直线的位置关系
1两直线的位置关系
重合 且
相交
平行 且
垂直
PS
对于两条不重合的直线，其斜率存在时分别为，
则有或的斜率都不存在.
有或且的斜率不存在或且的斜率不存在.
2 线段的中点坐标公式
若点的坐标分别是则线段中点坐标为.
3 常见的直线系方程
平行于直线的直线系方程；
垂直于于直线的直线系方程；
过两条已知直线和交点的直线系方程
；
(这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意)
4 对称性问题
点关于点的对称
点关于的对称点为；
点关于直线的对称
设点关于直线的对称点为，
则有可求出，从而得到点.
(直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上)
直线关于直线的对称
若已知直线与对称轴相交于点，则与对称的直线过点，再求出直线上一点关于对称轴的对称点，则由点与可求出直线的方程；
若已知直线与对称轴平行，求与已知直线关于对称轴对称的直线，利用直线、到直线的距离相等便可求.(方法其实多样，大致均可转化为点关于直线对称问题)
【题型一】 直线的位置关系的判断
【典题1】 已知：，：，分别求的值，使得和：(1)垂直；(2)平行；(3)重合；(4)相交．
【典题2】 顺次连接，所组成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
【典题3】 已知，直线：，：，与相交于点，交轴于点，交轴于点
(1)证明：；
(2)用表示四边形的面积，并求出的最大值.
巩固练习
1(★) 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题
若，则斜率； 若斜率，则；
若，则倾斜角；若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是 .
2(★) 已知直线，与平行，则的值是 .
3(★) 三条直线构成一个三角形，
则的取值范围是 .
4(★) 已知直线：与：互相垂直，其垂足为，
则的值为 .
5(★) 直线过点且与点的距离最远，那么的方程为 .
6(★★) [多选题] 已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
7(★★★) 在中，已知是边上一点，边所在直线的方程分别为．
若，求直线的方程；
若，求直线在轴上的截距．
【题型二】对称问题
【典题1】 已知直线是中∠的平分线所在的直线，若点的坐标分别是，，则点的坐标为 .
【典题2】 如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为 .
【典题3】 已知为坐标原点，倾斜角为的直线与轴的正半轴分别相交于点，的面积为．
求直线的方程；
直线，点在上，求的最小值．
巩固练习
1(★) 原点关于的对称点的坐标为 ．
2(★) 已知点，则线段的垂直平分线的方程是 ．
3(★) 入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是 ．
4(★) 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，
∠的平分线所在直线方程为，则直线的方程为 ．
5(★★) 已知，从点射出的光线经x轴反射到时直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为 ．
6(★★)已知直线经过点，斜率为
若的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；
若，一条光线从点出发，遇到直线反射，反射光线遇到轴再次放射回点，求光线所经过的路程．
7(★★) 在直线：上求一点，使得：
到和的距离之差最大；
到和的距离之和最小．直线的位置关系
1两直线的位置关系
重合 且
相交
平行 且
垂直
PS
对于两条不重合的直线，其斜率存在时分别为，
则有或的斜率都不存在.
有或且的斜率不存在或且的斜率不存在.
2 线段的中点坐标公式
若点的坐标分别是则线段中点坐标为.
3 常见的直线系方程
平行于直线的直线系方程；
垂直于于直线的直线系方程；
过两条已知直线和交点的直线系方程
；
(这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意)
4 对称性问题
点关于点的对称
点关于的对称点为；
点关于直线的对称
设点关于直线的对称点为，
则有可求出，从而得到点.
(直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上)
直线关于直线的对称
若已知直线与对称轴相交于点，则与对称的直线过点，再求出直线上一点关于对称轴的对称点，则由点与可求出直线的方程；
若已知直线与对称轴平行，求与已知直线关于对称轴对称的直线，利用直线、到直线的距离相等便可求.(方法其实多样，大致均可转化为点关于直线对称问题)
【题型一】 直线的位置关系的判断
【典题1】 已知：，：，分别求的值，使得和：(1)垂直；(2)平行；(3)重合；(4)相交．
【解析】若和垂直，
方法1 把直线化为斜截式，由斜率求解
当时，，，显然不满足题意；(注意斜率不存在的情况)
当时，，，则，解得；
方法2 从一般式来看，可得，；
若和平行，则， (也可如(1)化为斜截式求解)
解得，
若和重合，则，，
若和相交，则由可知且.
【点拨】判定直线的位置，有斜截式和一般式两种角度；由斜截式判定时，要注意直线斜率是否存在；由一般式判定时，切记不要死记结论.
【典题2】 顺次连接，所组成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
【解析】(要判断四边形形状，需要判断各边的位置关系，可从直线斜率入手)
的斜率为，的斜率为，
则，故 ；
由的斜率为得，则；
由的斜率为得，则与不平行，
故四边形为直角梯形，故选．
【典题3】 已知，直线：，：，与相交于点，交轴于点，交轴于点
(1)证明：；
(2)用表示四边形的面积，并求出的最大值.
【解析】(1)当时，直线：，：，显然有；
(确定是否一定存在斜率)
当时，与的斜率分别为，，斜率之积，故．
综上，.
由题意知，，，
由与相的方程联立方程组，
解得点，
因，故点在第一象限，
(注意这点，否则图不准确，导致四边形判断出错)
则，
，
由可知，
，
，
故时，有最大值为．
【点拨】谨记，成立的前提是直线斜率存在，若不确定要分类讨论.
巩固练习
1(★) 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题
若，则斜率； 若斜率，则；
若，则倾斜角；若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是 .
【答案】
【解析】由于斜率都存在，若，则，此命题正确；
因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；
因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；
因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；
所以正确的命题个数是．
2(★) 已知直线，与平行，则的值是 .
