Eg：曲线恒过定点 .
解 从数的角度分析，，
即当取什么值时，不管取任何值方程均成立，
故由，解得或，
所以曲线恒过定点
2 求定点问题的方法
① 方程恒成立法
先求出满足特定条件的方程其中是变量，是参数，再证明当时，不管取任何值方程恒成立；
Eg求证：直线：恒过某一定点并求该定点的坐标.
证明：直线是一条动直线，它会随着的变化而变化，
若直线恒过一定点，即不管取任何值，该点都在直线上，
；
不管取任何值，方程恒成立，
只有，同时成立才行，解得
故恒过定点.
点拨：利用方程思想，把某曲线过一定点转化为方程恒成立问题；
② 特殊值法
通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件.
Eg求证：直线：恒过某一定点并求该定点的坐标.
证明：直线是一条动直线，它会随着的变化而变化，
当时，直线：； 当时，直线：；
由，解得，即直线与直线的交点为，
若直线：恒过某一定点，则该点只能是，
显然满足直线方程，即点在直线上；
故直线恒过定点.
点拨：通过两条特殊直线，求出交点，确定交点只能是定点，再证明交点满足直线.
③ 几何法
通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律.
注：众多定点问题均与极点极线有关，若有所了解，有利于更快找到解题思路.
【题型一】求某直线(或曲线)过定点
【典题1】 是抛物线上的两点，且求证：直线经过一个定点.
【典题2】 如图，椭圆的两焦点与短轴两端点构成∠为
面积为的菱形．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【典题3】 已知椭圆，直线过的右焦点．
当时，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的倍．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点使得当变化时，总有
∠∠为坐标原点)？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【典题4】如图等边三角形的边长为，且三个顶点均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．
【典题5】 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为右焦点为．设过点的直线与椭圆分别交于点其中．求证：直线必过轴上的一定点(其坐标与无关)．
【典题6】 设抛物线的焦点为经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴．证明直线必过轴上的一定点．
【题型二】某动点在定直线(或曲线)上
【典题1】设椭圆：的焦点在轴上，设分别是椭圆的左、右焦点为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点并且证明：当变化时，点在某定直线上．
巩固练习
1(★★) 已知定点在抛物线上，动点且，
求证：弦必过一定点．
2(★★) 已知椭圆的右焦点为离心率为．设为椭圆上关于原点对称的两点的中点为的中点为若原点在以线段为直径的圆上．证明点在定圆上.
3(★★) 已知抛物线：上横坐标为的一点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线的斜率分别为且，证明：直线经过定点，求出定点的坐标．
4(★★★) 过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点．
(1)若直线的斜率为，求线段的长；
(2)不过点的动直线交抛物线于两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．
5 (★★★) 已知椭圆：经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线与轴不重合)与椭圆交于两点．是否存在一定点使得x轴上的任意一点(异于点到直线的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
6(★★★) 已知椭圆：1的离心率为且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线与椭圆相交于两点，试问在轴上是否存在定点使得两条不同直线恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
7(★★★) 已知椭圆：的离心率为过左焦点的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为过点与垂直的直线为求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
8(★★★) 已知椭圆的离心率为，点分别是的左、右、上、下顶点，且四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是的右焦点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程．
9(★★★) 作斜率为的直线与椭圆：交于两点(如图所示)，且在直线的左上方．证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；圆锥曲线定点问题
1 定点问题的含义
其实我们早已接触过了定点问题
① 二次函数过定点，
理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；
② 指数函数过定点，
理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；
③ 对数函数过定点；
理由是：当时，不管取什么数，都有，故其过定点；
④ 直线方程点斜式:斜率为，过点的直线方程为；
那直线，由于斜率不确定，它表示的不是一条确定的直线，而是“直线
簇”，但过定点，与的取值无关；
⑤ 圆，由于的不确定，它表示的不是一个确定的圆，而是“圆簇”，但过
定点，与的取值无关.
Eg：曲线恒过定点 .
