直线系方程与圆系方程
1 直线系方程
过点的直线系方程为(其中不全为零)
平行于直线的直线系方程；
垂直于直线的直线系方程；
过两条已知直线和交点的直线系方程
(这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意)
2 圆系方程
以为圆心的同心圆圆系方程：；
与圆同心圆的圆系方程为；
过直线与圆交点的圆系方程为
；
过两圆，交点的圆系方程为
此圆系不含
特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
3 过圆上一点的切线方程
过圆上一点作圆的切线方程为
证明 向量法 向量，设切线上任意一点，
，，即，
即切线方程为.
切线方程也可以写成.
4 切点弦方程
过圆外一点引圆的两条切线，切点分别是，
则直线的方程为.
证明 方法1 设切点，
则过点的切线方程为，
由于点在切线上，所以有 ①，
设切点，同理得 ②，
由①②得点与点在直线上，
则直线的方程为.
方法2 以为直径的圆方程为，记为圆，
因为，所以点在圆上，
则是圆与圆的两个交点，
由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线方程
(这跟圆上点的切线方程形式一致)
【题型一】直线系方程
【典题1】求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程．
过点； 和直线垂直．
【典题2】求过点，圆的切线的方程．
【题型二】圆系方程
【典题1】经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是 ．
【典题2】 已知圆与圆．
求证：圆与圆相交；
求两圆公共弦所在直线的方程；
求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【典题3】 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 .
【典题4】 已知直线：，，为坐标原点，动点满足
，动点的轨迹为曲线
求曲线的方程；
若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值；
若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．
巩固练习
1 (★★) 求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
斜率为；过点；平行于直线．
2 (★★) 求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程．
3(★★) 求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程．
4 (★★) 求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程．
5 (★★) 过圆内一点作一弦交圆于两点，过点作圆的切线，求点的轨迹方程.
6 (★★★) 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线：截得的弦长为．
圆的方程；
设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．
7 (★★★) 如图，已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点为．
当的横坐标为时，求∠的大小；
求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
8 (★★★★) 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
设是圆的两条切线，其中为切点．
①若点在直线上运动，求证：直线经过定点；
②若点在曲线其中上运动，记直线与轴的交点分别为，求面积的最小值．直线系方程与圆系方程
1 直线系方程
过点的直线系方程为(其中不全为零)
平行于直线的直线系方程；
垂直于直线的直线系方程；
过两条已知直线和交点的直线系方程
(这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意)
2 圆系方程
以为圆心的同心圆圆系方程：；
与圆同心圆的圆系方程为；
过直线与圆交点的圆系方程为
；
过两圆，交点的圆系方程为
此圆系不含
特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
3 过圆上一点的切线方程
过圆上一点作圆的切线方程为
证明 向量法 向量，设切线上任意一点，
，，即，
即切线方程为.
切线方程也可以写成.
4 切点弦方程
过圆外一点引圆的两条切线，切点分别是，
则直线的方程为.
证明 方法1 设切点，
则过点的切线方程为，
由于点在切线上，所以有 ①，
设切点，同理得 ②，
由①②得点与点在直线上，
则直线的方程为.
方法2 以为直径的圆方程为，记为圆，
因为，所以点在圆上，
则是圆与圆的两个交点，
由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线方程
(这跟圆上点的切线方程形式一致)
【题型一】直线系方程
【典题1】求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程．
过点； 和直线垂直．
【解析】由 解得，．
方法一 由两点的坐标求得斜率为，
由点斜式求得直线方程为，
化简得．
方法二 设过点的直线方程为，
过点，，
故所求直线方程为.
方法一 依题意得所求直线的斜率为，
由点斜式求得直线方程为，即．
方法二 设所求直线为
过点，，
故所求直线方程为.
【点拨】此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.
【典题2】求过点，圆的切线的方程．
【解析】方法一 当直线斜率不存在时，方程为，显然不是切线，
故可设切线方程为，
直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，
故，解得或，
故所求直线的方程为或．
方法二 如方法二，设切线方程为，
由得
其判别式 , 解得或 ,
故所求直线的方程为或．
方法三 设所求直线的方程为(其中不全为零)，
直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故
整理，得，即(这时)或．
故所求直线的方程为或．
【点拨】本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点的直线系方程为(其中不全为零) , 它比起斜截式的设法好在不用对的存在进行讨论.
【题型二】圆系方程
【典题1】经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是 ．
【解析】方法一 (面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)
圆的方程可化为．
圆心坐标为，半径为；
圆心到直线的距离为．
设直线和圆的交点为．
则．
过点的最小圆半径为．
联立得，故，
则圆心的横坐标为：，纵坐标为，
最小圆的圆心为，
最小圆的方程为．
方法二 依题意，
可设过点两点圆的方程为，
(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆)
整理得
若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即取到最小值，
而，当时取到最小值，
此时圆的方程为.
【点拨】本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.
