直线与圆锥曲线
1 直线与圆锥曲线的位置关系
设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程.
① 当时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交;
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切;
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离.
② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
2直线与圆锥曲线的弦长公式
(1)直线与圆锥曲线相交于，则
或
，
(，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式)
(2) 抛物线的焦点弦长
为弦所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似)
3 中点弦
① 涉及到中点弦问题可用点差法求解，在处理双曲线的中点弦问题要注意检验！
②“点差法”的常见题型：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．
【题型一】直线与圆锥曲线的位置关系
【典题1】不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是 .
【典题2】 若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为( )
A． B． C． D．
【典题3】 已知双曲线过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程．
【典题4】 椭圆上的点到直线的距离的最大值为 .
巩固练习
1(★) 直线和曲线的位置关系为 .
2(★) 双曲线与直线交点的个数为 .
3(★★) 直线与双曲线没有交点，则的取值范围为 .
4(★★) 已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为 .
5(★★) 椭圆：上的点到直线的距离的最小值为 .
【题型二】弦长问题
【典题1】 已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．
求椭圆的标准方程；当求此时直线的方程；
【典题2】设离心率为，实轴长为的双曲线：的左焦点为，顶点在原点的抛物线的准线经过点，且抛物线的焦点在轴上．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于不同的两点，，且满足，求的最小值．
【典题3】在平面直角坐标系中，已知点，点满足
．记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【典题4】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆和椭圆，其中，，的离心率分别为，且满足，分别是椭圆的右、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且.
(1)求椭圆的方程；(2)与椭圆相切的直线交椭圆与点，求的最大值.
巩固练习
1(★★) 设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为 .
2(★★) 已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于两不同点，抛物线在两点处的切线相交于点，且的横坐标为，则弦长______.
3(★★) 椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是
4(★★★) 已知为椭圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的最小值为_______.
5(★★)已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，求线段的长度．
6(★★★) 已知椭圆，过点作倾斜角互补的两条不同直线，设与椭圆交于两点，与椭圆交于两点。
(1) 若为线段的中点，求直线的方程；
(2)记，求的取值范围.
【题型三】中点弦问题
【典题1】 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程.
【典题2】已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【典题3】已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求椭圆的方程.
巩固练习
1(★★) 已知椭圆：1，过点)的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是 .
2(★★) 双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 .
3(★★) 已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
4(★★★) 已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
5(★★★) 已知椭圆：离心率以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于点且点的中点横坐标为
求的面积．
【题型四】其他应用
【典题1】 设是抛物线上的两点是坐标原点，下列结论成立的是( )
A．若则
B．若直线过定点
C．若到直线AB的距离不大于
D．若直线过抛物线的焦点且则
【典题2】 已知椭圆的离心率为过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则(其中为原点)的形状为 .
【典题3】已知抛物线：焦点为准线为抛物线上一点的横坐标为且点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
设过点的直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆过点求直线的方程．
【典题4】 如图，已知为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为、点是椭圆的上顶点，是等腰直角三角形，点是椭圆上一点，直线交轴于点．
求椭圆的方程；
若点与点关于轴对称，直线交轴于点，点且，求的值．
巩固练习
1(★★) 已知直线：过抛物线：的焦点且与抛物线交于点两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为则下列说法错误的是( )
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到轴的距离为
2(★★) 已知双曲线的渐近线为过右焦点的直线与双曲线交于两点且3则直线的斜率为( )
A．± B．± C．±1 D．±
3(★★) 已知直线：与抛物线相交于两点为坐标原点，则为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
4(★★★) 已知双曲线不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点(在轴上方在轴下方)，与双曲线渐近线交于点(在轴上方)为坐标原点，下列选项中正确的为( )
A．恒成立
B．若则
C．面积的最小值为
D．对每一个确定的若则的面积为定值
5(★★★) 已知点是抛物线的焦点，直线经过点与抛物线交于两点，与圆交于两点(如图所示)，则 ．
6(★★★) 已知抛物线和点若过某点可作抛物线的两条切线，切点分别是且满足则的面积为 ．
7(★★★) 若直线过抛物线的焦点交抛物线于两点，则的取值范围为 ．
8(★★★★) 已知抛物线方程为焦点为抛物线准线上一点为线段与抛物线的交点，定义：．
(1)当时，求；
(2)证明：存在常数使得；
(3)为抛物线准线上三点，且判断与的关系．直线与圆锥曲线
1 直线与圆锥曲线的位置关系
设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程.
