圆锥曲线中的三角形面积
圆锥曲线中三角形面积的求法
① 焦点三角形面积
椭圆的焦点三角形面积，
双曲线的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上).
② 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)
，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，
如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离)
，适合边角已知的题型；
拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；
情况1如图，点在轴上，直线交轴于点，
当是在轴异侧时，
当是在轴同侧时，
注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.
若点在轴类似可得.
情况2 如图，点在轴上，直线的倾斜角为，
当是在轴异侧时，
.
当是在轴同侧时，
.
注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.(点在轴类似)
【典题1】设双曲线：的左、右焦点分别为是上一点，
且．若的面积为，则离心率 .
【解析】方法一 由题意可知，
设，可得
的面积为
(遇到焦点三角形，想到定义和解三角形的内容)
.
方法二 由双曲线焦点三角形面积公式，(椭圆焦点三角形面积公式)
由题意可知，
又，， .
【典题2】已知直线与双曲线:的两条渐近线分别交于
两点，且，若且的面积为则的离心率为 .
【解析】
，
故∠又直线方程为
即，
.
【点拨】本题对“”的处理是用数量积的定义得到，
而比较合理.
【典题3】已知双曲线的离心率为焦点到渐近线的距离等于过右焦点
的直线交双曲线于两点为左焦点．
求双曲线的方程；
若的面积等于求直线的方程．
【解析】过程略，.
方法一 设
当直线的斜率不存在，则直线的方程，
此时易得，
故可设直线的方程为，
由得，
有两个交点且，
到直线的距离，
的面积，
(利用三角形面积公式)
解得
所以直线的方程为．
方法二 设
同方法一可得：且
，
的面积，
(由于点在轴，利用)
化简得解之得，
得直线的方程为.
【点拨】
① 注意分类讨论直线的斜率是否存在；
② 因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式是否大于0，但要注意；
③ 第二问方法一是利用三角形面积公式，得，其中以弦长为底，点到直线的距离为高；方法二利用分拆三角形的方法得，此时要理解“不管是在轴同侧还是异侧，公式依然成立”.
【典题4】过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，交其准线于点，且．
求抛物线的方程；
直线交抛物线于两点，且这两点位于轴两侧，与轴交于点若 求的最小值．
【解析】(1)过点作抛物线准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，
设准线与轴交于点，如图所示，
，
，又点为的中点，
，
，，
所以抛物线的方程为．(注意抛物线定义和平几知识的运用)
(2)设 设，
：，(这样设方程计算简便些)
联立得方程组 得 ，
，
，
(曲线代换：利用抛物线方程消“”)
(舍去)或，
即，
，
(当且仅当即时，取到等号)
的最小值为．
【点拨】在抛物线上设直线方程为：较为常见，同时也配合上三角形面积.
【典题5】 已知是椭圆的左，右顶点，，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于点，交直线于点，且直线的斜率成等差数列，和是椭圆上的两动点，和的横坐标之和为的中垂线交轴于点
求椭圆的方程；求的面积的最大值.
【解析】由题意知，设，
依题意可知，解得，
椭圆的方程.
设，
和的横坐标之和为， ，
、均在椭圆上，①② (点差法)
①②得 ，
设，由中垂线性质得，即，
化简得，
， 即.
设，
直线与椭圆联立可得，
，
(因为直线过椭圆内一点，故可取全体实数，不需要考虑判别式)
，
令，(使用换元法降次，化难为简，函数思想注意自变量的取值范围)
则
在是递增的，，
(由对勾函数图像易得，由于不能用基本不等式)
，即，
故.
【点拨】
① “和的横坐标之和为”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线方程导致计算量增大；
② 本题最重要的想法是求的面积，用到了公式，同时设直线方程为，联立方程时消得到的一元二次方程较易得到的表达式，大大减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；
④ 求函数形如最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意自变量的取值范围，这是常考的题型.
巩固练习
1(★★) 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于 .
【答案】
【解析】由，且，
在中，∠
2(★★) 过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线的渐近线于点为坐标原点，则的面积为 .
【答案】
【解析】不妨设点在第一象限，点在第四象限，因为∠
双曲线的渐近线方程：，
所以∠，所以，
所以，所以．
又，则，所以所以，
从而的面积为：．
故选：C．
3 (★★) 抛物线：的焦点为为准线上一点，为轴上一点，且，若线段的中点在抛物线上，则的面积为 .
【答案】
【解析】由抛物线：可得焦点，准线方程为
由题意设设的中点，
因为在抛物线上，所以，所以①
因为：，
又，所以，即②，
代入②可得
所以
4 (★★) 已知双曲线的离心率为虚轴长为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点倾斜角为的直线与双曲线相交于两点为坐标原点，求的面积．
【答案】 (1) (2)
【解析】(Ⅰ)依题意可得 ，解得
双曲线的标准方程为．
(Ⅱ)直线的方程为
设
由可得，
由韦达定理可得
即
原点到直线的距离为
于是
的面积为.
