建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法
1空间向量的直角坐标系
(1) 空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标.
(2) 空间向量的直角坐标运算律
① 若，，
则，，
，
，
，
，
② 若 ，则.
③ 模长公式
若，则.
④ 夹角公式
为钝角.
⑤ 两点间的距离公式
若
则
或
2 建立直角坐标系的方法
(1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
(2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系
(3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系
3 确定空间直角坐标系中点坐标的方法
求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下
射影法
看所求点分别在轴的投影对应的数值.
如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是；
或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标.
一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法；
公式法
对中点、等分点、重心等点可用公式求解；
若点，
则线段的中点坐标；三角形的重心；
点在线段上且，则.
向量法
利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标；
利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标；
三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！
几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质.
待定系数法：设点，利用已知条件求出.
(6) 函数法：常用于设动点坐标；
动点在定直线上，把投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面，得到投影直线方程，从而达到动点投影中的关系.
以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.
【题型一】建立直角坐标系的方法
利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
【典题1】 如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的余弦值．
利用线面垂直关系构建直角坐标系
【典题2】 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．求二面角的平面角的正切值．
利用面面垂直关系构建直角坐标系
【典题3】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．求面与面所成的二面角的余弦值．
巩固练习
1(★) 如图，在直三棱柱中，，为的中点，，分别是棱，上的点，且，如何建立空间直角坐标系呢？
2 (★★)如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，如何建立空间直角坐标系呢？
3 (★★) 如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？
【题型二】确定空间直角坐标系中点坐标的方法
情况1 求点的坐标
【典题1】 在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.
；；；若为上点，且写出坐标；
【典题2】 如图，矩形中，，为的中点，以为折痕把四边形折起，使达到的位置，且，，分别为，，的中点．建系求点的坐标.
情况2 设点坐标
【典题3】 长方形中，，是中点(图)，将沿折起，使得(图)在图中
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由．
巩固练习
1 (★★) 一张平行四边形的硬纸中，.沿它的对角线折起，使点到达平面外点的位置.若，建系求点的坐标.
2(★★) 四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，.建系求点的坐标.
3(★★) 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，是的中点，在上，若于点，试求点的坐标.建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法
1空间向量的直角坐标系
(1) 空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标.
(2) 空间向量的直角坐标运算律
① 若，，
则，，
，
，
，
，
② 若 ，则.
③ 模长公式
若，则.
④ 夹角公式
为钝角.
⑤ 两点间的距离公式
若
则
或
2 建立直角坐标系的方法
(1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
(2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系
(3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系
3 确定空间直角坐标系中点坐标的方法
求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下
射影法
看所求点分别在轴的投影对应的数值.
如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是；
或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标.
一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法；
公式法
对中点、等分点、重心等点可用公式求解；
若点，
则线段的中点坐标；三角形的重心；
点在线段上且，则.
向量法
利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标；
利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标；
三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！
几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质.
待定系数法：设点，利用已知条件求出.
(6) 函数法：常用于设动点坐标；
动点在定直线上，把投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面，得到投影直线方程，从而达到动点投影中的关系.
以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.
【题型一】建立直角坐标系的方法
利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
【典题1】 如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的余弦值．
【解析】 易得三线两两垂直，
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
(后面解析省略)
利用线面垂直关系构建直角坐标系
【典题2】 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．求二面角的平面角的正切值．
【解析】 侧面 而与不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面上过点作垂直的直线，便得三线两两垂直，
如图，以为原点，分别以所所在直线为轴建立空间直角坐标系．
(后面解析省略)
利用面面垂直关系构建直角坐标系
【典题3】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．求面与面所成的二面角的余弦值．
【解析】取的中点，连接，是正三角形，
又平面底面 平面
则以点为原点，分别以所在直线为轴，以过点作的垂线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
【点拨】
① 同一道题目中建系的方法不是唯一，是优是劣取决于关键点的坐标是否好求；
② 建系最根本的想法是找到两两垂直的三线，多关注题中有垂直关系的量，
(1) 垂直关系：长方体模型、等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等；
(2) 若有线面垂直，则可考虑该面为平面之一；
(3) 若有面面垂直，则可考虑两面为平面其中两个.
