直线的倾斜角与斜率、直线的方程
知识点1 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
定义
当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
特别地，当直线与轴平行或重合时，规定.
范围
与轴垂直时，.
直线的斜率
定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作.
当直线与轴平行或重合时，，
当直线与轴垂直时，不存在.
倾斜角与斜率之间的关系
，，
如左图，当时，是递增的；
右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而；
如左图，当时，也是递增的；
右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，
其中，而.
(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大)
斜率公式
经过两点的直线的斜率公式是
使用斜率公式的时候要注意的前提条件.
(4)求斜率的方法
已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；
已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率.
(5) 利用斜率证明三点共线的方法
已知，
若 或，则有三点共线.
知识点 直线的方程
1 直线方程的几种形式
名称 方程的形式 已知条件 局限性
点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线
斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线
两点式 经过两点
且 不包括垂直于轴和轴的直线
截距式 是直线在轴上的非零截距
是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或原点的直线
一般式 为系数 无限制，可表示任何
位置的直线
2 易错点
(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.
(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.
(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.
【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系
【典题1】已知直线过两点且倾斜角为，则的值为 .
【解析】因直线的倾斜角为，则其斜率，
又由，，
则的斜率，
则有．
【点拨】求斜率有两种方法:与斜率公式.
【典题2】直线的倾斜角的取值范围是 .
【解析】
(直线一般式化为斜截式可知斜率，注意斜率是否存在)
若，则直线方程为，即倾斜角；
若，则直线方程为，即，
， 或，
即或，解得，(结合图象可求)
综上可得.
【典题3】设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围为 .
【解析】如图所示，设直线与线段交于点，
当轴时直线与线段交于点，
当点在上运动时，斜率满足，
当点在上运动时，，
即 或 ，或，
即直线的斜率的取值范围是．
【点拨】
① 注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法，结合图象思考；
② 注意到直线与轴垂直的临界处.
巩固练习
1(★) 下列叙述正确的是( )
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
【答案】
【解析】平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故错误．
由于直线倾斜角的取值范围是，故正确．
若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为，故正确．
与x轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，故正确，
故选：．
2 (★) 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为 .
【答案】
【解析】经过两点，的直线的斜率为=．
又直线的倾斜角为，，即．故选：．
3 (★★) 已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为 .
【答案】
【解析】设的倾斜角，的倾斜角，
则或，，
当时，，
当时，．
4(★★) 已知，则直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图所示，
由，，
可得斜率，，
因为直线与线段相交，
所以直线的倾斜角的取值范围是．
5(★★) 直线经过点，，则直线倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】直线l经过点，
，
，，
则，
设直线的倾斜角为，则，
得．
6(★★★) 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】点，过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
的斜率为，的斜率为，
直线的斜率或，
故选：
7(★★★) 在线段上运动，已知，则的取值范围是 .
【答案】 [，]
【解析】如图：
表示线段上的点与连线的斜率，，，
则的取值范围是[，]．
【题型二】求直线方程
【典题1】根据所给条件求直线方程
直线过点，倾斜角的正弦值为；
直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为；
直线过点，.
【解析】 (1) ，，
则直线方程为，(已知斜率与一点，采取点斜式)
即或.
(2) (轴上的截距都涉及到，优先考虑截距式)
依题意得，直线的横截距、纵截距均不为，
可设直线方程为，
代入点，可得，解得或，
所以所求直线方程为或，
即所求直线方程为或.
(3) (已知直线过两点，可先求出斜率再用点斜式)
直线斜率，
则所求直线方程为，整理得
【点拨】
① 求直线方程的时，要注意各种形式的限制条件；
② 往往可以多种方法求解，注意最优解.
【典题2】 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别以，为边向外作正方形与，则点的坐标为 ，直线的一般式方程为 ．
【解析】(求点坐标相当求点到轴距离，用几何知识点求解；
再求出点便可求直线方程)
分别过作轴的垂线，垂足分别为，
四边形为正方形，
，可得，，
，，
，，可得，
由此可得坐标为，同理得到，
直线的斜率为，
可得直线的方程为，化简得．
【点拨】根据题意，可知点是确定的，求出两点坐标再求直线方程就不难了.本题利用平几知识点求出点的坐标.
