空间向量的应用---所成角
1求异面直线所成的角
已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为，
则
PS ① 向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是；
② 与的关系相等或互补；
故，不要漏了“绝对值符号”.
2 求直线和平面所成的角
设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，
则为的余角或的补角的余角，即有.
PS
当时，；当时，；
不管哪种情况，都有.
3求平面与平面的夹角
(1)二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线
，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是.
如图：
(2)平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
(3) 空间向量求平面与平面的夹角
求法：设平面与平面的法向量分别为，
再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或，
则.
【题型一】求异面直线所成的角
【典题1】如图，是三角形所在平面外的一点，，且，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【典题2】 已知正四棱锥底面中心为，，分别为的中点，底面边长为，高为，建立适当的空间直角坐标系，求异面直线与所成角的正切值．
巩固练习
1(★) 如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值为 ．
【题型二】求线面角
【典题1】 如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于 .
【典题2】 在梯形中，，∠，，为的中点，线段与交于点(如图)．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角(如图)．
求证：∥平面；
线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
巩固练习
1 (★★) 如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 .
2(★★★) 四棱柱中，底面是正方形，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
3(★★★) 如图，在四棱锥中，平面，∠∠，，，，分别为线段，上的点(不在端点)．当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由．
【题型三】求二面角
【典题1】 在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则( )
A． B．
C． D．
【典题2】 如图，四棱锥中，侧面底面，∥，，
，，，，分别为，的中点．
求证：∥平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由．
【典题3】 如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，∠，，，为的中点．
求证：∥平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
设为线段上的动点，二面角的平面角的大小为，求线段的长．
巩固练习
1(★★) 在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为( )
A． B． C． D．
2(★★★) 如图．正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为( )
A．是正三棱锥 B．二面角的平面角为
C．直线与直线所成角为 D．直线平面
3(★★★) 如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
证明：∥平面；
若，，，求二面角的平面角的余弦值．
4(★★★★) 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，∠，平面平面，且．
求证：∥平面；
求二面角的大小；
已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．
5(★★★★) 四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，是线段上的动点，是线段的中点．
求证：平面；
若直线与平面所成角为，
求线段的长；②求二面角的余弦值．空间向量的应用---所成角
1求异面直线所成的角
已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为，
则
PS ① 向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是；
② 与的关系相等或互补；
故，不要漏了“绝对值符号”.
2 求直线和平面所成的角
设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，
则为的余角或的补角的余角，即有.
PS
当时，；当时，；
不管哪种情况，都有.
3求平面与平面的夹角
(1)二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线
，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是.
如图：
(2)平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
(3) 空间向量求平面与平面的夹角
求法：设平面与平面的法向量分别为，
再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或，
则.
【题型一】求异面直线所成的角
【典题1】如图，是三角形所在平面外的一点，，且，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【解析】，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，(题中没有确定线段，可设任意长度)
则，，，，
则，，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
【点拨】
向量法求异面直线与所成角的步骤
① 建系求出涉及的四点坐标；
② 求得到；
③ 由公式|得到异面直线与所成角.
【典题2】 已知正四棱锥底面中心为，，分别为的中点，底面边长为，高为，建立适当的空间直角坐标系，求异面直线与所成角的正切值．
【解析】以底面正方形中心为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
)，，)，
，
设向量和成角为，，
，
．
异面直线与所成角的正切值为．
【点拨】向量所成角是个钝角，而异面直线与所成角是锐角，它们之间是互补，所以.
巩固练习
1(★) 如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，
若，则与所成角的余弦值为 ．
直三棱柱，∠，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
点分别是、的中点，设，
则，，，，
，，
设与所成角为，
则，
与所成角的余弦值为．
【题型二】求线面角
【典题1】 如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于 .
三棱椎的底面是等腰直角三角形，
，且，，
可以把三棱椎补成棱长为的正方体，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，．
，，，
设面的法向量为，
．
．
则与面所成角的正弦值等于．
【点拨】
① 本题根据“墙角模型”巧妙的构造一个长方体进而建系；
② 向量法求直线与面所成角的步骤
求直线的方向向量和平面的法向量；
求；
求与面所成角的正弦值.
【典题2】 在梯形中，，∠，，为的中点，线段与交于点(如图)．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角(如图)．
求证：∥平面；
线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：因为在梯形中，，，为的中点，
所以，，所以四边形为平行四边形，
因为线段与交于点，所以为线段的中点，
所以中，
因为平面，平面，
所以平面．
(2)解：平行四边形中，，
所以四边形是菱形，，垂足为，
所以，，
因为平面，平面，
所以是二面角的平面角，
因为二面角为直二面角，
所以，即．
可以如图建立空间直角坐标系，其中，
因为在菱形中，，所以．
所以， ，，，
所以，．
设为平面的法向量，
因为，所以，
取，得，
线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，
设，
因为，，
所以．
因为，
所以，因为，所以．
所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为．
【点拨】
① 本题属于折叠问题，需要通过平几知识点确定各个量之间的关系，明确哪些量在折叠前后是否发生变化；
② 本题第二问已知直线与平面所成角正弦值为，由线面角公式 ，可知，先求出平面的法向量，再求，那关键点在于的位置；
③ 求向量的坐标，最直接的想法是设，这里有两种方法提供
(1) 几何法
由图可知，即.
(2) 代数法
设，则，
，即.
但本题给到的解法，并没求点的坐标，而是先设再由“首尾相接法”得到，这样来得也很简单.
巩固练习
1 (★★) 如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 .
