直线的交点与距离
1两条直线的交点
设两条直线的方程是，
两条直线的交点坐标就是方程组的解.
(1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
(2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
(3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合.
2几种距离
(1) 两点距离公式
平面上的两点间的距离公式.
(2) 点到直线的距离公式
点到直线的距离.
(3) 两平行直线间的距离
两条平行线与间的距离.
【题型一】 直线交点问题
【典题1】 若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 ．
【典题2】 已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为 ．
【典题3】求过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【典题4】 若，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 ．
巩固练习
1(★) 曲线与的交点的情况是( )
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
2(★) 关于的二元一次方程组无解，则 ．
3(★) 若三条直线，和交于一点，则的值为 ．
4(★★) 直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为 ．
5 (★★★) 在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上．设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为 ．
【题型二】 距离问题
情况1 两点间的距离
【典题1】 在平面直角坐标系内，到点，)，，的距离之和最小的点的坐标是 ．
【典题2】 设，的最小值为_______.
【典题3】 已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点异于点，则的最大值为 ．
【典题4】已知点，对于直线：的任意一点，都有，则实数的取值范围是 ．
情况2 点到直线的距离
【典题1】 已知曲线：和直线：，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是 ．
【典题2】 已知直线方程为．那为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
【典题3】 设直线：，：其中实数满足．
证明：直线与相交；
试用解析几何的方法证明：直线与的交点到原点距离为定值；
设原点到与的距离分别为和，求的最大值．
情况3 两平行线间的距离
【典题1】 若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数 .
【典题2】 正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为，
求正方形中心所在的直线方程；
设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围．
巩固练习
1(★) 已知的顶点为，，，则边上的中线长为 ．
2(★) 点到直线的距离的取值范围为 ．
3(★) 到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是 ．
4(★★) 两条平行线分别过点，，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是 ．
5(★) 已知直线经过点，且原点到它的距离为，则直线的方程为 ．
6(★★) 已知点在直线：上，则的最小值为 ．
7(★★) 若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为 ．
8(★★) 已知实数成等差数列，则点到直线的最大距离是 ．
9(★★) 平面直角坐标系内，动点到直线和：的距离之和是，则的最小值是 ．
10(★★★) 在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点．若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ．
11(★★★) 已知点分别在直线：与直线：上，且，点A，，则的最小值为 ．直线的交点与距离
1两条直线的交点
设两条直线的方程是，
两条直线的交点坐标就是方程组的解.
(1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
(2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
(3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合.
2几种距离
(1) 两点距离公式
平面上的两点间的距离公式.
(2) 点到直线的距离公式
点到直线的距离.
(3) 两平行直线间的距离
两条平行线与间的距离.
【题型一】 直线交点问题
【典题1】 若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 ．
【解析】关于的方程组有无穷多组解，
则直线和直线重合，
故，，所以．
【典题2】 已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为 ．
【解析】联立方程，解得，(由于两直线相交，故)
因为交点在第二象限，所以，解得，
故实数的取值范围为．
【典题3】求过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【解析】 方法1 (求出交点，再用截距式求解)
由得交点坐标，
由于直线在两坐标轴上截距相等，(截距相等要注意是否为)
当截距为，此时直线方程为，代入点得，
即所求直线方程为.
当截距不等于，设直线方程为，代入点得，
此时所求直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或.
方法2 设所求直线方程为，
当直线过原点时，则，则，
此时所求直线方程为.
当直线不过原点时，令，解得，令，解得，
由题意得，解得，此时所求直线方程为 ,
中不包括直线，而它显然不满足题意，
综上所述，所求直线方程为或.
【点拨】本题中方法2采取了直线系方程的方法.
过两条已知直线和交点的直线系方程
(这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意)
【典题4】 若，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 ．
【解析】(确定所求的四边形面积，要四边形的图象，即了解两条直线与坐标轴的交点与两直线的交点)
由得，即两直线的交点为定点，
而直线：，与轴的交点，
直线：与轴的交点，与轴的交点，
(由，很容易确定各点的位置)
如图所示，
，
，，
则，
故时，所求面积的取值范围是．
【点拨】
① 根据题意画出正确的图象是正确求解的基础，对于含参的直线，要注意它是否存在定点、斜率的正负、与轴交点的位置等.