解 从数的角度分析，，
即当取什么值时，不管取任何值方程均成立，
故由，解得或，
所以曲线恒过定点
2 求定点问题的方法
① 方程恒成立法
先求出满足特定条件的方程其中是变量，是参数，再证明当时，不管取任何值方程恒成立；
Eg求证：直线：恒过某一定点并求该定点的坐标.
证明：直线是一条动直线，它会随着的变化而变化，
若直线恒过一定点，即不管取任何值，该点都在直线上，
；
不管取任何值，方程恒成立，
只有，同时成立才行，解得
故恒过定点.
点拨：利用方程思想，把某曲线过一定点转化为方程恒成立问题；
② 特殊值法
通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件.
Eg求证：直线：恒过某一定点并求该定点的坐标.
证明：直线是一条动直线，它会随着的变化而变化，
当时，直线：； 当时，直线：；
由，解得，即直线与直线的交点为，
若直线：恒过某一定点，则该点只能是，
显然满足直线方程，即点在直线上；
故直线恒过定点.
点拨：通过两条特殊直线，求出交点，确定交点只能是定点，再证明交点满足直线.
③ 几何法
通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律.
注：众多定点问题均与极点极线有关，若有所了解，有利于更快找到解题思路.
【题型一】求某直线(或曲线)过定点
【典题1】 是抛物线上的两点，且求证：直线经过一个定点.
【证明】 设
依题意可设直线方程为(要证明直线过定点，相当于求出的关系)
代入得，则
， (处理垂直关系，可用向量或)
，
，(曲线代换)
，
，
直线方程为
直线方程过定点.
【点拨】本题思路：设直线方程，证明直线过定点即得到间的关系.
再例：设直线为求出或者得到与的一次函数关系，便知道定点；
比如若得到直线过定点
若得到，直线方程为，则过定点.
【典题2】 如图，椭圆的两焦点与短轴两端点构成∠为
面积为的菱形．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】(1)过程略，椭圆方程为．
(2) (求出的值或得到与的一次函数关系式，便可知道定点)
设，
由 得，
则，
且，即，(注意判别式的讨论)
以为直径的圆过椭圆的右顶点，
即，
，
即，
又，(直线代换)
，
化简得，
解得或且均满足，
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，直线过定点；
综上，直线过定点.
【典题3】 已知椭圆，直线过的右焦点．
当时，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的倍．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点使得当变化时，总有
∠∠为坐标原点)？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】(1)过程略，椭圆的方程为；
(2)当时，由对称性可知在轴上存在点，使得∠∠；
当时，由消去，可得，
设，
，
设满足题设条件，满足∠∠，
则，
，
则，
即，(定点问题变成了方程恒成立问题)
而时，上式恒成立．
所以在轴上存在点满足题设条件．
【点拨】
① 因为斜率与倾斜角的关系，把∠∠转化为；
② 本题的思路:是否存在定点使得当变化时，总有∠∠；
是否存在，使得不管取任何值，总有；
是否存在，使得不管取任何值，方程恒成立；
故求一定点，转化为方程恒成立问题.
③ 本题也可以从极点极线的性质思考，点与右焦点是关于椭圆调和共轭，设左右顶点为，则点满足，易得.
【典题4】如图等边三角形的边长为，且三个顶点均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．
【解析】(1) 过程略，抛物线的方程为；
(2)方法一
设直线方程为，
由得
相切 ，
则方程为，可得，
在抛物线 ，即 (若学习导数，以上步骤还能简化些)
此时直线方程为
由得
则以为直径的圆方程为，
(想法直接，问圆过定点，就先求出圆的方程，再看如何过定点，缺点是计算量大些)
令，得，
若不管取什么值要使得方程恒成立， (方程恒成立法)
则，即，
故以为直径的圆恒过轴上的定点．
方法二 同方法一可得
设，若以为直径，则，即，(较方法一优化些)
，
，
若要满足对满足方程的恒成立，(方程恒成立法)
则解得．
故以为直径的圆恒过轴上的定点．
方法三 同方法一可得 (以下采取“特殊值法”)
取，此时，
以为直径的圆为，交轴于点或，
取，此时，以为直径的圆为，
交轴于点或，
故若满足条件的点存在，只能是，证明如下
(相当于先证明问题的必要性，再讨论其充分性)
，
，
故以为直径的圆恒过轴上的定点．
【点拨】
① 本题求以为直径的圆恒过轴上的定点，用三种方法，消化其优劣性；
方法一和方法二采取了“方程恒成立法”，想法直接；方法三采取“特殊值法”：令，得到两个圆，与轴均交于点，则即猜想定点为，再给予证明便可.