① 当时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交;
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切;
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离.
② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
2直线与圆锥曲线的弦长公式
(1)直线与圆锥曲线相交于，则
或
，
(，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式)
(2) 抛物线的焦点弦长
为弦所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似)
3 中点弦
① 涉及到中点弦问题可用点差法求解，在处理双曲线的中点弦问题要注意检验！
②“点差法”的常见题型：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．
【题型一】直线与圆锥曲线的位置关系
【典题1】不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是 .
【解析】方法一 把直线代入椭圆1，
化为．其中．(注意这个坑)
直线与椭圆1有公共点，
恒成立．
化为．上式对于任意实数都成立，，解得．
实数的范围是．
方法二 从所给含参直线入手可知直线过定点
所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，
所以代入后即
因为是椭圆，所以
故的取值范围是．
【点拨】判断直线与圆锥曲线的位置关系，通法是联立直线方程与圆锥曲线方程，确定判别式与的大小关系；也可以通过几何的方法，若直线过圆锥曲线内一点则它们肯定相交.
【典题2】 若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为( )
A． B． C． D．
【解析】(注意“右支”的限制)
由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，
设交点，
联立可得，
由题意可得
解得：，故选：．
【点拨】
① 当直线与双曲线左支交于两点;
当直线与双曲线右支交于两点.
② 注意二次项系数不为，若，则方程为一元一次方程，只有一个解，从图象来看与渐近线斜率相等，也可知只有一个交点.
③ 本题是选择题，从几何的角度也可很快选到.
【典题3】 已知双曲线过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程．
【解析】双曲线的渐近线方程为，
①直线与双曲线只有一个公共点；
②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，
方程为，即或；
③设过的直线方程为 )
由得
只有一个交点，即，解得
此时直线方程为，即．
故直线的方程为或或或．
【点拨】从几何的角度看，直线与双曲线的位置关系与渐近线有关，
(1) 当点在双曲线上或内，
当或时，只有个交点；当时，只有个交点；
(2) 当点在双曲线外，
当或时，只有或个交点；当或时，只有或个交点；
当或时，只有个交点.
做题时注意特殊情况：斜率不存在的直线.
【典题4】 椭圆上的点到直线的距离的最大值为 .
【解析】方法一 几何法
设与直线平行的直线与椭圆相切，
由得，
由得，
设直线与直线的距离为，
当时，; 当时，.
椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.
方法二 函数法
椭圆的参数方程为为参数，
设椭圆上的动点，则点到直线距离
其中
．
椭圆1上的点到直线的距离的最大值为：．
【点拨】
① 几何法，圆锥曲线上的点到与相离直线最短距离等于直线与其一平行且相切的直线距离;
② 函数法，利用了椭圆的参数方程.
巩固练习
1(★) 直线和曲线的位置关系为 .
【答案】 相交
【解析】曲线为：可得
直线恒过，定点在椭圆内部，
所以直线与椭圆的位置关系为相交；
2(★) 双曲线与直线交点的个数为 .
【解析】联立方程可得消可得，
即，故，
故方程组有且只有一组解，
故双曲线与直线有且只有一个交点.
3(★★) 直线与双曲线没有交点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为：，
根据双曲线的性质可知直线与双曲线没有交点，满足．
4(★★) 已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设与直线平行且与抛物线相切的直线为，
则的最小值即为两直线间的距离，
所以消去，得，
进而可得直线与抛物线交点为
交点到直线的距离为．
5(★★) 椭圆：上的点到直线的距离的最小值为 .
【答案】
【解析】设点的坐标为，其中，
则点到直线的距离
其中，
当时，等号成立．
取得最小值．
【题型二】弦长问题
【典题1】 已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．
求椭圆的标准方程；当求此时直线的方程；
【解析】过程略，椭圆方程为.
当直线的斜率不存在时，即直线的方程，(设直线方程前注意是否存在斜率)
此时，
直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，设，
联立方程组可得消可得，
其判别式，
(直线经过的点在椭圆内，一定有，即；若点在椭圆外要注意分析判别式)
，
，
(这里运算量较大，若就简单多了)
整理可得，解得即
此时直线方程为或为.
【点拨】弦长公式，
弦长公式有三条等式，根据题意进行选择，一般用计算量较小.