巩固练习
1(★) 【多选题】下列说法中，正确的有( )
A．过点且在轴截距相等的直线方程为
B．直线在y轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为
D．过点并且倾斜角为的直线方程为
【答案】
【解析】过点且在轴截距相等的直线方程为，或者，故错误；
直线在轴上的截距为，故正确；
由于直线 的斜率为，故它的倾斜角为，故错误；
过点并且倾斜角为的直线方程为，故正确，
故选：．
2(★)【多选题】下列有关直线的说法中不正确的是( )
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
【答案】
【解析】当时，直线的方程可变为，其斜率为，过定点，
当时，直线的方程变为，其斜率不存在，过点，
故不正确，正确，
将点代入直线方程得，
故只有当时直线才会过点，即不正确，
故选：．
3(★) 已知直线在两个坐标轴上截距之和为，则实数的值为 .
【答案】
【解析】令，可得，令，可得，
∵直线在两个坐标轴上截距之和为，
，，
4 (★★)若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条.
【答案】
【解析】设直线的截距式为，
∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
∴，解得，或，或
直线的条数为．
5 (★★) 已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是 .
【答案】
【解析】如图所示：，=－2，．
边所在的直线方程是，即．
【题型三】直线方程的综合运用
【典题1】设直线：．
求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
设直线与轴、轴的正半轴交于点，求当点为中的定点)取得最小值时直线的方程．
【解析】
由，解得，则定点为．
(视为参数，过定点的意思是不管取什么值，方程，故先把提取出来，满足这一形式即可，故)
(截距相等，有可能两个截距均为0，故要分类讨论)
当直线过原点时，则此时直线的方程为．
当直线不过原点时，则，解得，
所求直线为．
综上，直线方程为或．
设，，
方法1 则直线的方程可设为，
又直线过点则，
(利用数量积
把“两线段乘积“变成”向量坐标“处理简单多了)
(基本不等式巧法)
，
当且仅当且，即时等号成立，
此时直线方程为．
方法2 设直线的倾斜角为，由已知可知，
如图，，，
(通过图象观察引入变量表示)
则，
，
显然，即时，取到最小值，
此时直线方程为．
【点拨】处理线段问题还可以用两点距离公式，而本题中，再用消元法处理，计算量很大.
【典题2】如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中部分内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成．
求直线的斜率的取值范围；
若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程；
如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值．
【解析】 (根据观察图象易得，但也可以设直线的方程从而求出点的坐标，从而由点的限制求出的范围)
依题意，得的方程为，即，
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，
联立，得，
所以，解得．
所以的取值范围为．
(得到的坐标，便于求解第二、三问)
若，可得，解得，
所以直线的方程为，
整理得．
在中，由知，
，
设，
则，
因为在[，]是单调递增，(利用对勾函数的性质易得)
所以当时，，
即当，即时，，
当时，，
即当，即时，，
所以时 ；时 ．
【点拨】
① 本题完成第一、二问，有更简便的方法，但若考虑到第三问，采取了求点坐标的方法，故有时做题要统筹到完成的整道题目，在应试中采取综合时间、得分多方面的最优解.
② 当然本题第三问也有可能还有其他的解法，比如几何法，
如图，设过点的直线与线段、轴分别交于，
由于点，易证，同理可得，又因为，
所以，故，即当直线越靠近，越大；
故时 ；时 .
③ 处理最值问题常见的是几何法(通过观察图象利用几何特点与性质求解)、代数法(引入变量，把所求量的最值问题转化为函数的最值问题).