它们的计算量也应是一衡量标准.
② 本题也可以用抛物线的极点极线性质，可知点坐标为，即焦点，其实也就准线.如下图，点是焦点，直线是准线，是切线，则直线过点，，.
【典题5】 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为右焦点为．设过点的直线与椭圆分别交于点其中．求证：直线必过轴上的一定点(其坐标与无关)．
【解析】 (要知道直线过过定点，朴素想法：那先求出点继而求出直线方程)
依题意可得，
可得直线方程为直线方程为．
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到
解得：、．
(求到这里，可以想到“特殊值法”，当时求出直线与轴交点必定是所求定点，即得到问题的必要性)
(1)若则由及得
此时直线的方程为过点．
(2)若则
直线的斜率直线的斜率
得所以直线过点．
因此，直线必过轴上的点．
【点拨】
① 本题直接想法：先求出直线方程(含)，再令，得到使得方程恒成立的值，便可得直线过轴的定点.但由于求出的坐标已经很复杂了，按该思路作下去计算量会很大；
② 本题采取的方法是，通过一特殊情况得到直线与轴的交点，再在非特殊情况下证明三点共线，即即可，该方法大大减少了计算量.它也是利用特殊情况找到定点，再证明.
【典题6】 设抛物线的焦点为经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴．证明直线必过轴上的一定点．
【解析】方法一 抛物线的焦点为，
则经过点的直线的方程可设为，
代入抛物线方程得，
记，所以．
因为轴，且点在准线上，
所以点的坐标为，
而，则，
则直线方程为，
所以直线经过原点．
方法二 几何法
如图过作为垂足，则，
连结与相交于点
则
由抛物线的定义知：
，
又重合，即直线经过原点.
【点拨】
① 本题方法一求出直线方程便知定点，也可通过特殊情况知晓该定点为，再证明三点共线，即便可；
② 方法二属于几何法，利用了平行线成比例定理和抛物线的定义证明，这方法较解析法简洁，但较难想到.
【题型二】某动点在定直线(或曲线)上
【典题1】设椭圆：的焦点在轴上，设分别是椭圆的左、右焦点为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点并且证明：当变化时，点在某定直线上．
【解析】设 (证明点在某定直线上，就是求出的参数方程(为参数)，进而得到与无关的线性关系)
设，其中．
由题设可知：．则直线的斜率直线的斜率．
故直线的方程为．
令，解得．即点．
因此直线的斜率．
．
化为．
联立及，解得，
，即点在定直线上．
【点拨】
① 本题中设点的坐标是，得到相当于求出动点的轨迹，则点在定直线上；
② 求动点定直线(曲线)上
方法一：求出点的轨迹方程为定直线，或证明满足某曲线的定义；
方法二：找出定直线，代入证明点在直线上.
巩固练习
1(★★) 已知定点在抛物线上，动点且，
求证：弦必过一定点．
【答案】 直线恒过点
【解析】设所在直线方程为：．
(引出两个参数，要求定点，则需要得到关系，从而消去其中一个参数)
与抛物线方程联立，消去得．
设，则 ……① ……②
由已知得，
即
……③
③式可化为
化简为．
将①②代入得． (消去其中一个参数)
直线方程化为：．
直线恒过点．
2(★★) 已知椭圆的右焦点为离心率为．设为椭圆上关于原点对称的两点的中点为的中点为若原点在以线段为直径的圆上．证明点在定圆上.