③ 若是分别以所所在直线为轴建立空间直角坐标系，则要先证明三线两两垂直，需要严谨些，不能想当然.
巩固练习
1(★) 如图，在直三棱柱中，，为的中点，，分别是棱，上的点，且，如何建立空间直角坐标系呢？
【答案】以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系.
2 (★★)如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，如何建立空间直角坐标系呢？
【答案】 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系.
3 (★★) 如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？
【答案】取中点，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系.
【题型二】确定空间直角坐标系中点坐标的方法
情况1 求点的坐标
【典题1】 在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.
；
；
；
若为上点，且写出坐标；
【解析】 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系．
(1)射影法
求点，在平面上则，
由图可知它到轴投影对应数值，则，
到轴投影对应数值为，则，即；
同理得；
(2)公式法
是的重心，
(由三角形重心公式可得)
(3)向量法
设，则，，
又 ， (利用向量平行关系)
比较得，
点B坐标为 (投影法也可以)
(4)三点共线，可设，(某点在一直线上常用向量法)
即，
，
，
，
解得，
故.
【点拨】
射影法：看所求点分别在轴的投影对应的数值；
一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法；
② 公式法：对中点、等分点、重心等点可用公式求解；
③ 向量法：常用于涉及到平行、垂直、共线等向量关系中的点.
各方法之间也是相通的，需要理解再灵活运用.
【典题2】 如图，矩形中，，为的中点，以为折痕把四边形折起，使达到的位置，且，，分别为，，的中点．建系求点的坐标.
【解析】 设，则，，
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂直为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，，
则，，
，解得，，，
. (不同的建系，坐标当然不同，这里主要介绍待定系数法求点坐标)
【点拨】利用待定系数法，设，再利用两点距离公式求得点的坐标.
情况2 设点坐标
【典题3】 长方形中，，是中点(图)，将沿折起，使得(图)在图中
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由．
【解析】(1)证明：在长方形中，由，是中点，
得，而，，得，
又，且，平面，
而平面，
平面平面；
(2) 思路：先根据“点在线段上”，得到其坐标形式(即找到的关系)，再利用二面角余弦值求出点的坐标；那怎么引入参数设出点坐标呢？
解：取中点，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，
在平面内，过作底面垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
方法1 向量法
设为线段上的点，
则，
，(即得到点坐标)
(以上是由共线关系利用向量法引入参数设点坐标)
(PS 以下求的过程学完求二面角的向量法方能理解)
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，取，得；
由，
取，得．
由，
解得舍)或．
在线段上存点，使得二面角的余弦值为．
方法2 函数法
设，
，，
点在平面上投影为，，
(相当于把直线投影到平面上，空间问题化为平面问题，降维处理)
求得直线的方程为，则；
点在平面上投影为，，
求得直线的方程为，则，即；
所以的坐标可设为，
以下求解类似方法！
【点拨】
① 本题在处理“点在线段上”这一条件时，想设点找到的关系，介绍了向量法和函数法，而向量法引入变量表示，而函数法变量是，用其表示便可；
② 有时也可用几何法相似求解，
比如在方法中求中的关系，
如下图，过点分别作轴，轴，
由得.
巩固练习
1 (★★) 一张平行四边形的硬纸中，.沿它的对角线折起，使点到达平面外点的位置.若，建系求点的坐标.
【答案】 ，如图建系，则.
2(★★) 四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，.建系求点的坐标.
【答案】 ，如图建系，则.
3(★★) 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，是的中点，在上，若于点，试求点的坐标.
【答案】 ，如图建系，则.
(点的坐标与建系的方法有关)
