抛物线
1 定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.
如图在抛物线上.
2 几何性质
标准方程
图象
顶点
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点
准线方程
离心率
3 一些常见结论
① 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于两点的线段称为抛物线的“通径”，即.
② 若在抛物线上是焦点，则.
【题型一】抛物线的定义与方程
【典题1】与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
【解析】由圆可得：圆心半径．
设所求动圆圆心为
过点作直线：为垂足．
则可得．
因此可得点的轨迹是到定点的距离和到直线：的距离相等的点的集合．
由抛物线的定义可知：
点的轨迹是抛物线，定点为焦点，定直线：是准线．
抛物线的方程为：．
所求轨迹方程是．
【点拨】
① 直线与圆相切圆心到直线的距离;
② 根据抛物线定义求方程，要确定好焦点与准线.
巩固练习
1(★) 到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线
【答案】
【解析】动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：．
2 (★★) 若点到点的距离比它到直线的距离少则动点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】点到点的距离比它到直线的距离少
点到直线的距离和它到点的距离相等．
根据抛物线的定义可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
的轨迹方程为．
故答案为：．
【题型二】抛物线的图象及其性质
【典题1】设抛物线：的焦点为是上的一点且在第一象限，以为圆心，以为半径的圆交的准线于两点，且三点共线，则点的横坐标为 .
【解析】三点共线为圆的直径，则．
由抛物线定义知
又抛物线：的
在中，可得．
设的横坐标为则即．
【点拨】
① 在抛物线中，遇到过焦点的直线，特别要注意抛物线定义的运用；
② 若在抛物线上是焦点，则.
【典题2】已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线点在准线上，若则 ．
【解析】如图，
分别过作垂直于抛物线的准线于
由得
由抛物线定义可知
再由得
则．
．
故答案为：．
【点拨】
①本题主要利用了相似三角形的性质(字型)与抛物线的定义得到各线段的比值关系，平时解题中要多观察图象；
② 题中线段过多，显得有些乱，其实在考试的非解答题中，遇到这类似问题，由于题目中没出现任一线段长度，确定后，可设某一线段等于一具体数值，比如本题设其实令更有利于运算进而求出其他线段长度，这样在考试时运算上显得从容些.
【典题3】已知抛物线：的焦点为准线为为上一点垂直于点分别为的中点与轴相交于点若则等于 ．
【解析】如图所示：连接
的焦点为准线为为上一点
分别为的中点
垂直于点
四边形是平行四边形
为等边三角形，
四边形是矩形
故答案为：．
【点拨】
① 三线合一：；
② 分别为的中点.
【典题4】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为过的直线交抛物线于两点，作垂足分别为．若且的面积为则抛物线的方程为( )
A． B． C． D．
【解析】如图所示，过点作l交直线于点交轴于点．
设点
当焦点在轴的正半轴时，设抛物线：
且
②．
由①②可解得．
，
解得，
此时抛物线的方程为．
同理，当焦点在轴的负半轴时，可得，此时抛物线的方程为．
综上所述，抛物线的方程为．
故选：．
【点拨】
① 本题处理向量的方法是坐标法；
② 遇到“的面积为”，想到把的面积用表示，从而求出;关键在于，从而想到用表示.
【典题5】 已知为抛物线：的焦点为的准线与轴的交点，点在抛物线上，设有以下个结论：
①的最大值是；②；③存在点满足．
其中正确结论的序号是 ．
【解析】①由于对称性，不妨设点在第一象限，设点则 (1)，
当直线与抛物线相切时，可使取得最大值．
可设直线方程为
由得
则，
是锐角故①正确
②过作轴于点在中
在中
即②正确；
③在中，由正弦定理知
若则解得
故存在点符合题意，即③正确．
故答案为：①②③．
【点拨】
第一问是通过几何法确定直线与抛物线相切时，可使取得最大值；第二问，涉及到三角函数之类的，可想到构造直角三角形；第三问，是否存在点，用了假设法确定是否在自身范围之内，即与否.
巩固练习
1 (★★) 【多选题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C． D．与之间的距离为
【答案】
【解析】如图所示，
由题意可得，点的坐标为点的坐标为(4，－4)，
即选项正确；
即选项正确；
由抛物线的定义可知即选项正确；
与平行，
与之间的距离即选项错误；
故选：．
2 (★★) 如图过抛物线的焦点的直线依次交拋物线及准线于点若且则( )
A．2 B． C．3 D．6
【答案】
【解析】过分别作准线的垂线，垂足为
．
所以为的中点
故选：．
3(★★★) 【多选题】已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A．点的坐标为(0)
B．若直线过点则
C．若则的最小值为
D．若则线段的中点到轴的距离为
【答案】
【解析】抛物线的焦点为F(0)，所以不正确；
根据抛物线的性质可得：过时，则所以正确；
若则的最小值为抛物线的通径长，为所以C正确；
抛物线的焦点为)，准线方程为
过点分别作准线的垂线
则
所以
所以线段的中的到轴的距离为所以D正确；
故选：．
4 (★★) 已知点抛物线：的准线为点在上，作于且则抛物线方程为 ．
【答案】
【解析】设抛物线的焦点为)由抛物线的定义可知
不妨设点在第一象限，过点作轴于点
则为的中点
∠∠
点的坐标为
点在抛物线上
化简得解之得(舍负)，
抛物线方程为．
5(★★★) 如图，点是曲线上的任意一点射线交曲线于点垂直于直线垂足为点．则下列判断：①为定值；②为定值．其中正确的说法是( )
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
【答案】
【解析】曲线两边平方，得
为双曲线1的的部分恰为该双曲线的两焦点，
由双曲线定义知又①正确；
曲线即抛物线其焦点为准线方程为
过作垂直直线于
由抛物线定义，知②正确；
故选：．
【题型三】最值问题
【典题1】如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 .