【答案】
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，
，，平面的法向量，
，，解得，
)，
与平面所成的角为，
，
当时，取最大值为．此时，
的最大值为：．
2(★★★) 四棱柱中，底面是正方形，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】 (1) 略 (2)
【解析】(1)证明：如图，取中点为，∠∠，，
、为正三角形，
与，
，
，
平面，
平面，平面平面．
(2)解：以为原点，、、方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，
，
，，
设平面的法向量为，
则，令，得：，
则，
故与平面所成角的正弦值为．
3(★★★) 如图，在四棱锥中，平面，∠∠，，，，分别为线段，上的点(不在端点)．当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由．
【答案】不存在
【解析】假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，
．
则，解得，，，
，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
整理，得，无解，
不存在，使得直线与平面所成角的正弦值为．
【题型三】求二面角
【典题1】 在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则( )
A． B．
C． D．
【解析】由选项可知，角与，与的大小确定，且三棱柱的底面为锐角三角形．
设三棱柱是棱长均为的正三棱柱， (加强条件处理，选择题的作法)
如图，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
直线与直线所成的角为，
，
直线与平面所成的角为，平面的法向量，
，，
设平面的法向量，
由，
取，得)，
，
二面角的平面角为，由于是锐角，
．
，与均为锐角，
结合余弦函数在，]上为减函数，则，
故选：．
【点拨】
① 本题采取了“小题小作”，假设图形是正三棱柱，得到，那可排除，故答案就是；
② 求二面角的步骤
(1) 求出两个平面的法向量：平面的法向量和平面的法向量；
(2) 求出；
(3) 由图确定是锐角还是钝角求出.
【典题2】 如图，四棱锥中，侧面底面，∥，，
，，，，分别为，的中点．
求证：∥平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由．
【解析】(Ⅰ)证明：取中点，连接，，，
即∥，，所以为平行四边形，所以∥，
因为平面， 平面，所以∥平面．
(Ⅱ)解：因为，为的中点，所以，
因为，，所以，，所以，
又因为侧面底面，且它们的交线为，所以平面，
又∥，，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，，
平面的法向量，
，，
设平面的法向量，
则，即令，得．
所以，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
(Ⅲ)解：设，
，，
平面的法向量，
设与平面所成角为，则，
，
解得或(舍)，
又由，
．
【点拨】
本题的难点在于由平几知识点确定垂直关系建立直角坐标系，二面角的求法和线面角的运用按照一般的解题套路来就可以，第三问关于设元的常见方法多消化下！
【典题3】 如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，∠，，，为的中点．
求证：∥平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
设为线段上的动点，二面角的平面角的大小为，求线段的长．
【解析】由题意可知四边形为菱形，为的中点，∠，．
又平面，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
，，．
(Ⅰ)证明：由题意，，
设为平面的法向量．
，令可得．
又．
．
平面，∥平面．
(Ⅱ)可得，平面的法向量为，
．
直线与平面所成角的正弦值为；
(Ⅲ)设，，
，，
设为平面的法向量，
则，令，可得，
又是平面的法向量．
，
又二面角的平面角的大小为，
，解得，
线段的长为．
【点拨】
① 第一问也可用非向量法求解:连接交于，易得是平行四边形，则点是的中点，所以，则∥平面；
② 作立体几何题是否都用“空间向量法”去思考呢？类似本题有问，拿到题目时要把全部内容审完，把个问题作个整体的思考，较容易发现、问用向量法较为容易，而发现第、问均与平面的法向量有关，则第问就开始利用向量法求解；若你觉得第、问你没有思路，选择放弃它们，那第问“非向量法”在思考量和时间上都来得更“实惠”些；
③ 第问中的线面角和第问的二面角均很难确定具体位置，故用空间向量法更容易.
巩固练习
1(★★) 在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为，
则，，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则，
．
平面与平面所成二面角的正弦值为．
故选：．
2(★★★) 如图．正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为( )
A．是正三棱锥 B．二面角的平面角为
C．直线与直线所成角为 D．直线平面
【答案】
【解析】正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，
在中，，，是正三棱锥，故正确；
在中，设OB=1，则，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
，
二面角的平面角为，故错误；
在中，设，则，，，，
，，
，
直线与直线所成角为，故正确；
在中，设，则，，，，，
，，，
，，，，
，直线平面，故正确．
故选：．
3(★★★) 如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
证明：∥平面；
若，，，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)略 (2)
【解析】解：(1)证明：连接，设，连接，
是的中点，为的中点，，
又平面，平面，
平面；
(2)以为坐标原点，分别以，，所在直线
为轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，
设为平面的一个法向量，
则，取，则，
又平面DAE的一个法向量为．
．
二面角为锐二面角，则二面角的平面角的余弦值为．
4(★★★★) 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，∠，平面平面，且．
求证：∥平面；
求二面角的大小；
已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．
【答案】(1) 略 (2) (3)
【解析】证明：(Ⅰ)四边形是正方形，，
四边形是梯形，，，，
平面平面，
平面，平面．
解：(Ⅱ)以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的大小为，由图形得为钝角，
则，
，
二面角的大小为．
(Ⅲ)点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，
设，则，，，，
|，
解得，线段的长为．
5(★★★★) 四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，是线段上的动点，是线段的中点．
求证：平面；
若直线与平面所成角为，
①求线段的长；②求二面角的余弦值．
【答案】 (1)略 (2) ① ②
【解析】(Ⅰ)证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得，，，，，
，．
向量，向量，，
，，
即，，，
所以平面．
(Ⅱ)解：(1)设为平面的法向量，
则，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
向量
直线与平面所成角为，于是有，
所以，得，(舍)
，，线段的长为．
(2)设a，b，c)为平面的法向量，
，
则，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
又为平面的一个法向量，
二面角的余弦值为：．
