椭圆
1 定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆．
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.
如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边)
注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆；
点的轨迹是线段；
点P的轨迹是无轨迹.
2 几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 且 且
顶点
轴长 短轴长长轴长
焦点
焦距
的关系
离心率
3 一些常见结论
① 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为；
② 最大角，是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，为最大角；
③ 焦点三角形面积；
④ 焦半径，；
⑤ 椭圆的参数方程.
【题型一】椭圆的定义
【典题1】 设定点动点满足条件，则点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【解析】由题意得
所以
当且仅当时取等号，此时则
因为定点、，所以
当|时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹是以、为焦点的椭圆;
故选：．
【点拨】注意椭圆定义的常数要大于两定点距离.
【典题2】 如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线的一支
【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．
故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分．
故选：．
巩固练习
1(★) 设为定点，动点满足则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】
【解析】若点与，可以构成一个三角形，则，
，动点满足，
点在线段上．
故选：．
2(★★) 在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】正方体的棱长为,
点是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭球上，
在正方体的棱上
应是椭圆与正方体的棱的交点
结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱上各有一点满足条件
故选：B．
【题型二】椭圆方程
【典题1】 已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ．
【解析】椭圆方程化为(化为标准式)
由于椭圆的焦点在轴上，则 即
故答案为：.
【点拨】
曲线方程
当且时为椭圆(若那就是圆了)；
当时为焦点在轴上的椭圆且；
当时为焦点在轴上的椭圆且.
简而言之：看分母大小.
【典题2】经过两点的椭圆的标准方程为 .
【解析】由题意，设椭圆的方程为1，（待定系数法）
则解得．
椭圆的标准方程为1．
【点拨】过两个点的椭圆设为可避免对焦点在轴还是轴的分类讨论.
【典题3】 已知是椭圆的右焦点，且过点则椭圆的标准方程为 ．
【解析】 方法一 已知是椭圆的右焦点，且过点，
可得解得
(这里求可“猜”，由可猜或等，若解方程计算量较大)
所以所求椭圆方程为：．
方法二 依题意可知，椭圆的两个焦点分别为，
由椭圆的定义，可知，
又;
所以所求椭圆方程为：．
【点拨】方法二利用椭圆的定义求解，计算量较小.
巩固练习
1(★) 已知方程1表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ．
【答案】(1)
【解析】方程1表示焦点在x轴上的椭圆，
，解得，
的取值范围是(1，)．
故答案为：(1，)．
2(★) 已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为 ．
【答案】 或
【解析】，且△ABC的周长等于16，
，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点，
，，
，故顶点的轨迹方程为或．
故答案为：或．
3(★) 焦点在轴上，焦距等于且经过点的椭圆标准方程是 ．
【答案】
【解析】由椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为
焦距等于，且椭圆经过点．
，解之得，(舍负)
因此，椭圆的标准方程为．
故答案为：
【题型三】椭圆的图像及其性质
【典题1】 (多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和半焦距分别为和离心率分别为则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D． E．椭圆Ⅱ比椭圆I更扁
【解析】由题图知
对于正确；故正确；
对于由图可知；故正确；
对于故不正确；
对于，由图知；
；；；故正确；
对于；椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁；故不正确；
故选：．
【点拨】由于，结合图象可知椭圆的离心率越大，就越小，则椭圆就越扁.
【典题2】 如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点为上一点，满足且则椭圆的方程为 .
【解析】由题意可得设右焦点为
由易得．
(在三角形外接圆上)
由勾股定理，得，
由椭圆定义，得从而得
于是
所以椭圆的方程为1．
【点拨】注意焦点三角形的运用，常用到椭圆定义.
【典题3】 椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆方程为 .
【解析】由椭圆的离心率则c，
由则
不妨设椭圆方程为
右焦点关于：的对称点设为
则解得
由点在椭圆上，得
由椭圆的对称性可知椭圆的焦点坐标也可以在轴上，(注意焦点的位置)
椭圆的标准方程为：或．
【点拨】点与点关于直线对称
的中点在直线上，.
【典题4】 已知椭圆：的左右焦点分别为,点是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为若则椭圆的离心率为 .
【解析】如图所示，
线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为连接
则．
．
点是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．
作轴，垂足为点则．
．
，．
(对用向量坐标法也可求出点坐标)
代入椭圆方程可得：1，解得．
．
【点拨】处理类似这样的向量共线条件，可以用坐标法或相似三角形的方法处理.
【典题5】 已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为若则直线的斜率为 .
【解析】在三角形中，
由余弦定理可得 解得
(用二倍角公式求出也可以)
可设则
设即有
，
(这是由一定理想到的：是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，且存在，则，椭圆第三定义)
由．
【点拨】
① 处理斜率问题常用到斜率公式；
② 本题另一思路：求出直线的方程---联立方程求出点---求，就是计算量大些.