【解析】抛物线的准线：，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为半径为，
的周长
由抛物线及圆得交点的横坐标为，
【点拨】的周长是由点确定的，结合抛物线的定义利用几何法把周长用表示，求出的范围便可！
【典题2】已知是坐标原点是抛物线上不同于的两点，且下列结论中正确的是( )
A． B．
C．直线过抛物线的焦点 D．到直线的距离小于或等于
【解析】设
， 0，
，
，
当且仅当即时等号成立，故选项正确，
又2故选项正确，
直线的斜率为
直线的方程为：，
当时，，焦点坐标不满足直线的方程，故选项错误，
原点到直线： 的距离，
故选项正确，
故选：．
【点拨】
① 题中垂直关系相当了向量数量积为向量进而用坐标表示;
② 本题求最值用了基本不等式.
【典题3】若点是曲线：上的动点，点是曲线：上的动点，点为坐标原点，则的最小值是 ．
【解析】设的坐标由抛物线的方程，
可得焦点恰好为圆：的圆心，
因为在抛物线上，所以
的最小值为到圆心的距离减半径，
即到准线的距离减(三点共线时取到)，
所以，
所以
设，则，
所以
当，即时最小，且为
所以的最小值为．
故答案为：．
【点拨】求的最小值，而它是由两个动点决定的，分两步走，
(1) 可先假设点是定点，思考点在哪里取到最小值(此时两动点问题变成了一动点问题)，而是定点是确定的，由抛物线定义可知此时;
(2) 接着再思考点在哪里取到最小值，即思考为何值时取到最小值？用函数方法处理便可！
巩固练习
1(★★) 已知点及抛物线上一动点则的最小值为 ．
【答案】
【解析】用抛物线的定义：焦点准线
设到准线的距离为
(当且仅当共线时取等号)
故的最小值是．
故答案为：．
2(★★) 若点为抛物线上一点是抛物线的焦点点为直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意可知
由抛物线的定义可知
代入抛物线方程，得不妨取点为
设点关于的对称点为则
．
3(★★★) 已知抛物线：的焦点为是抛物线上的两个动点，若则的最大值为 ．
【答案】
【解析】抛物线方程为：
设)，则
当时的值最小，最小值为
4(★★★) 已知点点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设可得．
当且仅当时取得最小值．
5(★★★) 已知抛物线方程为为其焦点，过点的直线与抛物线交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交轴于两点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为因为则．
设由消去得
．
由于抛物线也是函数的图象，且则：．
令解得从而．
同理可得
．
的取值范围为．
6(★★★) 已知点是抛物线上动点是抛物线的焦点，点的坐标为则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由抛物线的方程可得焦点在准线上，
过抛物线上的点作垂直于准线交于点，由抛物线的性质可得
在中
所以最小时，则最小，则∠最大，
而∠最大时即过点的直线与抛物线相切，
设在第一象限由可得
所以在处的切线的斜率为
整理可得：解得代入抛物线的方程可得即
所以的最小值为
故答案为：．抛物线
1 定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.
如图在抛物线上.
2 几何性质
标准方程
图象
顶点
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点
准线方程
离心率
3 一些常见结论
① 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于两点的线段称为抛物线的“通径”，即.
② 若在抛物线上是焦点，则.
【题型一】抛物线的定义与方程
【典题1】与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
巩固练习
1(★) 到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线
2 (★★) 若点到点的距离比它到直线的距离少则动点的轨迹方程是 ．
【题型二】抛物线的图象及其性质
【典题1】设抛物线：的焦点为是上的一点且在第一象限，以为圆心，以为半径的圆交的准线于两点，且三点共线，则点的横坐标为 .
【典题2】已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线点在准线上，若则 ．
【典题3】已知抛物线：的焦点为准线为为上一点垂直于点分别为的中点与轴相交于点若则等于 ．
【典题4】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为过的直线交抛物线于两点，作垂足分别为．若且的面积为则抛物线的方程为( )
A． B． C． D．
【典题5】 已知为抛物线：的焦点为的准线与轴的交点，点在抛物线上，设有以下个结论：
①的最大值是；②；③存在点满足．
其中正确结论的序号是 ．
巩固练习
1 (★★) 【多选题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C． D．与之间的距离为
2 (★★) 如图过抛物线的焦点的直线依次交拋物线及准线于点若且则( )
A．2 B． C．3 D．6
3(★★★) 【多选题】已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A．点的坐标为(0) B．若直线过点则
C．若则的最小值为 D．若则线段的中点到轴的距离为
4 (★★) 已知点抛物线：的准线为点在上，作于且则抛物线方程为 ．
5(★★★) 如图，点是曲线上的任意一点射线交曲线于点垂直于直线垂足为点．则下列判断：①为定值；②为定值．其中正确的说法是( )
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
【题型三】最值问题
【典题1】如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 .
【典题2】已知是坐标原点是抛物线上不同于的两点，且下列结论中正确的是( )
A． B．
C．直线过抛物线的焦点 D．到直线的距离小于或等于
【典题3】若点是曲线：上的动点，点是曲线：上的动点，点为坐标原点，则的最小值是 ．
巩固练习
1(★★) 已知点及抛物线上一动点则的最小值为 ．
2(★★) 若点为抛物线上一点是抛物线的焦点点为直线上的动点，则的最小值为 ．
3(★★★) 已知抛物线：的焦点为是抛物线上的两个动点，若则的最大值为 ．
4(★★★) 已知点点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为 ．
5(★★★) 已知抛物线方程为为其焦点，过点的直线与抛物线交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交轴于两点，则的取值范围为 ．
6(★★★) 已知点是抛物线上动点是抛物线的焦点，点的坐标为则的最小值为 ．
