空间向量的应用--距离问题
利用空间向量法求距离问题
(1)点间的距离
.
(2)点到直线距离
若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，，
则点到直线距离为
PS 公式推导
如图，.
(3)点到平面的距离
若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即.
PS 公式推导
如图，.
(4)直线平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.
(5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.
【题型一】点到点的距离
【典题1】正方体的棱长为，动点在线段上，动点在平面上，且平面．
当点与点重合时，线段的长度为 ；
线段长度的最小值为 ．
巩固练习
1(★) 已知为轴上一点，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为 .
2(★)已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是 .
3(★) 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为 .
4(★) 空间点，，，若，则的最小值为 .
【题型二】点到线的距离
【典题1】 为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为 ．
巩固练习
1(★) 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为 .
2(★) 已知直线过定点，且(0，1，1)为其一个方向向量，则点到直线的距离为 .
3(★★) 已知，，，则点到直线的距离为 .
【题型三】点到面的距离
【典题1】 如图，四棱锥中，底面为菱形，，平面，，，为中点，在棱上，，点到平面的距离为 ．
【典题2】 已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面．
求证：平面．若，，求点到平面的距离．
【典题3】 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．
求证平面；
求二面角夹角的正弦值；
线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
巩固练习
1(★★) 在长方体中，，，则点到平面的距离等于 .
2(★★) 已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则 .
3(★★) 如图，是矩形，平面，，，分别是的中点，求点到平面的距离.
4(★★) 如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
(1)证明：；
(2)当为的中点时，求点到面的距离．
5 (★★★) 已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值.
6 (★★★) 如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，，分别为的中点，．
(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离．
【题型四】线到面的距离
【典题1】 如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知.
求证:平面; 求到平面的距离.
巩固练习
1 (★★) 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到平面的距离；
2 (★★)如图，在正方体中，为的中点．
(Ⅰ)证明：平面AD1E；(Ⅱ)求直线到平面的距离；
【题型五】面到面的距离
【典题1】 正方体的棱长为，则平面与平面的距离为 .
巩固练习
1 (★★★) 直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．
(1)求证：平面∥平面；(2)求平面与平面的距离．空间向量的应用--距离问题
利用空间向量法求距离问题
(1)点间的距离
.
(2)点到直线距离
若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，，
则点到直线距离为
PS 公式推导
如图，.
(3)点到平面的距离
若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即.
PS 公式推导
如图，.
(4)直线平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.
(5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.
【题型一】点到点的距离
【典题1】正方体的棱长为，动点在线段上，动点在平面上，且平面．
当点与点重合时，线段的长度为 ；
线段长度的最小值为 ．
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，当点与重合时，，，，
，，，
平面．
，解得，，
，
线段的长度为．
设，则，，，
，，，
平面．
，解得，，
，
，
当，即是中点时，线段长度取最小值为．
【点拨】
① 线段的长度为，利用空间向量法使得几何问题“代数化”，较几何法更容易处理这动点问题；
② 本题的变化源头是“的位置”，在第二问求长度的最小值，在引入参数中设，较为合理.
巩固练习
1(★) 已知为轴上一点，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】为轴上一点，设，
点到点与点的距离相等，
，解得，
点的坐标为．
2(★)已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是 .
【答案】
【解析】点是平面内的直线上的动点，可设点
由空间两点之间的距离公式，得
令
当时，的最小值为
当时，的最小值为，即两点的最短距离是.
3(★) 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为 .
【答案】
【解析】在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体
，，的中点，
，，中点，
的中点到的中点的距离为：
．
故选：．
4(★) 空间点，，，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】空间点，，，，
是以为球心，为半径的球上的点，
，．
的最小值为：．
【题型二】点到线的距离
【典题1】 为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为 ．
【解析】方法一
矩形中，，，，
过作，交于，连结，
平面，，
又 平面，
，即是点到的距离，
，，
，点到的距离为．
方法二 依题意可知，三线两两垂直，
如图建立空间直角坐标系
，
，
点到的距离为.
【点拨】
① 方法一是几何法，找到点到的距离;方法二是向量法，利用点到直线距离公式 (*)；
② 向量法中的公式(*)有些复杂，不建议直接使用，还不如使用其推导方法
求点到直线的距离
(1) 求出直线的方向向量；
(2) 在直线上找一点，求出其与点的向量；
(3) 求两向量夹角余弦值，；
(4) 求点到的距离，.
巩固练习
1(★) 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为 .
【答案】
【解析】根据题意，得，，
，
；
又，
点到直线l的距离为．
2(★) 已知直线过定点，且(0，1，1)为其一个方向向量，则点到直线的距离为 .
【答案】
【解析】，故||，
，
设直线与直线所成的角为，则|，
故，
点到直线的距离为．
3(★★) 已知，，，则点到直线的距离为 .
【答案】
【解析】，，，
，，
点到直线的距离为：．
【题型三】点到面的距离
【典题1】 如图，四棱锥中，底面为菱形，，平面，，，为中点，在棱上，，点到平面的距离为 ．
【解析】底面为菱形，∠，为中点，，
又平面，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
)，)，
在中，易得，
过点作交于，
， ，
设平面的法向量，
则，取，得(0)，
点到平面的距离为：．
【点拨】
① 求点的坐标，解题中几何法较易求得，这需要审题中注意各量之间的关系；也可以用代数法求得，如下：
设，，
则)，解得，，
，)，
，，解得，；
② 求点到平面的距离的解题步骤
求平面的法向量(0)；
在平面内选一点，求其与点的向量)；
利用公式(向量在法向量上的投影绝对值)求所求距离，.