巩固练习
1(★) 已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】依题意得，得，
且，得，
则，得到，
故选：．
2(★) 椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则的值为 ．
【答案】4或
【解析】由是椭圆，知且．方程化为．
当椭圆焦点在轴上时，长轴长为，短轴长为，
由，得；
当椭圆焦点在轴上时，长轴长为，短轴长为，
由，得．
故答案为：或．
3(★) 椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为 ．
【答案】
【解析】，
．
在中，
，
．
4(★★) 已知椭圆：1的左、右焦点为为坐标原点为椭圆上一点．与轴交于一点则椭圆的离心率为 ．
【答案】1
【解析】因为，
所以∠
设，．
如图所示，由题意：，|，
可得．则，，．
可得，，
．
，
化为：．
故选：．
5(★★) 设点P为椭圆：上一点、分别是椭圆的左、右焦点为的重心，且那么的面积为 ．
【答案】
【解析】因为为的重心，所以，
因为，设，，
所以，由椭圆的方程可得：，
所以，
所以方程整理可得，解得，
当时，，，
则，
所以，
同理时，，
故答案为：8．
【题型四】最值问题
情况1 求离心率范围
【典题1】 如图，已知椭圆：1的左，右焦点分别为焦距为是椭圆上一点(不在坐标轴上)是的平分线与轴的交点，若则椭圆离心率的范围是 ．
【解析】
是∠P的角平分线，
则
由得|
由可得
由椭圆离心率的范围是(1)．
故答案为：(1)．
【点拨】
① 角平分线定理：如图，在中是的角平分线，则.
② 求离心率的范围的一般思路：求出任意两个量比值的范围得到关于离心率的不等式，从而求出的范围，同时也要注意椭圆中.
【典题2】 已知椭圆的左、右焦点分别为点是椭圆上一点，直线垂直于且交线段于点则该椭圆的离心率的取值范围是 .
【解析】设
又
即
)，
又
化为
由在椭圆上，可得：
可得
化为解得或(舍去)，
由可得即有
又．
【点拨】
① 设，由怎么得到点的坐标？解答中用向量坐标法；还可以用相似三角形的方法，过点作，过点作，易得，由相似三角形的性质可得但本题向量法来得更直接些；
② 题中出现垂直一般怎么处理呢？
(1) 若要求线段长度，想到勾股定理或直角三角形其他性质；
(2) 想到直线斜率关系，得到，但要注意两直线的斜率是否都存在;
(3) 想到向量的关系，得到;
本题中处理垂直关系用的是向量坐标法.
情况2 几何法求范围
【典题1】 在平面直角坐标系中是椭圆上的一个动点，点
则的最大值为 .
【解析】椭圆方程为
焦点坐标为和连接
根据椭圆的定义，得
可得
因此
．
当且仅当点在延长线上时，等号成立．
综上所述，可得的最大值为．
故答案为：．
【点拨】
① 本题主要是通过椭圆的定义得到，把“求的最大值”转化为“求的最大值”，当三点共线取到最值；
② 三点共线时就是取到最值，这常用于“求的最小值”与“的最大值”，本题若求的最小值，则是；
③ 本题用函数法求解，设，则，这样再往下思考就比较难了！
情况3 函数法求范围
【典题1】 已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为 .
【解析】根据条件可得故
则根据椭圆定义可知
方法一
当即在椭圆上下顶点时，取到等号，
的最小值为.
方法二 设则
令
．
的最小值为
【点拨】
方法一是利用基本不等式方法二是构造了函数进行求解，此时要注意自变量的取值范围，函数问题谨记“优先考虑定义域”；
【典题2】已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是 .
【解析】椭圆方程
椭圆的焦点
由在圆上，设
的取值范围[3，5].
【点拨】
① 在圆上，可设;
② 求最值时，线段可用两点距离公式表示出来;
③ 本题也可设，则此时要注意，则.
【典题3】 已知椭圆：1与圆：恰有两个公共点，若点在上，且位于第一或第四象限，点为的右焦点，则的取值范围为 ( )
A．(－10) B．(－16] C．(－16，10) D．[16)
【解析】：与圆恰有两个公共点
圆过的长轴的两个端点，即
故的方程为．
设则则．
所以
．
所以的取值范围为．
故选：B．
【点拨】
① 在圆锥曲线中处理向量可用坐标表示，转化为变量之间的关系，求的取值范围变为求的范围；
② 求的范围，式子出现两个变量，注意到点在椭圆上得，则消元达到两变量化为一变量，进而用函数思想处理；
③ 求的范围，要注意自变量的范围.
