空间向量的应用---线面位置关系的证明
1 直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量
若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
(2)平面的法向量
若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量.
(3)平面的法向量的求法(待定系数法)
① 建立适当的坐标系；
② 设平面的法向量为；
③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ；
④ 根据法向量定义建立方程组
⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
2 判定空间中的平行关系
(1)线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即
(2)线面平行
设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，
只需证明，即
(3)面面平行
若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证
3 判定空间的垂直关系
(1)线线垂直:
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
(2)线面垂直
①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即
②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，
若
(3)面面垂直
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，
只需证，即证.
【题型一】线面、面面位置关系的证明
【典题1】 若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定
【解析】
，
平面与平面垂直
故选：．
【典题2】 如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
(1)在三棱柱中，求证：平面；
(2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由．
【解析】，
从而有，
又，
平面．
(2)直线与平面不平行．
理由如下：
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
，
直线与平面不平行．
【点拨】
① 当题中出现多线段长度，注意可利用勾股定理逆定理证明线段垂直的方法；
② 第一问利用线面垂直判定定理便可证明，不需要利用向量法;
③ 第二问用高一线面平行判定定理很难做出来，此时想到向量法;思路如下，
//平面.
④ 利用待定系数法求平面.
【典题3】 如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．
(1) 求证:直线∥平面；
(2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得∥平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．
【解析】证明：在直三棱柱中，
是的中点，
又为的中点
四边形是平行四边形，
，
平面平面，
∥平面．
在直线上找一点，使得∥平面，证明如下：
在直三棱柱中，
又两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，
在线段上，设，则，
则，
)，(，
设平面的法向量，
则，取，得，
∥平面，
，解得，
在直线上存在一点，且，使得∥平面．
【点拨】
① 第一问利用线面平行判定定理易证明；
② 题中线段没有给到具体值，可作假设，便于建系后确定点坐标，同时减少计算量，直棱柱的高与长度没联系，所有只能设.
【典题4】 如图，四棱锥中．为矩形，，且．为上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
【解析】(1)方法一 证明：，且平面．
又
可建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知
,
又
平面；
方法二
，且平面
如图：
，
．
；
平面；
(2)假设存在满足且．
在空间直角坐标系中，，
在线段上 可设
的坐标
在线段上 可设
则．
要使且，则，
可得，
解得 ,．
故存在使且,其中是线段靠近的四等分点，是线段靠近的四等分点.
【点拨】
① 对于高一非向量法与向量法的取舍，若第一问非向量法较容易解答，而第二问很难则第一问用非向量法，第二问用向量法；若第一问用非向量法较难，则建议从第一问就开始利用向量法，比如该题，不用纠结第一问用向量法要建系描点浪费时间，其实不然，因为第二问大多数情况下都使用向量法的；
② 第一问方法二中利用平面几何知识点怎么垂直关系，常见技巧是勾股定理逆定理、相似三角形、三角函数等；
③ 三点共线设元问题：“在线段上，可设中，常用向量共线的方法：，同时要注意变量的取值范围.
巩固练习
1(★) 已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量．若，则 ．
【答案】
【解析】，，可得．
2(★) 已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为 ．
【答案】 或
【解析】，，
，解得或．
3(★★) 如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：∥平面；(2)证明：平面平面．
【证明】(1)证明：在直三棱柱中，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设，
，，，
，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，
平面．
(2)证明：，，
设平面的法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，
，
平面平面．
4 (★★★) 如图，在中，分别是上的点，且∥，将沿折起到的位置，使，如图2．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．
【答案】(1)证明略 (2)不存在
【解析】(1)证明：，，，
平面，
又平面，
又，
平面
(2)解：如图建系，
则，，，，
设线段上存在点，设点坐标为，则
，
设平面法向量为
则
假设平面与平面垂直，则，
，，
不存在线段上存在点，使平面与平面垂直
5 (★★★) 在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，．
求证：⊥平面；
线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．
【答案】(1)证明略 (2)不存在
【解析】(Ⅰ)证明：，∠，
在中，由余弦定理可得，
，．
．
又，，
平面FBC．
(Ⅱ)
线段上不存在点，使平面平面．
证明如下：
因为平面，所以．
因为，所以平面．
所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系．
在等腰梯形中，可得．
设，
所以，．
所以，．
设平面的法向量为，则，
所以，取，得．
假设线段上存在点，设，所以．
设平面的法向量为，则
所以取，得．
要使平面平面，只需，
即 ，此方程无解．
所以线段上不存在点，使平面平面．空间向量的应用---线面位置关系的证明
1 直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量
若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
(2)平面的法向量
若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量.
(3)平面的法向量的求法(待定系数法)
① 建立适当的坐标系；
② 设平面的法向量为；
③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ；
④ 根据法向量定义建立方程组
⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
2 判定空间中的平行关系
(1)线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即
(2)线面平行
设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，
只需证明，即
(3)面面平行
若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证
3 判定空间的垂直关系
(1)线线垂直:
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
(2)线面垂直
①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即
②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，
若
(3)面面垂直
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，
只需证，即证.
【题型一】线面、面面位置关系的证明
【典题1】 若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定
【典题2】 如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
(1)在三棱柱中，求证：平面；
(2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由．
【典题3】 如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．
(1) 求证:直线∥平面；
(2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得∥平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．
【典题4】 如图，四棱锥中．为矩形，，且．为上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
巩固练习
1(★) 已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量．若，则 ．
2(★) 已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为 ．
3(★★) 如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：∥平面；(2)证明：平面平面．
4 (★★★) 如图，在中，分别是上的点，且∥，将沿折起到的位置，使，如图2．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．
5 (★★★) 在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，．
求证：⊥平面；
线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．