5 (★★) 椭圆过点离心率为左、右焦点分别为
过的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当的面积为时，求直线的方程．
【答案】 (1) (2)或
【解析】(1)椭圆过点
①，
又离心率为②，
联立①②得．
椭圆的方程为：
(2)①当直线的倾斜角为时，取．
|不适合题意．
②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，
代入得：
设，则
．
点到直线的距离
化为，解得，
直线方程为：或．
6 (★★★) 如图，设椭圆的中心为原点长轴在轴上，上顶点为左、右焦点分别为线段的中点分别为且是面积为的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过作直线交椭圆于两点，使求的面积．
【答案】 (1) (2)
【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为
是的直角三角形，，
为直角，从而，即
在中，
椭圆标准方程为；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
由题意，直线的倾斜角不为，故可设直线的方程为
代入椭圆方程，消元可得①
设
当时，①可化为，
的面积．
7 (★★★) 已知椭圆：的离心率为是椭圆的焦点，
点直线的斜率为为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设，由题意
又离心率，
，椭圆的方程为；
(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程，
联立直线与椭圆方程：化简得：，
由
设，则
坐标原点到直线的距离为
令，则
当且仅当即时等号成立，
，故当，即
时，的面积最大，
此时直线的方程为：．
8(★★★★) 已知双曲线的一个焦点为且过点．如图为双曲线的左、右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴轴分别交于点()、，设过点的直线与交于两点．
(1) 求的标准方程；(2) 求的面积最大值．
【答案】 (1) (2)
【解析】(Ⅰ)知双曲线的左、右焦点分别为
又双曲线过点
解得
则双曲线的标准方程为；
(Ⅱ)由 为 的左右焦点，，
直线方程为，直线方程为，
即直线方程为，
直线方程为
由点在的平分线上，则点到直线与到直线的距离相等，
故
由，以及，解得
，
解得即，
直线的方程为：，
令，得故点)，
由消去得
设则
的面积
设
，
则的面积
时，即为时，的面积最大值为．圆锥曲线中的三角形面积
圆锥曲线中三角形面积的求法
① 焦点三角形面积
椭圆的焦点三角形面积，
双曲线的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上).
② 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)
，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，
如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离)
，适合边角已知的题型；
拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；
情况1如图，点在轴上，直线交轴于点，
当是在轴异侧时，
当是在轴同侧时，
注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.
若点在轴类似可得.
情况2 如图，点在轴上，直线的倾斜角为，
当是在轴异侧时，
.
当是在轴同侧时，
.
注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.(点在轴类似)
【典题1】设双曲线：的左、右焦点分别为是上一点，
且．若的面积为，则离心率 .
【典题2】已知直线与双曲线:的两条渐近线分别交于
两点，且，若且的面积为则的离心率为 .
【典题3】已知双曲线的离心率为焦点到渐近线的距离等于过右焦点
的直线交双曲线于两点为左焦点．
求双曲线的方程；
若的面积等于求直线的方程．
【典题4】过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，交其准线于点，且．
求抛物线的方程；
直线交抛物线于两点，且这两点位于轴两侧，与轴交于点若 求的最小值．
【典题5】 已知是椭圆的左，右顶点，，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于点，交直线于点，且直线的斜率成等差数列，和是椭圆上的两动点，和的横坐标之和为的中垂线交轴于点
求椭圆的方程；求的面积的最大值.
巩固练习
1(★★) 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于 .
2(★★) 过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线的渐近线于点为坐标原点，则的面积为 .
3 (★★) 抛物线：的焦点为为准线上一点，为轴上一点，且，若线段的中点在抛物线上，则的面积为 .
4 (★★) 已知双曲线的离心率为虚轴长为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点倾斜角为的直线与双曲线相交于两点为坐标原点，求的面积．
5 (★★) 椭圆过点离心率为左、右焦点分别为
过的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当的面积为时，求直线的方程．
6 (★★★) 如图，设椭圆的中心为原点长轴在轴上，上顶点为左、右焦点分别为线段的中点分别为且是面积为的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过作直线交椭圆于两点，使求的面积．
7 (★★★) 已知椭圆：的离心率为是椭圆的焦点，
点直线的斜率为为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
8(★★★★) 已知双曲线的一个焦点为且过点．如图为双曲线的左、右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴轴分别交于点()、，设过点的直线与交于两点．
(1) 求的标准方程；(2) 求的面积最大值．