巩固练习
1 (★★) 设椭圆的两个焦点分别为，，若在轴上方的上存在两个不同的点满足，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，当点在上顶点时，∠最大，
要使在轴上方的上存在两个不同的点满足∠，
只需∠，即∠
，
，
，，
则椭圆离心率的取值范围是：，
故选：．
2 (★★) 点为椭圆上一点、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意，椭圆的焦点分别是两圆和
的圆心，
所以，，
则的取值范围是
故答案为：．
3 (★★) 已知是椭圆的右焦点是椭圆上一动点，则周长的最大值为
【答案】
【解析】的周长为，
而，
的周长为，
当最大时，三点共线，如图所示，
由题意得，，点坐标为，坐标为，
则的周长最大为
，
故答案为：．
4 (★★★) 已知椭圆：为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆为圆的两条切线为切点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由椭圆方程可得，则，如图，
设锐角，在中，，
因为[，，即，
故，
所以，
故选：D．
5(★★★) 已知椭圆:的右焦点为过原点的直线与椭圆交于两点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】取椭圆左焦点，连接，，，，易知四边形为平行四边形，即有，
设，则，故，
令，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
，
即的取值范围为．
6 (★★★) 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则该椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图所示，
设椭圆的左焦点为，连接，．则四边形为矩形．
因此．．
．
．
，
，，
∈，
∈．
．
7(★★) 已知椭圆1的左焦点为，，，点满足，则直线的斜率取值范围是 ．
【答案】(0，)
【解析】由题意的方程可得左焦点，设，
因为，所以，
所以可得，，即，
所以直线的斜率为：
所以，令，
令，，
则恒成立，
所以，即．
故答案为：．
8(★★★) 已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】 (，]
【解析】设，由，知，
因为，在椭圆上，，
所以四边形为矩形，；
由，可得1，
由椭圆的定义可得， ①，
平方相减可得②，
由①②得；
令t，
令，
所以，即，
所以，
所以，
所以，解得.椭圆
1 定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆．
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.
如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边)
注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆；
点的轨迹是线段；
点P的轨迹是无轨迹.
2 几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 且 且
顶点
轴长 短轴长长轴长
焦点
焦距
的关系
离心率
3 一些常见结论
① 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为；
② 最大角，是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，为最大角；
③ 焦点三角形面积；
④ 焦半径，；
⑤ 椭圆的参数方程.
【题型一】椭圆的定义
【典题1】 设定点动点满足条件，则点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【典题2】 如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线的一支
巩固练习
1(★) 设为定点，动点满足则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
2(★★) 在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为( )
A． B． C． D．
【题型二】椭圆方程
【典题1】 已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ．
【典题2】经过两点的椭圆的标准方程为 .
【典题3】 已知是椭圆的右焦点，且过点则椭圆的标准方程为 ．
巩固练习
1(★) 已知方程1表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ．
2(★) 已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为 ．
3(★) 焦点在轴上，焦距等于且经过点的椭圆标准方程是 ．
【题型三】椭圆的图像及其性质
【典题1】 (多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和半焦距分别为和离心率分别为则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D． E．椭圆Ⅱ比椭圆I更扁
【典题2】 如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点为上一点，满足且则椭圆的方程为 .
【典题3】 椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆方程为 .
【典题4】 已知椭圆：的左右焦点分别为,点是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为若则椭圆的离心率为 .
【典题5】 已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为若则直线的斜率为 .
巩固练习
1(★) 已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2(★) 椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则的值为 ．
3(★) 椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为 ．
4(★★) 已知椭圆：1的左、右焦点为为坐标原点为椭圆上一点．与轴交于一点则椭圆的离心率为 ．
5(★★) 设点P为椭圆：上一点、分别是椭圆的左、右焦点为的重心，且那么的面积为 ．
【题型四】最值问题
情况1 求离心率范围
【典题1】 如图，已知椭圆：1的左，右焦点分别为焦距为是椭圆上一点(不在坐标轴上)是的平分线与轴的交点，若则椭圆离心率的范围是 ．
【典题2】 已知椭圆的左、右焦点分别为点是椭圆上一点，直线垂直于且交线段于点则该椭圆的离心率的取值范围是 .
情况2 几何法求范围
【典题1】 在平面直角坐标系中是椭圆上的一个动点，点，则的最大值为 .
情况3 函数法求范围
【典题1】 已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为 .
【典题2】已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是 .
【典题3】 已知椭圆：1与圆：恰有两个公共点，若点在上，且位于第一或第四象限，点为的右焦点，则的取值范围为 ( )
A．(－10) B．(－16] C．(－16，10) D．[16)
巩固练习
1 (★★) 设椭圆的两个焦点分别为，，若在轴上方的上存在两个不同的点满足，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
2 (★★) 点为椭圆上一点、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 ．
3 (★★) 已知是椭圆的右焦点是椭圆上一动点，则周长的最大值为
4 (★★★) 已知椭圆：为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆为圆的两条切线为切点，则的取值范围是 ．
5(★★★) 已知椭圆:的右焦点为过原点的直线与椭圆交于两点，则的取值范围为 .
6 (★★★) 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则该椭圆离心率的取值范围为 ．
7(★★) 已知椭圆1的左焦点为，，，点满足，则直线的斜率取值范围是 ．
8(★★★) 已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