巩固练习
1(★★) 已知直线的方程为：．
求证：不论为何值，直线必过定点；
过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】 (1) (2)
【解析】(1)证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
解：设直线的方程为．
令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
2(★★★) 已知直线经过点．
若直线在轴、轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点．当取得最小值时，求直线的方程．
【答案】 (1) 或 (2)
【解析】直线经过点，直线在轴、轴上的截距互为相反数，若截距不为，
设的方程为 ，把点代入可得 ，求得，
的方程为 ．
若截距为，则的斜率为，直线的方程为，即．
综上，直线l的方程为 或．
由题意可得，直线的斜率存在，且，设直线的方程为，
则，
，
当且仅当时，等号成立，即取得最小值，
此时，直线的方程为，即．
3(★★★) 如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点．
(1)当线段的中点为时，求的方程；
(2)当线段的中点在直线上时，求的方程．
【答案】 (1) (2)
【解析】(1)由于射线与轴正半轴的夹角分别为和，
射线：．：．
设，的中点为点，
由中点坐标公式求得，．
点坐标，点坐标．
：．
的中点在直线上，
，即，
，
：．
4 (★★★) 已知直线：．
证明：直线过定点；
若直线不经过第四象限，求的取值范围；
若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程．
【答案】 (1) (2) (3)
【解析】证明：由，得，
联立，解得，
直线：过定点；
解：由，得，
要使直线不经过第四象限，则，解得．
的取值范围是；
解：如图，由题意可知，，
在中，取，得，取，得，
,
．
当且仅当，即时上式“=”成立．
的最小值为，此时的直线方程为，即．
5 (★★★) 在直角坐标系中，已知射线：，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点．
当的中点为时，求直线的方程；求的最小值．
【答案】 (1) (2)
【解析】由题意，设，且；
当的中点为时，有，
解得，
，
直线的方程为，
化为一般式为；
当不存在时，易得，则；
当存在时，设直线的方程为：．
直线与相交：可得，，
直线与轴正半轴相交于，可得
那么：
(此处用数量积处理简单些)
．
令，可得，
当时，由于，的最小值为：；当且仅当时取等号．即．
当时，由于，的最小值为：；
当且仅当时取等号．即．
，,
故的最小值为：.直线的倾斜角与斜率、直线的方程
知识点1 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
定义
当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
特别地，当直线与轴平行或重合时，规定.
范围
与轴垂直时，.
直线的斜率
定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作.
当直线与轴平行或重合时，，
当直线与轴垂直时，不存在.
倾斜角与斜率之间的关系
，，
如左图，当时，是递增的；
右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而；
如左图，当时，也是递增的；
右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，
其中，而.
(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大)
斜率公式
经过两点的直线的斜率公式是
使用斜率公式的时候要注意的前提条件.
(4)求斜率的方法
已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；
已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率.
(5) 利用斜率证明三点共线的方法
已知，
若 或，则有三点共线.
知识点 直线的方程
1 直线方程的几种形式
名称 方程的形式 已知条件 局限性
点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线
斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线
两点式 经过两点
且 不包括垂直于轴和轴的直线
截距式 是直线在轴上的非零截距
是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或原点的直线
一般式 为系数 无限制，可表示任何
位置的直线
2 易错点
(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.
(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.
(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.
【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系
【典题1】已知直线过两点且倾斜角为，则的值为 .
【典题2】直线的倾斜角的取值范围是 .
【典题3】设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围为 .
巩固练习
1(★) 下列叙述正确的是( )
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
2 (★) 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为 .
3 (★★) 已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为 .
4(★★) 已知，则直线的倾斜角的取值范围是 .
5(★★) 直线经过点，，则直线倾斜角的取值范围是 .
6(★★★) 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 .
7(★★★) 在线段上运动，已知，则的取值范围是 .
【题型二】求直线方程
【典题1】根据所给条件求直线方程
直线过点，倾斜角的正弦值为；
直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为；
直线过点，.
【典题2】 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别以，为边向外作正方形与，则点的坐标为 ，直线的一般式方程为 ．
巩固练习
1(★) 【多选题】下列说法中，正确的有( )
A．过点且在轴截距相等的直线方程为
B．直线在y轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为
D．过点并且倾斜角为的直线方程为
2(★)【多选题】下列有关直线的说法中不正确的是( )
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
3(★) 已知直线在两个坐标轴上截距之和为，则实数的值为 .
4 (★★)若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条.
5 (★★) 已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是 .
【题型三】直线方程的综合运用
【典题1】设直线：．
求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
设直线与轴、轴的正半轴交于点，求当点为中的定点)取得最小值时直线的方程．
【典题2】 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中部分内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成．
求直线的斜率的取值范围；
若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程；
如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值．
巩固练习
1(★★) 已知直线的方程为：．
求证：不论为何值，直线必过定点；
过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
2(★★★) 已知直线经过点．
若直线在轴、轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点．当取得最小值时，求直线的方程．
3(★★★) 如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点．
(1)当线段的中点为时，求的方程；
(2)当线段的中点在直线上时，求的方程．
4 (★★★) 已知直线：．
证明：直线过定点；
若直线不经过第四象限，求的取值范围；
若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程．
5 (★★★) 在直角坐标系中，已知射线：，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点．
当的中点为时，求直线的方程；求的最小值．