【典题2】设离心率为，实轴长为的双曲线：的左焦点为，顶点在原点的抛物线的准线经过点，且抛物线的焦点在轴上．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于不同的两点，，且满足，求的最小值．
【解析】(1)过程略，抛物线的方程；
(2)设直线的方程为，设点、，
将直线的方程与抛物线的方程联立，得，
由韦达定理得，，
， (也行)
因为点在抛物线上，所以，，
则，即，
(用“曲线代换”消去，比“直线代换”简便)
由恒成立，
则
，
(其中与直线斜率的关系是)
当且仅当时，取得最小值．
【点拨】① 直线与抛物线的联立，常用，比起计算量少些！
② 在处理类似同含的“韦达式”，注意“直线代换”和“曲线代换”的选取.
【典题3】在平面直角坐标系中，已知点，点满足
．记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，
且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【解析】(1)过程略，的方程；
(2)设，直线的方程为，
，设，
将直线方程代入的方程化简并整理可得
，
由韦达定理有，
，
，
(利用弦长公式)
设直线的方程为，设，
同理可得，
又，则，化简可得，
又，则，即，
即直线的斜率与直线的斜率之和为．
【点拨】本题还有很多其他的解法，该解法计算量较大，但思路较直接，题中
四条线段均可理解为“弦长”，最后用表示出来，而最后只需要证明便可！
【典题4】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆和椭圆，其中，，的离心率分别为，且满足，分别是椭圆的右、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且.
(1)求椭圆的方程；(2)与椭圆相切的直线交椭圆与点，求的最大值.
【解析】(1)由题意知，
因为，所以，化简得，
又，所以，所以，
所以直线的方程为，
与椭圆联立并消去，得，
整理得，所以，
因为，所以，得，所以，
(用两点距离公式便可)
所以椭圆的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，易得.
当直线的斜率存在时，设直线，
与椭圆联立并消去，得，
因为直线与椭圆相切，所以，
整理得，
将直线与椭圆方程联立并消去，得，
由式可得.
设，则，，
所以，
(换元法处理函数最值)
设，则，，
综上所述，当，即时，最大，且最大值为.
巩固练习
1(★★) 设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为 .
【答案】
【解析】拋物线：的焦点，准线，所以，
过点且倾斜角为的直线方程为：，即0，
设
联立得，
所以，
所以
点到直线0的距离
所以．
2(★★) 已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于两不同点，抛物线在两点处的切线相交于点，且的横坐标为，则弦长______.
【答案】
【解析】由题意可得，则，抛物线方程为.
设直线方程为，，
其中.
由得，所以在点处的切线方程为 ①，
同理可得在点处的切线方程为②.
联立①②得，又的横坐标为，.
将方程代入抛物线得，，
，，
.
3(★★) 椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是
【答案】
【解析】设内切圆半径为，由题意得
得，.
4(★★★) 已知为椭圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
如图，连接，交于，可得为中点，
圆的圆心为，半径，
连接，，可得，
则，
又，
设，，
可得，
当时，取得最小值为，
此时取得最小值为.
5(★★)已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，求线段的长度．
【答案】 (1) (2)
【解析】(1)由题意知，焦点且过点A(2，0)，
，
椭圆方程为．
(2)由题意得，直线MN的方程为设，
联立直线与椭圆方程得
，
则
又
．
6(★★★) 已知椭圆，过点作倾斜角互补的两条不同直线，设与椭圆交于两点，与椭圆交于两点。
(1) 若为线段的中点，求直线的方程；
(2)记，求的取值范围.
【答案】(1)
【解析】(1)设直线的方程为，即，
设
由，消可得，
，，
为线段的中点，
，解得，
直线的方程为，即为；
(2)由(1)可知，
，
设直线的方程为，即，
同理可得 ，
，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，当且仅当时取等号，
，
，
由于与是不同的直线，斜率，
的取值范围．
【题型三】中点弦问题
【典题1】 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程.
【解析】方法一 若所求直线的斜率不存在，由椭圆的对称性可知点不可能是弦的中点，
故可设所求直线方程为代入椭圆方程并整理得：
又设直线与椭圆的交点为
则是方程的两个根，于是
又为的中点，
所以解得
故所求直线方程为.
方法二 设直线与椭圆的交点为为的中点，
所以
又两点在椭圆上，则
两式相减得
所以
(两式相减整理后得到，其中为斜率，均与中点有关，故点差法适合中点弦问题)
即故所求直线方程为.
方法三 设所求直线与椭圆的一个交点为由于中点为
则另一个交点为
因为两点在椭圆上，所以有
两式相减得
由于过的直线只有一条，
故所求直线方程为.
