直线的交点与距离
1两条直线的交点
设两条直线的方程是,
两条直线的交点坐标就是方程组的解.
(1) 若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标;
(2) 若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;
(3) 若方程组有无数个解,则两条直线重合.
2几种距离
(1) 两点距离公式
平面上的两点间的距离公式.
(2) 点到直线的距离公式
点到直线的距离.
(3) 两平行直线间的距离
两条平行线与间的距离.
【题型一】 直线交点问题
【典题1】 若关于的方程组有无穷多组解,则的值为 .
【典题2】 已知直线和相交,且交点在第二象限,则实数的取值范围为 .
【典题3】求过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【典题4】 若,直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 .
巩固练习
1(★) 曲线与的交点的情况是( )
A.最多有两个交点 B.两个交点
C.一个交点 D.无交点
2(★) 关于的二元一次方程组无解,则 .
3(★) 若三条直线,和交于一点,则的值为 .
4(★★) 直线与直线的交点在第四象限,则实数的取值范围为 .
5 (★★★) 在平面直角坐标系中,已知点,点,点在线段的延长线上.设直线与直线及轴围成的三角形面积为,则的最小值为 .
【题型二】 距离问题
情况1 两点间的距离
【典题1】 在平面直角坐标系内,到点,),,的距离之和最小的点的坐标是 .
【典题2】 设,的最小值为_______.
【典题3】 已知,动直线:过定点,动直线:过定点,若与交于点异于点,则的最大值为 .
【典题4】已知点,对于直线:的任意一点,都有,则实数的取值范围是 .
情况2 点到直线的距离
【典题1】 已知曲线:和直线:,点在曲线上,点在直线上,则的最小值是 .
【典题2】 已知直线方程为.那为何值时,点到直线的距离最大,最大值为多少?
【典题3】 设直线:,:其中实数满足.
证明:直线与相交;
试用解析几何的方法证明:直线与的交点到原点距离为定值;
设原点到与的距离分别为和,求的最大值.
情况3 两平行线间的距离
【典题1】 若平面内两条平行线:,:间的距离为,则实数 .
【典题2】 正方形一条边所在方程为,另一边所在直线方程为,
求正方形中心所在的直线方程;
设正方形中心,当正方形仅有两个顶点在第一象限时,求的取值范围.
巩固练习
1(★) 已知的顶点为,,,则边上的中线长为 .
2(★) 点到直线的距离的取值范围为 .
3(★) 到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是 .
4(★★) 两条平行线分别过点,,它们分别绕旋转,但始终保持平行,则之间距离的取值范围是 .
5(★) 已知直线经过点,且原点到它的距离为,则直线的方程为 .
6(★★) 已知点在直线:上,则的最小值为 .
7(★★) 若直线被两平行线:与:所截得的线段的长为,则直线的倾斜角的大小为 .
8(★★) 已知实数成等差数列,则点到直线的最大距离是 .
9(★★) 平面直角坐标系内,动点到直线和:的距离之和是,则的最小值是 .
10(★★★) 在平面直角坐标系中,设定点,是函数图象上一动点.若点,之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为 .
11(★★★) 已知点分别在直线:与直线:上,且,点A,,则的最小值为 .直线的交点与距离
1两条直线的交点
设两条直线的方程是,
两条直线的交点坐标就是方程组的解.
(1) 若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标;
(2) 若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;
(3) 若方程组有无数个解,则两条直线重合.
2几种距离
(1) 两点距离公式
平面上的两点间的距离公式.
(2) 点到直线的距离公式
点到直线的距离.
(3) 两平行直线间的距离
两条平行线与间的距离.
【题型一】 直线交点问题
【典题1】 若关于的方程组有无穷多组解,则的值为 .
【解析】关于的方程组有无穷多组解,
则直线和直线重合,
故,,所以.
【典题2】 已知直线和相交,且交点在第二象限,则实数的取值范围为 .
【解析】联立方程,解得,(由于两直线相交,故)
因为交点在第二象限,所以,解得,
故实数的取值范围为.
【典题3】求过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【解析】 方法1 (求出交点,再用截距式求解)
由得交点坐标,
由于直线在两坐标轴上截距相等,(截距相等要注意是否为)
当截距为,此时直线方程为,代入点得,
即所求直线方程为.
当截距不等于,设直线方程为,代入点得,
此时所求直线方程为,
综上所述,所求直线方程为或.
方法2 设所求直线方程为,
当直线过原点时,则,则,
此时所求直线方程为.
当直线不过原点时,令,解得,令,解得,
由题意得,解得,此时所求直线方程为 ,
中不包括直线,而它显然不满足题意,
综上所述,所求直线方程为或.
【点拨】本题中方法2采取了直线系方程的方法.
