直线与圆的最值问题
1 最值模型
三点共线模型(三角形三边的关系)
点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点.
点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到).
点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点.
某点到圆上点的距离
若点在圆内，则，；
若点在圆外，则，；
圆上一点到圆外一定直线的距离最值
若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离，
为圆半径，则，.
2 圆的参数方程
圆的标准方程，圆心为，半径为，
它对应的圆的参数方程：.
理解：如图，易得有向线段，
有向线段.
Eg 圆的参数方程为
【题型一】几何法处理最值问题
情况1 三点共线模型
【典题1】是直线：上一点，求
到和的距离之差的最大值；
到和的距离之和的最小值．
情况2 斜率型最值
【典题1】如果实数满足条件：，那么的最大值是 .
情况3 两点距离型最值
【典题1】已知点在直线：上，则的最小值为 ．
【典题2】 已知点，分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 .
情况4 圆外一定点到圆上点距离最值
【典题1】已知满足，则的最小值是 .
【典题2】已知点，圆：，点为在圆上一点，点在轴上，则的最小值为 .
情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值
【典题1】已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值和最小值之和为 ．
巩固练习
1 (★★) 已知，则的取值范围是 ．
2 (★★) 已知点在圆上，则的最大值为 ．
3 (★★) 已知圆上一动点，定点；轴上一点，则的最小值等于 ．
4 (★★) 已知两个同心圆的半径分别为和，圆心为．点分别是大圆、小圆上的任意一点，线段的中垂线为．若光线从点射出，经直线入射光线与直线的公共点为反射后经过点，则的取值范围是 ．
5 (★★)已知点，若点在圆上运动，则面积的最小值为 ．
6 (★★) 过动点作圆：的切线，其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是 ．
7 (★★) 已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为 ．
8 (★★) 已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为 ．
9(★★★) 如图，设圆：，圆：，点分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
【题型二】代数法处理最值问题
【典题1】 已知圆的圆心在直线上，且经过点，．
求圆的方程；
已知点，，若为圆上的一动点，求的取值范围．
【典题2】 已知直线：，圆：，在上任意取一点，向圆作切线，切点分别为，则原点到直线的距离的最大值为 ．
【典题3】 已知实数满足方程．
求的最大值和最小值；求的最大值和最小值；求的取值范围．
【典题4】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，点是正方形边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，当取得最小值时，直线的方程为 .
巩固练习
1 (★★) 若实数满足，则的最大值是( )
A． B． C． D．
2 (★★★) [多选题]若实数满足条件，则下列判断正确的是( )
A．的范围是 B．的范围是
C．的最大值为 D．的范围是
3 (★★★) [多选题]已知点，若过点的直线交圆：于两点，是圆上动点，则( )
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
4 (★★) 已知点，点在直线上，求取得最小值时点的坐标．
5 (★★★) 在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆的圆心，过原点的直线与圆相交于两点两点均不在轴上)．求面积的最大值．
6 (★★★) 已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交y轴正半轴于点，点为坐标原点．
若的面积为，求直线的方程；
求的最小值，并求此时直线的方程；
求的最小值，并求此时直线的方程．
7 (★★★) 在平面直角坐标系中．已知圆经过，，三点，是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．
若，求直线的方程；
若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值．直线与圆的最值问题
1 最值模型
三点共线模型(三角形三边的关系)
点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点.
点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到).
点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点.
某点到圆上点的距离
若点在圆内，则，；
若点在圆外，则，；
圆上一点到圆外一定直线的距离最值
若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离，
为圆半径，则，.
2 圆的参数方程
圆的标准方程，圆心为，半径为，
它对应的圆的参数方程：.
理解：如图，易得有向线段，
有向线段.
Eg 圆的参数方程为
【题型一】几何法处理最值问题
情况1 三点共线模型
【典题1】是直线：上一点，求
到和的距离之差的最大值；
到和的距离之和的最小值．
【解析】显然位于直线两侧，
作关于直线的对称点，连接，所在直线与直线交点为，
此时的差值最大，最大值就是，
设点关于对称点，
则，，
(，中点在上)
得，，，
，
即到和的距离之差最大值为；
显然位于直线同侧，(将军饮马模型)
作点关于直线对称点，连接，所在直线与直线的交点为，
此时之和最小，最小值为，
设关于的对称点为，
可得，，
解得，，即的坐标为，，
，
即到和的距离之和最小值为.
