双曲线
1 定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
如图，是双曲线上一点，|.
PS 当时，轨迹仅表示双曲线的右支；
当时，轨迹仅表示双曲线的左支；
当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线；
当|时，轨迹不存在.
2 几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图象
标准方程
范围 或 或
顶点
轴长 虚轴长，实轴长
焦点
焦距
的关系
离心率
渐近线
实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
3 一些常用结论
①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为；
②焦点到渐近线的距离是；
③焦点三角形面积；
④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑤焦半径，(点在双曲线右支上)
⑥双曲线的参数方程.
【题型一】双曲线的定义
【典题1】 平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B． C． D．
【解析】由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，
故选：．
【点拨】
① 注意双曲线的定义中“绝对值”三字；
② 若点在右支，肯定； 若点在左支，肯定；
故题中的条件改为，则是双曲线左支；改为，则是双曲线.
【典题2】 一动圆过定点，且与已知圆：相切，求动圆圆心的轨迹方程.
【解析】动圆圆心为，半径为，已知圆圆心为，半径为；
由题意知：，，所以，
即动点到两定点的距离之差为常数，
在以为焦点的双曲线上，且，，
，动圆圆心的轨迹方程为：．
【点拨】
① 两圆的半径分别为,若两圆外切，则；若两圆外切，则；
② 双曲线定义中的“常数”为，定点为焦点.
巩固练习
1(★) 平面内到两定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹( )
A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线
【答案】
【解析】根据双曲线的定义，，且，
点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，且焦距为．
故选：D．
2(★★) 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线
【答案】
【解析】排除法：设动点为，
1．当点在圆内不与圆心重合，连接并延长，交于圆上一点，由题意知，
又，所以，即的轨迹为一椭圆；如图．
2．如果是点在圆外，由，得，为一定值，即的轨迹为双曲线的一支；
3．当点与圆心重合，要使，则必然在与圆的同心圆，即的轨迹为一圆；
则本题选．
【题型二】双曲线方程
【典题1】已知方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则的求值范围是 .
【解析】方程1表示焦点在轴上的双曲线，
可得，，解得.
【点拨】 曲线方程，
当时，为双曲线；
当时，为焦点在轴上的双曲线且；
当时，为焦点在轴上的双曲线且.
简而言之：双曲线,看分母正负.
【典题2】双曲线过点、，则双曲线的标准方程为 ．
【解析】方法一 当双曲线焦点在轴上，设方程为，
则双曲线的标准方程为．
当双曲线焦点在轴上，设方程为，
则此方程组无解；
双曲线的标准方程为．
方法二 由题意，设双曲线方程为，
代入点，
得，解得．
双曲线的标准方程为．
【点拨】求双曲线的方法，可用待定系数法，方法一考虑到焦点的位置作分类讨论求解，方法二则简洁些，设双曲线方程为.
【典题3】 与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 .
【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线共渐近线，
设要求的双曲线为，
又由双曲线经过点，
则有，解可得，
则要求双曲线的标准方程为.
【点拨】
① 求双曲线渐近线的一种方法，
比如求的渐近线，直接令,
该方法不需要确定焦点位置与值.
② 与双曲线共渐近线的方程为；
巩固练习
1(★) 若，则是方程1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】方程1表示双曲线，
可得，解得：，
方程1表示双曲线，可知，反之不成立，
所以，则是方程表示双曲线的必要不充分条件．
故选：．
2(★★) 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为 .
【答案】
【解析】解法1：根据题意知，，所以点在渐近线方程的右下方，
所以该双曲线的焦点在轴上，设标准方程为，且；
又，所以；
又1，即1，
解得，，
所以双曲线的标准方程是．
解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是，代入点(4，4)，
计算得，所以双曲线的标准方程为，即1．
故选：A．
3(★★) 在下列条件下求双曲线标准方程．
(1) 经过两点，； (2) ，经过点，焦点在轴上．
【答案】(1) (2)1
【解析】(1)根据题意，若双曲线经过点，
则双曲线的焦点在x轴上，且，设其标准方程为；
又由双曲线经过点，则有，则，
则双曲线的标准方程为；
(2)根据题意，，其焦点在轴上，
设双曲线的标准方程为：，
又由双曲线经过点，则，
解可得：，
则双曲线的标准方程为：．
【题型三】 双曲线的图像及其性质
【典题1】已知双曲线的方程为，则下列说法错误的是( )
A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为
【解析】双曲线的方程为，，，
，
实轴长为，即正确；
渐近线方程为，即正确；
焦点到渐近线的距离为，即正确；
对于选项，设点为双曲线右支上的一点，点为双曲线的右焦点，
当时，取最小值，即错误．故选：．
【点拨】
焦点到渐近线的距离是；
② 双曲线上的点到焦点的距离最小值是当点在顶点的位置时取到.
