空间向量及其运算的坐标表示
1 空间直角坐标系
(1) 空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(2) 空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标.
2 空间向量的直角坐标运算律
① 若，
则
, ,
，
② 若 ，则.
③ 模长公式
若，则，
④ 夹角公式
，，为钝角.
⑤ 两点间的距离公式:若
则
或
【题型一】空间向量坐标运算
【典题1】 已知：，，，，，求：
(1)；(2)与所成角的余弦值．
【典题2】已知空间四点在同一平面内，则实数 ．
巩固练习
1(★) 空间点，，，若，则的最小值为 。
2(★)已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 。
3(★) 若向量，且共面，则 ．
4(★★) 已知，若四点共面，则实数为 .
【题型二】建立空间坐标系处理几何问题
【典题1】 的三个顶点分别是则边上的高长 ．
【典题2】如图，，原点是的中点，点，点在平面上，且则的长度为 ．
【典题3】 如图，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，为直角，，为的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是 ．
巩固练习
1(★) 如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为 ．
2 (★★) 已知点、，，则中角的大小是 ．
3 (★★) 已知空间三点，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
4 (★★★) 已知长方体中，，空间中存在一动点满足||记，，则( )
A．存在点使得 B．存在点使得
C．对任意的点有 D．对任意的点有
5(★★★) 如图，已知点在正方体的对角线上，∠．设λ则的值为 ．
6(★★★)三棱锥中两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足则和所成角余弦值的取值范围是 ．空间向量及其运算的坐标表示
1 空间直角坐标系
(1) 空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(2) 空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标.
2 空间向量的直角坐标运算律
① 若，
则
, ,
，
② 若 ，则.
③ 模长公式
若，则，
④ 夹角公式
，，为钝角.
⑤ 两点间的距离公式:若
则
或
【题型一】空间向量坐标运算
【典题1】 已知：，，，，，求：
(1)；(2)与所成角的余弦值．
【解析】 (1)，，解得，
故，
又因为，所以，即，解得，
故；
(2)由(1)可得，
设向量与所成的角为，
则．
【典题2】已知空间四点在同一平面内，则实数 ．
空间四点在同一平面内，
，
即，
，解得，，．
巩固练习
1(★) 空间点，，，若，则的最小值为 。
【答案】
【解析】空间点，，，，
是以为球心，为半径的球上的点，
，．
的最小值为：．
2(★)已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】向量的夹角为钝角，
，解得，且，
实数的取值范围为．
3(★) 若向量，且共面，则 ．
【答案】
【解析】向量，且共面，
所以存在两个实数使得；
即，解得；所以．
4(★★) 已知，若四点共面，则实数为 .
【答案】
【解析】四点共面，存在实数，使得，
，解得.
【题型二】建立空间坐标系处理几何问题
【典题1】 的三个顶点分别是则边上的高长 ．
【解析】
方法一 要求高，则只需求点坐标，可采取待定系数法.
设点，
则，，，
由垂足满足的条件
；
，
．
方法二 等积法
(思考：因为三个点确定了，则可求出的面积，继而可求高)
，，，
.
【点拨】 我们利用空间向量的知识也是可以求出几何中常见的量：线段长度(两点距离公式)、角度(数量积)、面积等.
【典题2】如图，，原点是的中点，点，点在平面上，且则的长度为 ．
【解析】点在平面上，点的横坐标为
过点作，
依题意易得，，
即点的竖坐标为纵坐标为，
．
【点拨】
① 在空间坐标系中确定点的坐标是个硬骨头，基本方法是：
(1) 根据题意求出各线段长度，比如；
(2) 确定空间点坐标的意义，比如点的竖坐标与点到平面的距离有关；
(3) 把空间问题平面化；
(4) 留意坐标的正负.
② 两点间的距离公式:若，
则.
【典题3】 如图，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，为直角，，为的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是 ．
【解析】(题中垂直关系较多，较容易建系描出各点坐标，进而数量积易于用某个变量表示，再用函数的方法求其范围)
平面平面，
作，则平面，
过在平面内作的垂线，如图建立空间直角坐标系，
为直角，，为的中点，且，(利用平几知识)
，，
，，，，
则，，，，
设，
(点是动点，在坐标系中引入变量，，再由限制条件得到，的关系)
则，，
，
，
，(点的轨迹是抛物线)
，
又，
，(点是有固定轨迹的，即是有范围的，讨论函数性质也要优先讨论定义域)
当时，的最小值为，
．
故答案为．
【点拨】
① 由平面平面可想到建立空间直角坐标系的方法，根据已知条件可求其他角、边的大小，从而得到各点的坐标；
② 而由点确定，能否求出其轨迹呢？而利用建坐标系的方法，较容易得到其轨迹(学圆锥曲线后也可知轨迹是抛物线)；
③ 从数量积坐标运算的角度得，从数量积的定义，从而得到点的轨迹；
④ 由坐标运算易求最小值化为的最小值，这里有函数思想，注意函数的定义域；
⑤ 本题若想用非坐标的方法解答：
，
而得不到点的轨迹，较难求出的范围！
巩固练习
1(★) 如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，
交于点，侧面，且为等腰直角三角形，
如图建立空间直角坐标系，
过作平面，垂足是，连结，，
则，，，
点的坐标为．
故选：．
2 (★★) 已知点、，，则中角的大小是 ．
【答案】
【解析】、，，
|
又
可得
故答案为
3 (★★) 已知空间三点，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
【答案】 6
【解析】
，
，．
．
．
以，为邻边的平行四边形的面积
．
故答案为：．
4 (★★★) 已知长方体中，，空间中存在一动点满足||记，，则( )
A．存在点使得 B．存在点使得
C．对任意的点有 D．对任意的点有
【答案】
【解析】如图所示
建立如图所示的空间直角坐标系，以为轴，为轴，为轴，为坐标原点，由题意则，，，，设，
所以，，，
，，
因为满足，所以，，，，
，
，
恒成立，故正确，不正确；
恒成立，所以不正确，
恒成立，所以不正确；
故选：．
5(★★★) 如图，已知点在正方体的对角线上，∠．设λ则的值为 ．
【答案】
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
点在正方体的对角线上，且∠，
，，
则，，，，，
，，
，
由，解得．
故选：．
6(★★★)三棱锥中两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足则和所成角余弦值的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图所示，不妨取．则，．
设P(0，y，z)，，．
则，
解得，．．
设，，则，
又，．
①当点取时，取时，，，
则．
取时，，，．
②当点取时，取时，，，
则．
取时，，，．
综上可得：和所成角余弦值的取值范围是．