【点拨】三点共线模型，主要是利用三角形三边共线(任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边)，当三点共线时取到最值，熟悉模型快速判断模型是关键.
情况2 斜率型最值
【典题1】如果实数满足条件：，那么的最大值是 .
【解析】满足方程的图形是个圆，
表示圆上动点与原点连线的斜率，
由图可得动点与重合时，此时与圆相切，取最大值，
连接，在中，，，
，，
此时.
【点拨】
① 本题很好地体现了数形结合，把代数问题转化为几何问题处理；
② 直线斜率公式是，对于形如可理解为点与点之间的斜率，其最值问题可化为几何中斜率的最值问题.
情况3 两点距离型最值
【典题1】已知点在直线：上，则的最小值为 ．
【解析】的几何意义是点到点的距离，
(而是其距离的平方)
又点在直线上，
的最小值为点到直线的距离，(垂线段最短)
又，，则．
【点拨】
① 本题解法中很好利用两点距离公式.
(以下是变量，它们满足某些限制条件，是常数)
求形如或式子的最值，可理解为动点与定点的距离最值问题.
② 本题用代数的方法求解与之比较下，体会下两种方法的不同.
【典题2】 已知点，分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 .
【解析】
方法1 由平行线距离公式得，
设，
由图可知，即倾斜角为，
，
则，
所以
(利用两点距离公式把所求的用表示处理，此时若想用函数最值的方法求解较难)
设点，，，如图：
则有
即当三点共线时等号成立)，
(此时巧妙的用两点距离公式把式子为一动点到两定点的距离之和，达到了几何化的目的)
综上，．
方法2 (把点向方向移动长度单位到，则问题“的最小值”转化为求在上找点使得最小，显然是.)
如图，如方法易得，，
取点，使得，，
则，，
解得， ，即，
此时四边形是平行四边形，
则，
显然，所以的最小值.
【点拨】求形如的式子最值，
可理解为动点与定点的距离之和的最值问题；
这充分把代数问题几何化，与斜率型的题型一样，我们要充分理解，
比如求式子的最值你又会想到我们学过的什么公式么？
情况4 圆外一定点到圆上点距离最值
【典题1】已知满足，则的最小值是 .
【解析】方程可理解为圆心，半径的圆，
而
可理解为点到点的距离平方，
则问题转化为圆外一定点到圆上点距离最小值，
点到圆上点的最短距离为
，
则．
【点拨】
① 本题把方程理解为圆，理解为两点距离的平方；
② 注意点在圆内还是圆外.
【典题2】已知点，圆：，点为在圆上一点，点在轴上，则的最小值为 .
【解析】由题意知，圆的方程化为，圆心，半径为；
(本题是双动点问题，它们之间没有联系，可采取先“固定”一动点的方法)
分两步：
第一步 假设圆上点不动，此时点在轴上运动，
求的最小值，这就是“将军饮马问题”，
如图所示，作点关于轴的对称点；
此时的最小值为
(即说不管点在什么位置，最小值都是)，
第二步 再把动点动起来，
此时是圆外一定点到圆上一点的距离最值问题了，
显然
，
故的最小值为.
【点拨】两动点问题，若两动点没内在联系的，可先“固定”一动点，思考点运动时的最值，确定后再“释放”动点，求出最终的最值.
情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值
【典题1】已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值和最小值之和为 ．
【解析】(以为底，求其最值，即求点到直线的距离最值)
由两点，
，
直线的方程为，即，
由圆可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
点是圆上的动点，
点到直线的最大距离；点到直线的最小距离．
面积的最大值和最小值之和等于
．
【点拨】圆上一点到圆外一直线距离与圆心到直线的距离和圆的半径有关，
即，.