【典题2】 设双曲线：，的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且，若的面积为，则 .
【解析】根据题意，几何关系如图所示．设，，
若的面积为4，可得4，
由双曲线定义，可得，
由余弦定理可得，
，
离心率为．可得，代入上式，可得．
【点拨】
① 遇到焦点三角形时，要注意双曲线的定义与解三角形内容(正弦定理、余弦定理、面积公式等)的运用；
② 在双曲线中，焦点三角形的面积为，这属于二级结论，本题用上题目求解就较简洁些，,又，易得.
【典题3】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 .
【解析】方法一 设依题意可设直线方程为,
由，得,
则，
,由两点距离公式可得,
又,
化简可得,
方法二 如图，取中点，连结，
，，
设，，，
又，，
，，
，
由勾股定理，知，
即，解得，
，
，即，化简得，
离心率．
【点拨】
① 方法一是由条件“过作斜率为的直线”，想用代数法求解；代数法中用两点距离公式处理了；
② 方法二是通过平几的知识点求解，要多观察图形，多积累一些平几的结论与常见已知条件的处理方法:等腰三角形的三线合一；(2)斜率为，即，则找直角三角形，易得；
③ 比较两种方法，在本题中计算量来看，方法二优于方法一；思考难度来看，方法一稍容易想到.
【典题4】已知分别为双曲线的左右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为的内心，过原点作的平行线交于，若成立，则下列结论正确的有( )
A． B． C．点的横坐标为 D．
【解析】，，整理得，
，．
设的内切圆半径为，
由双曲线的定义得，，
，|，，
∵，，
故，所以正确，错误．
设内切圆与的切点分别为，，，
可得．，．
由，
，
可得，可得的坐标为，即的横坐标为，故正确；
设延长线与交于，可得，
由，可得，①
由三角形的相似的性质可得，②
由①②可得．故D正确．
故选：．
【点拨】
①得到任意两个量或三量的一条等式， 均可得到关于离心率的方程从而求出.
②注意内心的定义及其性质，内心是三角形的角平分线交点，则内心到三边的距离相等！
角平分线定理：如图，在中，是的角平分线，则.
④多观察图形，充分利用平几的知识点，得到各角之间或各线段之间的关系.常见的相似三角形的性质(注意字型、8字型模型)、等腰三角形的三线合一、角平分线、圆的性质、正余弦定理等等.
巩固练习
1(★) 若双曲线：的实轴长等于虚轴长的一半，则( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】双曲线：，可知，
方程化为标准方程是：，
由于实轴长是虚轴长的一半，故，
解得．
故选：．
2 (★★) [多选题] 已知双曲线：的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，则有 ( )
A．渐近线方程为 B．渐近线方程为
C． D．
【答案】
【解析】由题意可得，
可设，，，
则，，
圆的圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，即，
圆心到渐近线的距离为，
弦长，
可得三角形为等边三角形，
即有∠°．
故选：．
3 (★★) [多选题] 已知，分别是双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则( )
A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线与双曲线有两个公共点
【答案】
【解析】，分别是双曲线(的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，
如图，三角形是直角三角形，并且，可得：，所以正确；
，可得渐近线方程：，所以正确；
直线与双曲线的渐近线不平行，
所以直线与双曲线由个交点，所以正确；
故选：．
4 (★★) 已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为 .
【答案】
【解析】设的内切圆与，的切点分别为，，
由切线长定理可知，，，
又，
，
由双曲线的定义可知，
故而，又，
双曲线的离心率为．
故选：．
5(★★★) 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于两点，2， 0，则的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】2，可得，设，则，，
由双曲线的定义可得，，
因为，所以，
在中，，即，①
在中，，即②
由②可得，代入①可得，
所以渐近线的方程为：，即，
故选：D．
6(★★★) 如图所示，已知双曲线0)的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是 .
【答案】
【解析】连接，，由条件可得，
则，，∠，
所以，可得，
即，
所以双曲线的离心率为：．
故选：．
7(★★★) 已知双曲线的左、右焦点分别，，过的直线交双曲线右支于，两点．的平分线交于，若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】如图，取的中点，连接，，
由，可知四边形为平行四边形，
又为∠的平分线，四边形为菱形．
，为的中点，
，为的中点，则．
由双曲线的对称性可知，轴，
，即，
解得：．
8(★★★) 已知双曲线1的左、右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则 .