【典题2】 已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面．
求证：平面．若，，求点到平面的距离．
【解析】连接交于，
是正方形边，的中点，，．
垂直于所在平面，平面
， 平面．
方法一 向量法
建立空间直角坐标系，则，，，
，
设面的法向量，
则且，即且
取时，可得
又向量
则到面的距离.
方法二 等积法
由题意可知，
，
易得
.
方法三 间接法
由题意可知，
到面的距离是到面距离的倍，
在中，点到边的高为，
又平面，
为到面距离，
在中，可得，
又，可得平面，
可得到面的距离等于到面的距离．
【点拨】
求点到平面的距离方法有很多种，
① 直接法：若能确定点到平面的垂线段当然最好了！
② 向量法：若空间直角坐标系较容易建立，各关键点的坐标易求，可考虑向量法；本题中平面，矩形都是有利条件；
③等积法：当相关三棱锥的体积和侧面三角形的面积易求，可考虑等积法；本题中的和均易求;
④ 间接法：若存在过点的直线与平面平行，可考虑能否在直线上找到一点，而它到平面的距离易求些；本题中“求到面的距离”转化为“求到面的距离”；
【典题3】 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．
求证平面；
求二面角夹角的正弦值；
线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】，为的中点，，
侧面底面，侧面底面，
平面．
底面为直角梯形，其中∥，，，
，又平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
平面的法向量，
，，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角夹角为，则，
，
二面角夹角的正弦值为．
设线段上存在，，使得它到平面的距离为，
，
到平面的距离，解得或(舍去)，
，则．
【点拨】立体几何中问到是否“存在”，可利用“假设法”.
巩固练习
1(★★) 在长方体中，，，则点到平面的距离等于 .
【答案】
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到平面的距离：．
2(★★) 已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则 .
【答案】或
【解析】，，
，
，
，
设与平面所成角为，则，
到平面的距离为，
解得或．
3(★★) 如图，是矩形，平面，，，分别是的中点，求点到平面的距离.
【答案】
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
分别是的中点，
设为平面的一个法向量，，
即且,
令,得，
在上的射影长,即点到平面的距离.
4(★★) 如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
(1)证明：；
(2)当为的中点时，求点到面的距离．
【答案】 (1)略 (2)
【解析】解法(一)：
(1)证明：平面，，
(2)设点到面的距离为，在中，，，
故，而．
，
，．
解法(二)：
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
(1)因为，所以．
(2)因为为的中点，则，
从而，，
设平面的法向量为，
则也即，得，从而，
所以点到平面的距离为．
5 (★★★) 已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值.
【答案】
【解析】三棱锥满足，，两两垂直，且，
如图，，，是棱长为的正方体上具有公共顶点的三条棱，
以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
三棱锥外接球就是棱长为的正方体的外接球，
是三棱锥外接球上一动点，
点与重合时，点到平面的距离的最大值，
点到平面的距离的最大值为：．
故选：．
6 (★★★) 如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，，分别为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1) 略 (2) (3)
【解析】(1)证明连接OS．
SA=SC，为的中点
又，
所以平面，
(2)又易得
故可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
分别为的中点
．
设为平面SCM的一个法向量，
则，即
取，则，．
又，
所以点到平面的距离．
【题型四】线到面的距离
【典题1】 如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知.
求证:平面; 求到平面的距离.
【解析】在底面上的射影为的中点，平面平面，
且平面平面，平面，
，
且，平面．
如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
平面，，四边形是菱形，
是的中点， ∠，
，，，，
)，，
设平面的法向量，则，
，取，，
(，
到平面的距离．
，平面，平面
平面，
到平面的距离等于到平面的距离.
【点拨】直线到平面的距离问题可转化为点到平面的距离.
巩固练习
1 (★★) 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到平面的距离；
【答案】
【解析】(1)以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，．
，，，
，．
．
，平面，
点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
，，
取，则，，，
又，
点到平面的距离为．
2 (★★)如图，在正方体中，为的中点．
(Ⅰ)证明：平面AD1E；(Ⅱ)求直线到平面的距离；
【答案】 (1) 略 (2)
【解析】(Ⅰ)，，
四边形为平行四边形，
，
面，面，
平面．
解：(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，，，
平面，
直线到平面的距离即为点到平面的距离，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
，
直线到平面的距离为；
【题型五】面到面的距离
【典题1】 正方体的棱长为，则平面与平面的距离为 .
【解析】方法一 连接，与面与面分别交于．
平面，，又，
平面 ，
同理可证，又，面；
同理可证，面．为平面与平面的距离
为正三角形，边长为，三棱锥为正三棱锥，
为的中心，aa
，
同理求出，
又，．
方法二 建立空间直角坐标系如图.
则，，
设为平面的法向量，
则 得
令，则
，，
，
平面∥平面.
平面与平面的距离等于点到平面的距离.
，平面的法向量为，
.
【点拨】
① 本题里，正方体中把体对角线三等分，即，这可作为一个结论记住;
② 面面间的距离问题可转化为点到面的距离.本题中平面∥平面它们间的距离转化为点到平面的距离.
巩固练习
1 (★★★) 直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．
(1)求证：平面∥平面；(2)求平面与平面的距离．
【答案】(1)略 (2)
【解析】方法一
(1)证明：连接
分别为的中点，分别是的中点，
，
平面，平面，
平面，
平行且等于，
是平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
，
平面平面；
(2)解：平面与平面的距离到平面的距离．
中，，，，
由等体积可得，
．
方法二
(1) 如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
，，
又，，
平面平面，
(2) 设平面的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面与平面的距离为．