巩固练习
1 (★★) 已知，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】的几何意义是与连线的斜率
设过的直线方程为，即
，圆心到直线的距离为，
2 (★★) 已知点在圆上，则的最大值为 ．
【答案】 1
【解析】表示点与点的距离，
点在圆上，
的最大值为，
3 (★★) 已知圆上一动点，定点；轴上一点，则的最小值等于 ．
【答案】
【解析】根据题意画出圆，以及点的图象如图，
作关于轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点，即为的最小值，
为点到点的距离减圆的半径，
即，
故答案为：．
4 (★★) 已知两个同心圆的半径分别为和，圆心为．点分别是大圆、小圆上的任意一点，线段的中垂线为．若光线从点射出，经直线入射光线与直线的公共点为反射后经过点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】线段的中垂线为，可得，
且关于的对称点为，
可得，
即有，
则，
但，
故答案为：．
5 (★★)已知点，若点在圆上运动，则面积的最小值为 ．
【答案】4
【解析】点，若点在圆上运动，
的直线方程为，即．
圆心到直线的距离为，
则面积的最小值为，
故答案为：．
6 (★★) 过动点作圆：的切线，其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，
则
为圆的切线，则有，
又由，则有，
即，变形可得：，
即在直线上，
则的最小值即点到直线的距离，且=；
即的最小值是.
7 (★★) 已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意设点，，，
因为，是圆的切线，所以，，
所以在以为直径的圆上，其圆的方程为，
又在圆上，
将两个圆的方程作差得直线的方程为：，
即，所以直线恒过定点，
又因为，，，，四点共线，所以，
即在以为直径的圆上，
其圆心为，半径为，
如图所示
所以，
所以的最小值为，
8 (★★) 已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆经过原点，
，则动圆的圆心在以原点为圆心，以为半径的圆上，
如图：
原点到直线的距离，
则圆上的点到直线距离的最大值为．
9(★★★) 如图，设圆：，圆：，点分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】依题意可知圆的圆心，，圆的圆心，，如图所示：
对于直线上的任一点，由图象可知，要使的得最小值，
则问题可转化为求的最小值，
即可看作直线上一点到两定点距离之和的最小值减去，
由平面几何的知识易知当关于直线对称的点为 ′，
与共线时，的最小值，
取得最小值，即直线上一点到两定点距离之和取得最小值为
的最小值．
【题型二】代数法处理最值问题
【典题1】 已知圆的圆心在直线上，且经过点，．
求圆的方程；
已知点，，若为圆上的一动点，求的取值范围．
【解析】设圆心，则，
由得，
解得，，
圆的半径，
所以圆的方程为．
方法1 设，(设元，引入变量)
则，即
则 (利用两点距离公式用表示)
(问题转化为求式子的取值范围，但是存在两个变量，故想到消元)
(消元)
，
，(注意定义域的范围)
故的取值范围是．
方法2 点为上的一动点，
设，(利用圆的参数方程，引入三角函数)
则
所以，
即的取值范围是．
【点拨】本题注意是利用函数思想求解，把所求几何量用某个(或某些)变量表示，故设元引入变量很重要，本题是设或，最后达到几何问题代数化.
【典题2】 已知直线：，圆：，在上任意取一点，向圆作切线，切点分别为，则原点到直线的距离的最大值为 ．
【解析】(代数法思路：要求的最大值，则把直线的方程求出，再用点到直线距离公式把用某个或某些变量表示出来，那点是怎么产生的呢？是由点确定的，故设元)
由题可得圆的圆心坐标为，半径为．
在直线上，设，
又为过点的圆的切线的切点，
故有，
以为圆心，为半径的圆方程为，
化简得，
(把看成圆与圆的公共弦，可求出直线的直线方程)
所在直线方程为，(圆方程减去圆方程便是)
到的距离，(问题最后变成求函数的最值)
，
令，得，
由不等式，当且仅当，即时取等．
，即原点到直线的距离的最大值为.
【点拨】
① 代数法设元很重要，那我们首先要理解题意，明白几何问题中各量之间的“因果关系”方能找到“源头”；
② 过两圆，交点的圆系方程为
，此圆系不含
特别地，当时，上述方程为一次方程；两圆相交时，表示公共弦方程；
③ 本题最后涉及到的函数是型，对其最值的求法要掌握好，它在高二也常考.
【典题3】 已知实数满足方程．
求的最大值和最小值；求的最大值和最小值；求的取值范围．
【解析】实数满足方程，化为，
它表示一个圆，其参数方程为；
(1)
，
的最小值为，最大值为；
(2) ，
的最大值为，最小值为；
(3) ，
令，(整体代换)
，
则，由，解得
则的最大值为，最小值为．
【点拨】
① 圆的参数方程
② 本题方法是三角变换；
③ 这三个问题在前面也有所涉及，可以用几何方法求解，我们要比较下它们的优劣性.