过两条已知直线和交点的直线系方程
(这个直线系下不包括直线,解题时注意检验是否满足题意)
【典题4】 若,直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 .
【解析】(确定所求的四边形面积,要四边形的图象,即了解两条直线与坐标轴的交点与两直线的交点)
由得,即两直线的交点为定点,
而直线:,与轴的交点,
直线:与轴的交点,与轴的交点,
(由,很容易确定各点的位置)
如图所示,
,
,,
则,
故时,所求面积的取值范围是.
【点拨】
① 根据题意画出正确的图象是正确求解的基础,对于含参的直线,要注意它是否存在定点、斜率的正负、与轴交点的位置等.
② 而定点如何确定,如直线:变式为易得过定点.
巩固练习
1(★) 曲线与的交点的情况是( )
A.最多有两个交点 B.两个交点
C.一个交点 D.无交点
【答案】
【解析】联立两条直线方程得:得到,
两边平方得:,
当即时,,
得到方程有两个不相等的实数解,所以曲线与直线有两个交点.
当时,得到,与曲线只有一个交点.
所以曲线与的最多有两个交点.
2(★) 关于的二元一次方程组无解,则 .
【答案】
【解析】时,方程组化为:,无解,舍去.
时,两条直线平行时,可得:,无解.
综上可得:.
3(★) 若三条直线,和交于一点,则的值为 .
【答案】
【解析】依题意,,解得,
两直线和的交点坐标为.
直线,和交于一点,
,.
4(★★) 直线与直线的交点在第四象限,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得,解得,,
且,,
5 (★★★) 在平面直角坐标系中,已知点,点,点在线段的延长线上.设直线与直线及轴围成的三角形面积为,则的最小值为 .
【答案】
【解析】设与轴交点的横坐标为,则:,直线:,
由,所以
,当且仅当,取等号,
故答案为:.
【题型二】 距离问题
情况1 两点间的距离
【典题1】 在平面直角坐标系内,到点,),,的距离之和最小的点的坐标是 .
【解析】如图,设平面直角坐标系中任一点,
到点,,,的距离之和为:
,
故四边形对角线的交点即为所求距离之和最小的点.
,,,,
的方程分别为:,,
即,.
解方程组得.
【点拨】本题是从几何方法入手,利用“一点到两定点距离之和最小值为两定点距离”的三点共线最值模型求解;若设,再利用两点距离公式求解,就很麻烦了!
【典题2】 设,的最小值为_______.
【解析】从几何意义看,
+表示点到点和距离的和,
其最小值为和两点间的距离.
【点拨】 本题是函数最值问题,但很巧妙的使用了两点距离公式从而化为几何最值问题.平面上的两点间的距离,若给两点坐标我们用此公式很容易得到两点距离,若给了能够联想到两点距离公式呢?这里就提醒我们在掌握知识的“直用”也要会“逆用”.
【典题3】 已知,动直线:过定点,动直线:过定点,若与交于点异于点,则的最大值为 .
【解析】:可变形为,过定点,
:可变形为,过定点,
方法1 代数法
由可得交点,
则,,
设,,则,(发现这关系是关键)
则,当时取到等号,
即的最大值为,当时取到最值.
方法2 几何法
观察直线斜率可知直线与直线垂直,(发现这一隐含条件是关键)
则有,且,
(相当于方法的,此时题目转化为
“已知,求的最大值”,
想到基本不等式)
由
所以,
即,当且仅当时取等号,
所以的最大值为.
【思考】 体会下两种方法的异同与优劣性,方法中还能转化为函数最值求解么?
【典题4】已知点,对于直线:的任意一点,都有,则实数的取值范围是 .
【解析】根据题意,点在直线:上,设的坐标为,
则有
,
若对于直线:上的任意一点,都有,
则恒成立,
即对于恒成立,
则有,即,
解可得或,
即的取值范围为,
【点拨】本题采取设元的方法,把转化为恒成立问题处理.这是典型的代数方法,又是否存在几何的思路呢?
情况2 点到直线的距离
【典题1】 已知曲线:和直线:,点在曲线上,点在直线上,则的最小值是 .
【解析】设点,则,取到最小值时是点到直线的距离,
点到直线的距离为,
,
的最小值是.
【典题2】 已知直线方程为.那为何值时,点到直线的距离最大,最大值为多少?
【解析】 方法一 函数法
点到直线的距离,
则
令,则,
由对勾函数易得当时取到等号,,
则或
故当,即时,取到最大值,即.
方法二 几何法
直线化为.
由,得 ,
直线必过定点.
当点到直线的距离最大时,垂直于已知的直线,
即点与定点的连线就是所求最大值,
此时直线与直线垂直,
,,解得,
此时,点到直线的最大距离是.
综上所述,时,点到直线的距离最大,最大值为.