【点拨】
① 若，则的中点；
② 对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法(设而不求)，其解题步骤为：
(1) 设点：即设出弦的两端点坐标；
(2) 代入：即代入圆锥曲线方程；
(3) 作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；
(4) 整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
“点差法”的常见题型：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．
【典题2】已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】 (1)设，则，
两式相减得，
所以，
又因为，所以，
所以直线的方程为，即.
由方程组得，其，
说明所求直线存在.
(2)同法可得直线方程为，但由方程组
得，根据，说明所求直线不存在.
【点拨】
① 求双曲线的中点弦问题最后记得要作出检验！那为什么第种情况会出现不存在呢？
如下图所示，可知直线与双曲线无交点，而与其共轭双曲线有交点，且点是中点.
② 已知双曲线，任意弦的中点，
若，则直线不存在；若或，则直线存在.
【典题3】已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求椭圆的方程.
【解析】 设椭圆方程为，则，
设，
由题易得弦的中点，所以，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
即，
又由，解得，
故所求椭圆方程为.
【点拨】本题是直线的对称问题，也涉及到中点与斜率，故点差法用上场.
巩固练习
1(★★) 已知椭圆：1，过点)的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是 .
【答案】
【解析】设点的坐标分别为,
由在椭圆上,则①②,
①－②得：
由AB的中点坐标为P(1,1),即11,
直线的斜率k
2(★★) 双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 .
【解析】设代入双曲线方程作差有
双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为,
所以,
有所以.
3(★★) 已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
【答案】 不存在
【解析】假设这样的直线存在，设
因为是线段的中点，所以，
由，两式相减得
即，即，
又直线过点，所以直线方程为，
代入双曲线方程，得，其,
所以满足题设的直线不存在.
4(★★★) 已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
【答案】
【解析】设，弦的中点,则
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得;
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得,
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
5(★★★) 已知椭圆：离心率以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于点且点的中点横坐标为
求的面积．
【答案】 (1) ;(2)
【解析】(1)由椭圆的离心率则c,
由到直线的距离则
,
椭圆的标准方程：；
(2)设,
由题意可知：直线的斜率存在,且不为,设直线的方程为,
,则,直线的斜率
由两式相减得：,
整理得：解得：
直线的方程为：,联立整理得：,
则则
则到直线的距离d
则
的面积．
【题型四】其他应用
【典题1】 设是抛物线上的两点是坐标原点，下列结论成立的是( )
A．若则
B．若直线过定点
C．若到直线AB的距离不大于
D．若直线过抛物线的焦点且则
【解析】对于选项：
，
当且仅当时等号成立，故选项正确；
对于选项：若，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，
联立方程消去得：，
设，
，
或，
易知直线不过原点，，
直线的方程为：，恒过定点，故选项错误，
原点到直线的距离
，故选项正确；
对于选项：直线过抛物线的焦点，
设直线的方程为：
联立方程消去得：
设不妨设点在轴右侧，
∴
1，故选项正确，
故选：．
【点拨】处理垂直的方法
(1) 若要求线段长度，想到勾股定理或直角三角形其他性质；
(2) 想到直线斜率关系，得到，但要注意两直线的斜率是否都存在;
(3) 想到向量的关系，得到.
【典题2】 已知椭圆的离心率为过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则(其中为原点)的形状为 .
【解析】由椭圆的离心率可得，解得
则椭圆的方程为
椭圆的右焦点为由直线l的方程为
由可得
设，由韦达定理得
则
则一定为钝角，
【点拨】
判断三角形的形状，通法是确定最大角(比如是角)，再利用余弦定理或数量积
(1) 余弦定理：.若，则是锐角三角形；若，则是直角角三角形；若，则是钝角三角形；
(2) 数量积，若，则是锐角三角形；若，则是直角角三角形；若，则是钝角三角形.
【典题3】已知抛物线：焦点为准线为抛物线上一点的横坐标为且点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
设过点的直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆过点求直线的方程．
【解析】抛物线的准线方程为
由抛物线上一点的横坐标为，
根据抛物线的定义可知解得，
所以抛物线的方程是；
方法一 由题意可知，直线不垂直于轴，
可设直线：，则由可得，
设，则，
因为以为直径的圆过点，所以，即 ，
可得，
即
，
解得
所以直线：，
即或．
方法二 由于抛物线方程是，
可设，由于对称性不妨设，
因为三点共线，故
①，
因为以为直径的圆过点，所以，即 ，
可得 ②
由①②解得或，
当时，，此时直线方程为；
当时，，此时直线方程为;
即或．
【点拨】
① 直线方程设为，当直线轴时不存在；直线方程设为，当直线轴时不存在；其中；
② 当直线与抛物线有两个交点，常设直线方程为，因为此时肯定存在，避免的分类讨论，与抛物线联立计算量也较小！
③ 方法二是利用了抛物线的参数方程，为设元提供另一种方式.