【典题2】 已知圆与圆．
求证：圆与圆相交；
求两圆公共弦所在直线的方程；
求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【解析】(1)证明：(圆心距两圆相交)
圆：化为标准方程为
，
圆的圆心坐标为，半径为
,
，两圆相交；
(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)
由解得，(这里还是有些计算量的)
则交点为，
圆心在直线上，设圆心为，
则，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
方法二 设所求圆的方程为
即
圆心坐标为
代入直线可得：，
所求圆的方程为．
【点拨】此题是过圆与圆交点的圆系问题.
① 两圆之间的位置关系看圆心距与两圆半径与之间的关系；
② 过两圆，交点的圆系方程为
此圆系不含
特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.
【典题3】 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 .
【解析】方法一 由图易得一切点为，
连接点与圆心直线的斜率，
由切线性质可知，
又直线过点
直线方程为.
(结合图形的特殊性，利用平几的知识求解，不具有一般性)
方法二 圆的圆心为，半径为，
以为直径的圆的方程为，
将两圆的方程相减可得公共弦的方程，
(这里把直线看成是两个圆公共弦所在的直线)
方法三 过圆外一点引圆的两条切线，
切点分别是 , 则直线的方程为.
所以有，化简得．(使用结论直接快捷)
【点拨】本题是圆的切点弦问题. 方法三直接快捷，但若是只会直接套用，达不到锻炼数学思维的能力 , 应多比较多种方法的优略性，掌握解题方法的本质.
【典题4】 已知直线：，，为坐标原点，动点满足
，动点的轨迹为曲线
求曲线的方程；
若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值；
若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．
【解析】设点，依题意知，
整理得，
曲线的方程为
点为圆心，∠，
点到的距离，
；
由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上，
(对角互补的四边形的四顶点共圆)
设，则圆心，半径
得
即
又在圆：上
即
(直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程)
由得 ，
直线过定点.
巩固练习
1 (★★) 求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
斜率为；过点；平行于直线．
【答案】
【解析】直线与的交点为，
当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．
直线方程为．
过点时，由两点式得：即为．
直线方程为．
平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，
直线方程为．
方法二 由直线系方程可设所求直线为
(1)
直线的斜率为时，，解得，
故所求直线方程为．
(2) 过点时，代入方程得，
故所求直线方程为．
(3) 平行于直线时，，解得,
故所求直线方程为．
2 (★★) 求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程．
【答案】
【解析】设所求的圆的方程为，
即，
该圆的半径的平方为[，
故当时，圆的半径的平方最小，圆的面积最小，
此时，圆的方程为 ．
3(★★) 求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程．
【答案】 或
【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为，
令得，化简得
，
由两边平方得
，化简得
解得或
所求圆的方程为，
或
所求圆的方程为或
4 (★★) 求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程．
【答案】
【解析】方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)
将两圆的方程联立得方程组，
解方程组求得两圆的交点坐标．(这里还是有些计算量的)
弦的中垂线为，
它与直线交点就是圆心，又半径，
故所求圆的方程为．
方法二 过两圆与的交点的圆的方程可设为，
整理得
其圆心为，
又由圆心在直线上，
则有，解得,
所以所求圆的方程为.
5 (★★) 过圆内一点作一弦交圆于两点，过点作圆的切线，求点的轨迹方程.
【答案】
【解析】设，，
则过圆上的点的切线方程分别为：
，点在切线上；
，；
直线的方程为：；
直线过点；
；
点的轨迹方程为．
故答案为：．
6 (★★★) 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线：截得的弦长为．
圆的方程；
设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．
【答案】 和
【解析】 设圆的圆心为，则圆心到直线的距离．
由题意可得，，即，解得或舍)．
圆的方程为；
证明：是直线上的点，．
为圆的切线，即过三点的圆是以为直径的圆．
设圆上任意一点，则．
，，
，
即．
故，解得或．
因此经过三点的圆必过定点和
7 (★★★) 如图，已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点为．
当的横坐标为时，求∠的大小；
求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
【答案】
【解析】由题可知，圆M的半径r=2，，
因为是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°
又因，
又∠，∠；
设，因为∠，
所以经过三点的圆以为直径，
方程为：，
即
由，解得或，
所以圆过定点
8 (★★★★) 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
设是圆的两条切线，其中为切点．
①若点在直线上运动，求证：直线经过定点；
②若点在曲线其中上运动，记直线与轴的交点分别为，求面积的最小值．
【答案】 ；
①直线恒过定点；②的面积取得最小值．
【解析】由题意设圆的圆心坐标，
由题意，即，
解得，即，
所以可得半径，
所以圆的方程为；
①由点在直线上运动，可设，
由和为圆的两条切线，可得，，
则四点共圆，且圆心为的中点，半径为，
则以为直径的圆的方程为，
又圆的方程为，
上面两圆的方程相减可得直线的方程，
由，可得，解得，
则直线恒过定点；
②若点在曲线其中上运动，可，，
显然切线的斜率存在，设为，可得切线方程设为，
即，
由直线和圆相切的条件可得，
化为，
在恒成立，
，，
，
而，
，
所以面积，
可设，，则，
当且仅当，即时，的面积取得最小值．