【点拨】体会下两种方法的优劣性.
【典题3】 设直线:,:其中实数满足.
证明:直线与相交;
试用解析几何的方法证明:直线与的交点到原点距离为定值;
设原点到与的距离分别为和,求的最大值.
【解析】证明:(1) (只需证明)
反证法:假设与不相交,(若从正面入手较难,可考虑“反证法”)
则与平行,有,
代入,得,
这与为实数的事实相矛盾,,故与相交.
由知,由方程组
解得交点的坐标为,
而.
即与的交点到原点距离为.
(从函数的角度思考,遇到二元,要不基本不等式,要不消元)
(遇到根号,基本思路是考虑平方,换元)
(遇到形式,利用分离常数法、基本不等式)
,
当即时,的最大值是.
【点拨】对于一些常见的式子(或模型)的处理手段要掌握好,这是基本功.
情况3 两平行线间的距离
【典题1】 若平面内两条平行线:,:间的距离为,则实数 .
【解析】平面内两条平行线:,:,
,或.
当时,两条平行直线即 :,:,
它们之间的距离为,不满足条件.
当时,两条平行直线即:,:,
它们之间的距离为,满足条件,
故实数.
【点拨】用两平行直线距离公式时,要确定前的系数一致后才能使用.
【典题2】 正方形一条边所在方程为,另一边所在直线方程为
,
求正方形中心所在的直线方程;
设正方形中心,当正方形仅有两个顶点在第一象限时,求的取值范围.
【解析】 由于正方形中心所在直线平行于直线,
设中心所在直线为,
由平行线间的距离公式得,解得.
则正方形中心所在的直线方程为;
正方形的边长即为平行直线与间的距离,
设正方形所在直线方程为,(用到了正方形内角是直角的性质)
由于中心到的距离均等于,(相当用到了正方形四边相等的性质)
那么,解得 ①,
又因为在直线上,那么,即 ②,
把②代入①得 ③,
联立方程,解得,
由于正方形只有两个点在第一象限,
那么,就是,解得 ④,
把③代入④得到,解得.
故的取值范围为.
【点拨】结合图象,充分利用图象的性质得到变量的限制要求,从而求出变量范围.
巩固练习
1(★) 已知的顶点为,,,则边上的中线长为 .
【答案】
【解析】根据题意,设的中点为,
的顶点为,
则,,
2(★) 点到直线的距离的取值范围为 .
【答案】
【解析】记为点到直线的距离,
即:,其中;
当变化时,的最大值为,的最小值为,
3(★) 到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是 .
【答案】 或
【解析】由平行关系可设所求直线的方程为,
由平行线间的距离公式可得,
解得,或
所求直线的方程为:,或
4(★★) 两条平行线分别过点,,它们分别绕旋转,但始终保持平行,则之间距离的取值范围是 .
【答案】
【解析】当与平行线垂直时,为平行线之间的距离的最大值,
.
则之间距离的取值范围是(0,].
5(★) 已知直线经过点,且原点到它的距离为,则直线的方程为 .
或
【解析】当直线斜率不存在时直线方程为,满足原点到它的距离为,
当斜率存在时,设直线为,变形为
,所以直线方程为
6(★★) 已知点在直线:上,则的最小值为 .
【答案】
【解析】的几何意义是点到点的距离,又点在直线上,
的最小值为点到直线的距离,
又,
,
7(★★) 若直线被两平行线:与:所截得的线段的长为,则直线的倾斜角的大小为 .
【答案】
【解析】由两平行线间的距离为,
直线被两平行线:与:所截得的线段的长为,
可得直线和两平行线的夹角为90°.
由于两条平行线的倾斜角为,故直线的倾斜角为,
8(★★) 已知实数成等差数列,则点到直线的最大距离是 .
【答案】
【解析】由成等差数列,得,所以;
则点到直线的距离是
,
由,即,
所以.当且仅当时取等号,
所以,
即点到直线的最大距离是.
9(★★) 平面直角坐标系内,动点到直线和:的距离之和是,则的最小值是 .
【答案】
【解析】设动点到直线:的距离为,到直线:的距离为,
平面直角坐标系内,动点到直线和:的距离之和是,
,
,
,
,
直线:和:垂直且过原点,
,
的最小值是.
10(★★★) 在平面直角坐标系中,设定点,是函数图象上一动点.若点,之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为 .
或
【解析】设,
则.
令
,
令.
该函数对称轴
①时,递增,
解得或舍)
②时,
解得或舍).
综上,的取值为或.
11(★★★) 已知点分别在直线:与直线:上,且,点A,,则的最小值为 .
【答案】
【解析】由平行线距离公式得:,
设,则,
所以
,
设点,如下图:
则有:
即当三点共线时等号成立),
综上,.