【典题4】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，点是正方形边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，当取得最小值时，直线的方程为 .
【解析】方法一 函数法
(利用对称性求点坐标，进而求的表达式，其运动“源头”是点，则表达式是关于的)
设，．则直线的方程为，可得．
设，．
则，，解得，，
．
．
，
令，则
易得的最大值
在，即时取到，此时，，
易得直线方程为.
方法二 几何法
设点，
点关于直线的对称点为点，，
点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
，
设点，(利用圆外一定点到圆上一点的距离最值模型)
则取到最小值时，即点到圆上一点最短距离之时，
此时点为直线与圆的交点，
由解得，，即，
此时，故直线的斜率为，
故直线方程为.
方法三 三角代换
如方法二，得到，可设，
则
，
当，即时，取到最小值.
设点，由得，解得，
易得直线方程为.
【点拨】
① 题中看不出明显的几何意义，故用代数的方法处理这个条件；
② 细品三种方法，各有千秋，
函数法思路朴素，易入手，要求出，则设元，而点是由点确定的，转而设元，从而易得用表示，从而用表示，求出其最小值时的取值问题较不难了，就计算量有些大；
几何法，重在发现图中几何变量内在关系，需要认真观察图象，有一定思考难度，若想到计算量上较函数法小不少；本题是确定了动点的轨迹是圆，相当找到的关系，而联想到圆外一定点到圆上一点的距离最值模型.
方法三的三角代换只是在几何法的基础上作了一些计算的简化工作，体现到三角代换在某些情境中设元的优势.
巩固练习
1 (★★) 若实数满足，则的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方法一 几何法
即，
它表示一个圆心，半径的圆，
而表示圆上的点与原点之间的距离，
(则本题就是求原点到圆上点距离的最小值)
结合图形知，
即的最大值是，
故选：．
方法二 三角代换法
即，
设，
则
而 (由辅助角公式可得)
的最小值为.
2 (★★★) [多选题]若实数满足条件，则下列判断正确的是( )
A．的范围是 B．的范围是
C．的最大值为 D．的范围是
【答案】
【解析】令，
则，故错误；
，故正确；
，故错误；
令，得，有，
则，由，解得，故正确．
故选：．
3 (★★★) [多选题]已知点，若过点的直线交圆：于两点，是圆上动点，则( )
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】
【解析】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，故正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，故正确；
设，
则，
，则的最小值为，故错误；
当三点共线时，最大，且最大值为，所以正确．
故选：．
4 (★★) 已知点，点在直线上，求取得最小值时点的坐标．
【答案】
【解析】设，
则
当时，取得最小值，此时有
取得最小值时点的坐标为
5 (★★★) 在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆的圆心，过原点的直线与圆相交于两点两点均不在轴上)．求面积的最大值．
【答案】
【解析】由直线与圆相交于两点，直线的斜率必定存在，设直线的方程为
当∠时，为等边三角形，由圆的半径为，可知．
圆心到直线的距离为，
有，解得，
故直线的方程为．
由圆心到直线的距离为，
可得，
设的面积为，
有，
设，可得，
有
，
可得当时，，，
故面积的最大值为．
6 (★★★) 已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交y轴正半轴于点，点为坐标原点．
若的面积为，求直线的方程；
求的最小值，并求此时直线的方程；
求的最小值，并求此时直线的方程．
【答案】 (1) (2) (3)
【解析】设直线：1，
由直线过可得，
，
由可得，，，
所以直线的方程为1即，
，
当且仅当，时取等号，
此时直线方程，
三点共线，
，
当且仅当时取等号，此时直线方程．
7 (★★★) 在平面直角坐标系中．已知圆经过，，三点，是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．
若，求直线的方程；
若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值．
【答案】 (1) (2)
【解析】(1)由题意，圆心坐标为，半径为，则
设直线的方程，即，
圆心到直线的距离，
舍)或，
直线的方程为；
设，由点在线段上，得，
即，
由，得，即，
依题意，线段与圆至多有一个公共点，
故，
解得舍)或，
是使恒成立的最小正整数，，
圆的方程为．
①当直线：时，直线的方程为，此时；
②当直线的斜率存在时，设的方程为，，
则的方程为，点，，
又圆心到的距离为，
，
,
，
．