【答案】
【解析】根据题意得、，
设的内切圆分别与切于点，与切于点，
则，，，
又点在双曲线右支上，
，故，而，
设点坐标为，
则由可得，解得，
故，
则的内切圆的圆心在直线上，
延长交于，在三角形中，由题意得，三角形是一个等腰三角形，，
在三角形中，有，
．
【题型四】最值问题
情况1 求离心率范围
【典题1】 已知双曲线在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若的取值范围是，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．[2，+∞)
【解析】根据题意，易得双曲线的实轴长为，虚轴长为；
由双曲线的意义，可得，
以实轴为角平分线的角为，若的取值范围是，
可得；
进而可得：,所以．故选：B．
【点拨】
求离心率的范围的一般思路：求出任意两个量比值的范围得到关于离心率的不等式，从而求出的范围,同时也要注意椭圆中,双曲线中.
情况2 几何法求范围
【典题1】 已知双曲线的右焦点为，右顶点，为渐近线上一点，则的最小值为( )
A． B． C．2 D．
【解析】如图：双曲线的右焦点为，
右顶点，为渐近线上一点，
则的最小值就是关于的对称点到的距离，
所以，
则的最小值为：．
故选：．
【点拨】这属于“将军饮马问题”！
【典题2】 点是双曲线：的右焦点，动点在双曲线左支上，直线：与直线：的交点为，则的最小值为( )
A．8 B． C．9 D．
【解析】联立直线，的方程，
可得，消参数可得，
所以可得交点的轨迹为圆心在，半径为的圆，
由双曲线的方程可得，，焦点，
可得，
，
当，，三点共线时，最小，
，
当过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小．
的最小值为，故选：C．
【点拨】这属于“三点共线取最值”模型,在圆锥曲线求最值问题用几何法需要明确动点的运动规律，平时掌握常见模型，多观察图象.
情况3 函数法求范围
【典题1】 已知为双曲线：上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，记线段，的长分别为，，则( )
A．若，的斜率分别为，，则 B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【解析】如图所示，设，则．
由题设条件知，双曲线的两渐近线：
：．
设直线，的斜率分别为，，则，，
所以，故选项正确；
由点线距离公式知：，
故选项错误；
，所以不正确；
由渐近线的斜率可知，
四边形中易得，
，
(当，即点在双曲线的顶点位置时)
所以正确，故选：．
【点拨】
① ，两条线段长度由点确定，根据题意用点到直线的距离公式表示出来；
② 求与时，用基本不等式求最值.
③ 思考:如何处理含一个变量与两个变量的式子最值问题呢？
(1) 含一个变量的，比如求的最小值，想到构造，再用函数最值方法求解；
(2) 含两个变量，比如本题中，在高中阶段常用基本不等式处理，那转化为只含一个变量？思路有两条，一是用表示消掉一个变量，但本题没明显的关系；二是用另外一个变量表示,这是可以的，用双曲线的参数方程设点，就可以用表示，从而变成一个变量表示，但计算量较大.
【典题2】 已知双曲线的一条渐近线方程为，为双曲线上一个动点，为其左，右焦点，的最小值为，则此双曲线的焦距为( )
A．2 B．4 C．2 D．2
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，，
不妨设，k，，
k，，
设，且或，即，
，，
，
解得，(舍去)，
，，
故选：．
【点拨】
① 本题处理数量积的方法是坐标法，设点，得；
② 作到，其中为参数，为变量，而点在双曲线上，满足，故可消元得到，此时用函数方法求最小值，要注意自变量的取值范围；
③ 利用函数法求最值，一定要谨记“优先考虑定义域”！
【典题3】 如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点，延长到，使，连接，设以为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则当取最大值时，的值为 ．
【解析】如图，设，分别是，与圆的切点．
由圆的切线性质，
可设，，，
，，
在中，
，
以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，
以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，
则；
令,
设，则
,
当,即时取到等号，
，
当时，取最大值，此时,
故答案为：
【点拨】
① 本题中没给出任一线段长度，设，可减少计算量；
② 本题求最值采取函数法，这是型的函数最值问题,此类题目常考.