② 而定点如何确定，如直线：变式为易得过定点.
巩固练习
1(★) 曲线与的交点的情况是( )
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
【答案】
【解析】联立两条直线方程得：得到，
两边平方得：，
当即时，，
得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．
当时，得到，与曲线只有一个交点．
所以曲线与的最多有两个交点．
2(★) 关于的二元一次方程组无解，则 ．
【答案】
【解析】时，方程组化为：，无解，舍去．
时，两条直线平行时，可得：，无解．
综上可得：．
3(★) 若三条直线，和交于一点，则的值为 ．
【答案】
【解析】依题意，，解得，
两直线和的交点坐标为．
直线，和交于一点，
，．
4(★★) 直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，，
且，，
5 (★★★) 在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上．设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设与轴交点的横坐标为，则：，直线：，
由，所以
，当且仅当，取等号，
故答案为：．
【题型二】 距离问题
情况1 两点间的距离
【典题1】 在平面直角坐标系内，到点，)，，的距离之和最小的点的坐标是 ．
【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点，
到点，，，的距离之和为：
，
故四边形对角线的交点即为所求距离之和最小的点．
，，，，
的方程分别为：，，
即，．
解方程组得．
【点拨】本题是从几何方法入手，利用“一点到两定点距离之和最小值为两定点距离”的三点共线最值模型求解；若设，再利用两点距离公式求解，就很麻烦了！
【典题2】 设，的最小值为_______.
【解析】从几何意义看，
+表示点到点和距离的和，
其最小值为和两点间的距离.
【点拨】 本题是函数最值问题，但很巧妙的使用了两点距离公式从而化为几何最值问题.平面上的两点间的距离，若给两点坐标我们用此公式很容易得到两点距离，若给了能够联想到两点距离公式呢？这里就提醒我们在掌握知识的“直用”也要会“逆用”.
【典题3】 已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点异于点，则的最大值为 ．
【解析】:可变形为，过定点，
：可变形为，过定点，
方法1 代数法
由可得交点，
则，，
设，，则，(发现这关系是关键)
则，当时取到等号，
即的最大值为，当时取到最值.
方法2 几何法
观察直线斜率可知直线与直线垂直，(发现这一隐含条件是关键)
则有，且，
(相当于方法的，此时题目转化为
“已知，求的最大值”，
想到基本不等式)
由
所以，
即，当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
【思考】 体会下两种方法的异同与优劣性，方法中还能转化为函数最值求解么？
【典题4】已知点，对于直线：的任意一点，都有，则实数的取值范围是 ．
【解析】根据题意，点在直线：上，设的坐标为，
则有
，
若对于直线：上的任意一点，都有，
则恒成立，
即对于恒成立，
则有，即，
解可得或，
即的取值范围为，
【点拨】本题采取设元的方法，把转化为恒成立问题处理.这是典型的代数方法，又是否存在几何的思路呢？
情况2 点到直线的距离
【典题1】 已知曲线：和直线：，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是 ．
【解析】设点，则，取到最小值时是点到直线的距离，
点到直线的距离为，
，
的最小值是.
【典题2】 已知直线方程为．那为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
【解析】 方法一 函数法
点到直线的距离，
则
令，则，
由对勾函数易得当时取到等号，，
则或
故当，即时，取到最大值，即.
方法二 几何法
直线化为．
由，得 ，
直线必过定点．
当点到直线的距离最大时，垂直于已知的直线，
即点与定点的连线就是所求最大值，
此时直线与直线垂直，
，，解得，
此时，点到直线的最大距离是．
综上所述，时，点到直线的距离最大，最大值为．
【点拨】体会下两种方法的优劣性.