【典题4】 如图，已知为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为、点是椭圆的上顶点，是等腰直角三角形，点是椭圆上一点，直线交轴于点．
求椭圆的方程；
若点与点关于轴对称，直线交轴于点，点且，求的值．
【解析】由于点是椭圆的上顶点，且是等腰直角三角形，
，又，联立解得．
椭圆的方程为；
点与点关于轴对称，，
直线的方程为令，得
同理可得．
则．
，
即则．
是椭圆上一点，
得即则．
【点拨】题中两角相等，得到了，有时候也可以利用正弦值或余弦值相等的，想到三角形也可以的.
巩固练习
1(★★) 已知直线：过抛物线：的焦点且与抛物线交于点两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为则下列说法错误的是( )
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到轴的距离为
【答案】
【解析】直线经过点，
可得，即抛物线，准线方程为，
联立直线y和抛物线，
可得，
可得)，
即有
由－)，
可得，
则即∠，
线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为
综上可得正确，错误．
2(★★) 已知双曲线的渐近线为过右焦点的直线与双曲线交于两点且3则直线的斜率为( )
A．± B．± C．±1 D．±
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为
可得
双曲线的方程即为
由3可得三点共线，且均在双曲线的右支上，
设的纵坐标分别为，可得，①
可设直线的方程为，即，
联立双曲线的方程，可得，
可得②
联立①②可得
化为，解得
则直线的斜率为．
3(★★) 已知直线：与抛物线相交于两点为坐标原点，则为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【解析】设则，
联立直线与抛物线
可得
即为，
则，
则
由于直线恒过定点，且与抛物线有两个交点，可得，
则，
则，
由可得，
可得，即∠为钝角，
则为钝角三角形．
4(★★★) 已知双曲线不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点(在轴上方在轴下方)，与双曲线渐近线交于点(在轴上方)为坐标原点，下列选项中正确的为( )
A．恒成立
B．若则
C．面积的最小值为
D．对每一个确定的若则的面积为定值
【答案】
【解析】设：，代入，得，①
显然，即，
设，则是方程①的两个根，
有
设，
由得；由得；
即和的中点重合，则恒成立，故正确．
和的中点重合为，
又，则，故正确．
当过点且垂直于轴时，的面积最小值为，
则当无限小时，存在不垂直与轴的直线与双曲线右支交于点，与双曲线渐近线交于点，使得的面积大于，故错误．
，得，
即，
∠，
是定值，故正确．
故选：．
5(★★★) 已知点是抛物线的焦点，直线经过点与抛物线交于两点，与圆交于两点(如图所示)，则 ．
【答案】
【解析】根据题意，设，抛物线方程为的焦点为，
圆的圆心为，圆心与焦点重合，，
所以，由题意可知直线的斜率不为，
所以设直线方程为：，与抛物线方程联立可得：，
即
所以．
6(★★★) 已知抛物线和点若过某点可作抛物线的两条切线，切点分别是且满足则的面积为 ．
【答案】
【解析】则)，
故直线过点，且．
故设直线
联立可得，则．
由．可得
可得
由导数，
可得过的切线分别为，
联立切线方程可得
到的距离．
则的面积为．
7(★★★) 若直线过抛物线的焦点交抛物线于两点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】易知坐标准线方程为．
设过点直线方程为)，
代入抛物线方程，得．
化简后为：．
设，则有
根据抛物线性质可知，
则，
8(★★★★) 已知抛物线方程为焦点为抛物线准线上一点为线段与抛物线的交点，定义：．
(1)当时，求；
(2)证明：存在常数使得；
(3)为抛物线准线上三点，且判断与的关系．
【答案】 (1) (2) (3)
【解析】(1)抛物线方程的焦点
的方程为，代入抛物线的方程，解得
抛物线的准线方程为，可得
1；
(2)证明：当时，，
设，则，
联立和，
可得
，
则存在常数，使得；
另解：
可得．
(3)设，则
由，
，
则．