【答案】 点在以原点为圆心为半径的圆上．
【解析】设则
故．
由题意，得．化简得
点在以原点为圆心为半径的圆上．
3(★★) 已知抛物线：上横坐标为的一点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线的斜率分别为且，证明：直线经过定点，求出定点的坐标．
【答案】 (1) (2) 直线经过定点，且定点为．
【解析】(1)解：抛物线：上横坐标为的一点到焦点的距离为，
可得所以，所以抛物线方程．
(2)证明：设直线的方程为，
代入抛物线方程化简得，
，
解得，
所以直线系方程为，
直线经过定点，且定点为．
4(★★★) 过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点．
(1)若直线的斜率为，求线段的长；
(2)不过点的动直线交抛物线于两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．
【答案】 (1) (2) 直线恒过点
【解析】(Ⅰ)把点的坐标代入抛物线可得，
所以抛物线的方程为：，
由题意可得直线的方程为：，即，
与抛物线联立整理可得：，
解得：或，可得交点或，
所以；
(Ⅱ)设直线为：，
联立直线与抛物线的方程：整理可得：，
，即，
，
因为，所以，
，
整理可得：，
整理可得：，
即，
可得不是恒成立，或(符合)，
所以直线为：，
即，直线恒过点
5 (★★★) 已知椭圆：经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线与轴不重合)与椭圆交于两点．是否存在一定点使得x轴上的任意一点(异于点到直线的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】 (1) (2)
【解析】(1)两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形，所以
则椭圆的方程：1，过点
所以1，解得，
所以椭圆的方程：；
(2)设直线的方程为，与椭圆联立得，
则
由题意轴平分，则直线的倾斜角互补，即，
则0，
得
，
整理可得，
从而，即，
不论为何值时，
所以，存在定点使得轴上的任意一点(异于点)到直线的距离相等
6(★★★) 已知椭圆：1的离心率为且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线与椭圆相交于两点，试问在轴上是否存在定点使得两条不同直线恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】 (1) (2) 定点
【解析】(1)由题意，
解得．
椭圆的标准方程为；
(2)在x轴上假设存在点，使得恰好关于轴对称，
设，
再设直线l：x=my+1，，
联立得．
则
由，可得
即，
可得．
则得，即．
故在轴上是否存在定点，使得两条不同直线恰好关于轴对称．
7(★★★) 已知椭圆：的离心率为过左焦点的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为过点与垂直的直线为求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】 (1) (2)交点在定直线上
【解析】(Ⅰ)由题可知F(－c，0)，直线AB的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于点A，B都在椭圆上，
所以①②，
①－②，化简得③
又因为离心率为所以．
又因为直线过焦点，线段的中点为
所以
代入③式，得解得．
再结合，解得，
故所求椭圆的方程为．
(Ⅱ)证明：设，由对称性，设，
由得椭圆上半部分的方程为
又过点且与椭圆只有一个公共点，所以
所以：④
因为过点且与垂直，所以⑤
联立④⑤，消去，得
又所以从而可得，
所以与的交点在定直线上．
8(★★★) 已知椭圆的离心率为，点分别是的左、右、上、下顶点，且四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是的右焦点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程．
【答案】 (1) (2) 点在定直线上
【解析】(1)设椭圆的半焦距长为，
根据题意解得，b，
故椭圆的标准方程．
(2)由(1)知，
设，
由①，
②
两式相除得
又故
故
于是③
由于直线经过点，设直线的方程为，代入整理，
得，
所以
把代入③，
得
得到故点在定直线上．
9(★★★) 作斜率为的直线与椭圆：交于两点(如图所示)，且在直线的左上方．证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；
【答案】 的内切圆的圆心在直线上
【解析】设直线．
将代入中，化简整理得．
于是有．
则，
上式中，分子
从而．
又在直线的左上方，因此，∠的角平分线是平行于轴的直线，
所以的内切圆的圆心在直线上．