【典题3】 设直线：，：其中实数满足．
证明：直线与相交；
试用解析几何的方法证明：直线与的交点到原点距离为定值；
设原点到与的距离分别为和，求的最大值．
【解析】证明：(1) (只需证明)
反证法：假设与不相交，(若从正面入手较难，可考虑“反证法”)
则与平行，有，
代入，得，
这与为实数的事实相矛盾，，故与相交．
由知，由方程组
解得交点的坐标为，
而．
即与的交点到原点距离为．
(从函数的角度思考，遇到二元，要不基本不等式，要不消元)
(遇到根号，基本思路是考虑平方，换元)
(遇到形式，利用分离常数法、基本不等式)
，
当即时，的最大值是．
【点拨】对于一些常见的式子(或模型)的处理手段要掌握好，这是基本功.
情况3 两平行线间的距离
【典题1】 若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数 .
【解析】平面内两条平行线：，：，
，或．
当时，两条平行直线即 ：，：，
它们之间的距离为，不满足条件．
当时，两条平行直线即：，：，
它们之间的距离为，满足条件，
故实数．
【点拨】用两平行直线距离公式时，要确定前的系数一致后才能使用.
【典题2】 正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为
，
求正方形中心所在的直线方程；
设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围．
【解析】 由于正方形中心所在直线平行于直线，
设中心所在直线为，
由平行线间的距离公式得，解得．
则正方形中心所在的直线方程为；
正方形的边长即为平行直线与间的距离，
设正方形所在直线方程为，(用到了正方形内角是直角的性质)
由于中心到的距离均等于，(相当用到了正方形四边相等的性质)
那么，解得 ①，
又因为在直线上，那么，即 ②，
把②代入①得 ③，
联立方程，解得，
由于正方形只有两个点在第一象限，
那么，就是，解得 ④，
把③代入④得到，解得．
故的取值范围为．
【点拨】结合图象，充分利用图象的性质得到变量的限制要求，从而求出变量范围.
巩固练习
1(★) 已知的顶点为，，，则边上的中线长为 ．
【答案】
【解析】根据题意，设的中点为，
的顶点为，
则，，
2(★) 点到直线的距离的取值范围为 ．
【答案】
【解析】记为点到直线的距离，
即：，其中；
当变化时，的最大值为，的最小值为，
3(★) 到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是 ．
【答案】 或
【解析】由平行关系可设所求直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得，
解得，或
所求直线的方程为：，或
4(★★) 两条平行线分别过点，，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当与平行线垂直时，为平行线之间的距离的最大值，
．
则之间距离的取值范围是(0，]．
5(★) 已知直线经过点，且原点到它的距离为，则直线的方程为 ．
或
【解析】当直线斜率不存在时直线方程为，满足原点到它的距离为，
当斜率存在时，设直线为，变形为
，所以直线方程为
6(★★) 已知点在直线：上，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】的几何意义是点到点的距离，又点在直线上，
的最小值为点到直线的距离，
又，
，
7(★★) 若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为 ．
【答案】
【解析】由两平行线间的距离为，
直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，
可得直线和两平行线的夹角为90°．
由于两条平行线的倾斜角为，故直线的倾斜角为，
8(★★) 已知实数成等差数列，则点到直线的最大距离是 ．
【答案】
【解析】由成等差数列，得，所以；
则点到直线的距离是
，
由，即，
所以．当且仅当时取等号，
所以，
即点到直线的最大距离是．
9(★★) 平面直角坐标系内，动点到直线和：的距离之和是，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】设动点到直线：的距离为，到直线：的距离为，
平面直角坐标系内，动点到直线和：的距离之和是，
，
，
，
，
直线：和：垂直且过原点，
，
的最小值是．
10(★★★) 在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点．若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ．
或
【解析】设，
则．
令
，
令．
该函数对称轴
①时，递增，
解得或舍)
②时，
解得或舍)．
综上，的取值为或．
11(★★★) 已知点分别在直线：与直线：上，且，点A，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由平行线距离公式得：，
设，则，
所以
，
设点，如下图：
则有：
即当三点共线时等号成立)，
综上，．