巩固练习
1 (★★) 已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，是双曲线的左右焦点，以圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，
则焦点到渐近线的距离：，
所以，
，
，
可得，
即：，可得，
所以，
所以，又，
所以双曲线的离心率的取值范围是：．
2(★★) 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ．
【解析】 根据双曲线，得，，
由双曲线的定义可得：…①，
…②，
①+②可得：，
由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，
可得，当是双曲线的通径时最小．
即有．
即有．
3(★★) 已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】 双曲线中
，，，，，
圆半径为，，
，
(当且仅当共线且在之间时取等号)，
，
当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．
的最小值是7．
4(★★★) 设双曲线：的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线，与双曲线在一第象限的交点为，点坐标为且满足，若在双曲线的右支上存在点使得|成立，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 令代入双曲线的方程可得，
由，可得，
即为，
即有，①
又恒成立，
由双曲线的定义，可得恒成立，
由共线时，取得最小值，
可得，即有，②
由，结合①②可得，的范围是(，)．
5(★★★) 双曲线：的左，右顶点分别是，，是上任意一点，直线，分别与直线：交于，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】 由双曲线的对称性可知，在右支上时，取最小值．
由上可得，，根据双曲线方程可得，
所以设直线的斜率分别为，
则．
的方程为，令，解得，
的方程为，令，解得，
所以
(当且仅当，即，时等号成立)．
6(★★★) 已知双曲线：的左右焦点为，点是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】 设，则．，
，
，
的最小值是，
，解得，又，离心率．
7(★★★) 已知双曲线，，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 由双曲线，得，，
位于第一象限，恒为锐角，
又为锐角三角形，均为锐角．
由∠为锐角，得，．
，，
由∠为锐角，得，
，
即，
又，．
即，又，．
综上所述，．
8(★★★) 设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 由题可知，点，如图所示，不妨取直线的方程为，过点作于，则到直线的距离，
，且，为等腰直角三角形，
，，
，，，
，，即，
离心率，
令，，
则，即]，
．双曲线
1 定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
如图，是双曲线上一点，|.
PS 当时，轨迹仅表示双曲线的右支；
当时，轨迹仅表示双曲线的左支；
当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线；
当|时，轨迹不存在.
2 几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图象
标准方程
范围 或 或
顶点
轴长 虚轴长，实轴长
焦点
焦距
的关系
离心率
渐近线
实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
3 一些常用结论
①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为；
②焦点到渐近线的距离是；
③焦点三角形面积；
④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑤焦半径，(点在双曲线右支上)
⑥双曲线的参数方程.
【题型一】双曲线的定义
【典题1】 平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B． C． D．
【典题2】 一动圆过定点，且与已知圆：相切，求动圆圆心的轨迹方程.
巩固练习
1(★) 平面内到两定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹( )
A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线
2(★★) 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线
【题型二】双曲线方程
【典题1】已知方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则的求值范围是 .
【典题2】双曲线过点、，则双曲线的标准方程为 ．
【典题3】 与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 .
巩固练习
1(★) 若，则是方程1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2(★★) 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为 .
3(★★) 在下列条件下求双曲线标准方程．
(1) 经过两点，； (2) ，经过点，焦点在轴上．
【题型三】 双曲线的图像及其性质
【典题1】已知双曲线的方程为，则下列说法错误的是( )
A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为
【典题2】 设双曲线：，的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且，若的面积为，则 .
【典题3】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 .
【典题4】已知分别为双曲线的左右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为的内心，过原点作的平行线交于，若成立，则下列结论正确的有( )
A． B． C．点的横坐标为 D．
巩固练习
1(★) 若双曲线：的实轴长等于虚轴长的一半，则( )
A． B． C． D．
2 (★★) [多选题] 已知双曲线：的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，则有 ( )
A．渐近线方程为 B．渐近线方程为
C． D．
3 (★★) [多选题] 已知，分别是双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则( )
A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线与双曲线有两个公共点
4 (★★) 已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为 .
5(★★★) 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于两点，2， 0，则的渐近线方程为 .
6(★★★) 如图所示，已知双曲线0)的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是 .
7(★★★) 已知双曲线的左、右焦点分别，，过的直线交双曲线右支于，两点．的平分线交于，若，则双曲线的离心率为 .
8(★★★) 已知双曲线1的左、右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则 .
【题型四】最值问题
情况1 求离心率范围
【典题1】 已知双曲线在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若的取值范围是，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．[2，+∞)
情况2 几何法求范围
【典题1】 已知双曲线的右焦点为，右顶点，为渐近线上一点，则的最小值为( )
A． B． C．2 D．
【典题2】 点是双曲线：的右焦点，动点在双曲线左支上，直线：与直线：的交点为，则的最小值为( )
A．8 B． C．9 D．
情况3 函数法求范围
【典题1】 已知为双曲线：上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，记线段，的长分别为，，则( )
A．若，的斜率分别为，，则 B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【典题2】 已知双曲线的一条渐近线方程为，为双曲线上一个动点，为其左，右焦点，的最小值为，则此双曲线的焦距为( )
A．2 B．4 C．2 D．2
【典题3】 如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点，延长到，使，连接，设以为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则当取最大值时，的值为 ．
巩固练习
1 (★★) 已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
2(★★) 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ．
3(★★) 已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为 ．
4(★★★) 设双曲线：的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线，与双曲线在一第象限的交点为，点坐标为且满足，若在双曲线的右支上存在点使得|成立，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
5(★★★) 双曲线：的左，右顶点分别是，，是上任意一点，直线，分别与直线：交于，，则的最小值是 ．
6(★★★) 已知双曲线：的左右焦点为，点是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线的离心率为 ．
7(★★★) 已知双曲线，，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为 ．
8(★★★) 设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