【答案】 或
【解析】当时，两直线的斜率都不存在，(注意是否为，直线的斜率不一定存在的.)
它们的方程分别是，，显然两直线是平行的．
当时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，
由，解得：．综上，或.
3(★) 三条直线构成一个三角形，
则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得，由得，
由得，
若(1，1)在上，则．
故若能构成一个三角形，则且．
4(★) 已知直线：与：互相垂直，其垂足为，
则的值为 .
【答案】
【解析】直线与互相垂直，
，，
直线即 ，
垂足代入得，，．
把代入，可得 ，
.
5(★) 直线过点且与点的距离最远，那么的方程为 .
【答案】
【解析】直线过点且与点的距离最远，
直线的斜率为：，
直线的方程为，即 .
6(★★) [多选题] 已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，
等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，
，解得或，
点的坐标为或．
故选：
7(★★★) 在中，已知是边上一点，边所在直线的方程分别为．
若，求直线的方程；
若，求直线在轴上的截距．
【答案】(1) (2)
【解析】联立方程，解得，
故点，又，所以，
因为，所以，
又为边上的一点，
所以直线的方程为，即；
因为，所以点为的中点，
设点，则有，，
点在直线上，点在直线上，且，
所以有，
解得，
故点，
所以直线的方程为，即，
令，解得，
故直线在轴上的截距为．
【题型二】对称问题
【典题1】 已知直线是中∠的平分线所在的直线，若点的坐标分别是，，则点的坐标为 .
【解析】(直线是角平分线，意味直线与关于对称)
设关于直线的对称点为，
则 ，解得，即．
(这是点关于直线对称的问题，理解到直线是的垂直平分线易得式)
直线方程为，
化为．(点在直线上)
联立，解得，可得．
(对称轴与直线的交点就是点)
【点拨】建议通过画图去理解它们之间的关系，在图中你能更容易发现一些隐含信息.
【典题2】 如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为 .
【解析】由题意知直线的方程为，
设光线分别射在上的处，
(本题就是求直线方程，只要求出点便可)
由于光线从点经两次反射后又回到点，
根据反射规律，则∠∠，∠∠．
(反射问题，当然想到入射角相等，数学上是对称问题)
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，
则∠∠∠，∠∠∠，
共线，(通过平几知识得到四点共线)
易得点关于轴的对称点，
∠，
，的横坐标为，
由对称性可知，可得的纵坐标为，
，
(求的坐标常规方法是点关于直线对称的套路，但有时通过细致的观察，不走寻常路更容易得到你想要的，要善于思考、观察)
直线方程，即，
联立，得，，则，
直线：，即光线所在的直线方程为．
【点拨】反射问题的本质还是对称问题，平时处理一类问题中在掌握通法的同时也要注意“巧法”，根据题目的特殊性多思考与观察！
【典题3】 已知为坐标原点，倾斜角为的直线与轴的正半轴分别相交于点，
的面积为．
求直线的方程；
直线，点在上，求的最小值．
【解析】由题意可得：直线的斜率，
设直线的方程为：．
可得直线与坐标轴的正半轴交点为，其中．
，解得，
直线的方程为．
由可得，，
(求的最小值是“将军饮马”问题，则要求点或关于直线的对称点)
设点关于直线的对称点，
则，解得，
．
，
当三点共线时，取得最小值．
．
(对于形如式子的化简也是运算基本功)
【点拨】在解析几何中最值问题也是常见的题型，你试试设点用函数的方法求解，感受下与本题的几何法比较.我们最好熟悉更多的模型，比如“将军饮马”，它在本题利用点关于直线对称处理了！后面我们在圆的方程、圆锥曲线中也会有.
巩固练习
1(★) 原点关于的对称点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设原点关于的对称点的坐标为，
则，，联立解得．
要求的点()．
2(★) 已知点，则线段的垂直平分线的方程是 ．
【答案】
【解析】设为线段的垂直平分线上的任意一点，
则，
，化为．
3(★) 入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是 ．
【解析】在入射光线上取点，则关于的对称点在反射光线上，
代入验证，通过排除法，满足．
4(★) 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，
∠的平分线所在直线方程为，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，点在角平分线上，可设点的坐标是，
则的中点，在直线上，，
解得：，故点．
设关于的对称点为，则有 ，，
即
则由在直线上，可得的方程为 ，
即，即，
5(★★) 已知，从点射出的光线经x轴反射到时直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为 ．
【答案】
【解析】直线的方程为：
点关于轴的对称点，
设点关于直线的对称点，
则，，解得，．
，
光线所经过的路程．
6(★★)已知直线经过点，斜率为
若的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；
若，一条光线从点出发，遇到直线反射，反射光线遇到轴再次放射回点，求光线所经过的路程．
【答案】 (1) 或 (2)
【解析】若直线的纵、横截距为，可得，
直线的方程为；
若截距不为，由题意设直线方程是：，
代入得：，解得：，
故为：，
则直线的方程为或；
时，的方程是：，
即，
关于轴的对称点为，
关于直线的对称点为，
由解得，
即有，
由如图可得光线所经过的路程为
．
7(★★) 在直线：上求一点，使得：
到和的距离之差最大；
到和的距离之和最小．
【答案】 (1) (2)
【解析】到和的距离之差最大
显然位于直线两侧，
作关于直线的对称点，连接，
则 所在直线与直线交点即为，
此时，的差值最大，最大值就是，
设点关于对称点，
则，
得，
的直线方程为解方程
与可得是距离之差最大的点．
到和的距离之和最小
显然，位于直线同侧
作点关于直线对称点，连接
则与直线的交点就是点
此时，之和最小，最小值为
设关于的对称点为，
可得，，
求出的坐标为，．
所在直线的方程为．和交点的坐标为．
点的坐标为
