空间向量基本定理
1 空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 .
证明 存在性：设不共面，过点作，，，
过点作直线平行于交平面于点在平面内，
过点作直线，
存在三个数，使得，，，
，
；
唯一性：设另有一组实数，使得，
则
，
不共面，，即且且
故实数是唯一的.
2基底
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
3推论
设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 .
若，则点四点共面.
【题型一】 空间向量基本定理的理解
【典题1】 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A． B． C． D．
【解析】 对于，若向量共面，
则，
即，解得，
故向量共面，故错误，
对于，若向量共面，则，无解，
故向量不共面，故正确，
对于，若向量共面，
则，即，解得，
故向量共面，故错误，
对于，若向量共面，则，解得，
故向量共面，故错误．
故选：．
【典题2】已知非零向量，，且不共面．若，则 .
【解析】不共面，故可看作空间向量的一组基底，
，故存在，使得，
即，
，解得：，则．
【典题3】 如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点在棱上，且满足，若，则 ( )
A． B． C． D．
【解析】因为，
．
故选：．
巩固练习
1(★) 已知为空间四点，且向量不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A．共线 B．中至少有三点共线
C．与共线 D．四点共面
【答案】
【解析】 由于向量不能构成空间的一个基底知共面，
所以四点共面，故选：．
2(★) (多选题)下面四个结论正确的是( )
A．空间向量，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．任意向量满足
【答案】
【解析】 对于：空间向量，若，则，故正确；
对于：若对空间中任意一点，有，由于，则四点共面，故正确；
对于：已知是空间的一组基底，若，则两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故正确；
对于：任意向量满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明存在倍数关系，由于是任意向量，不一定存在倍数关系，故错误．
故选：．
3(★★) 如图所示，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 连接，
是的中点，，
，
，
故选：．
4(★★) 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则 )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 在平行六面体中，为与的交点；
；
故选：．
【题型二】空间向量基本定理的应用
【典题1】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证平面.
【求证】如图，设，令，则，
，
，
又，，
，，，
同理可证，
又，平面，
平面.
【典题2】如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段于点，若，求证：为定值，并求出该定值．
【证明】 如图示：
连接并延长交于点，
由题意可令为空间的一个基底，
故
，
连接，因为点共面，
故存在实数，使得，
即，
故，
由空间向量基本定理知，
故，为定值．
【巩固练习】
1(★★) 如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点为的重心，的延长线交于点，连接．设．
(1)用表示；(2)证明：．
【答案】 (1) (2)略
【解析】 (1)因为为正三角形，点为的重心，所以为的中点，
所以，
所以．
(2)设三棱柱的棱长为，
则，
所以．
2(★★) 如图，在棱长为的正方体中分别为，的中点，点在上，且
求证:；求与所成角的余弦值.
【答案】 (1) 略 (2)
【解析】 (1)证明 设，
则
，
,
.
(2)解 由(1)知，，
又，
，
，
与所成角的余弦值为.
3(★★★) 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【答案】 (1) (2)略 (3)
【解析】(1)．
证明：(2)，，
，共面．
解：(3)当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
4(★★★) 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等， 求证: 这个四面体相对的棱丙两垂直.
已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且.
求证 .
证明 设，
则，
，
，
，
，
，
.
又，
，同理可证，
这个四面体相对的棱丙两垂直.
5(★★★) 已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值．
【答案】
【解析】 是等边三角形，是的重心，
延长交于点，则为的中点，，
故
，
设，
则，
四点共面，，即，
又，，，
，．空间向量基本定理
1 空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 .
证明 存在性：设不共面，过点作，，，
过点作直线平行于交平面于点在平面内，
过点作直线，
存在三个数，使得，，，
，
；
唯一性：设另有一组实数，使得，
则
，
不共面，，即且且
故实数是唯一的.
2基底
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
3推论
设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 .
若，则点四点共面.
【题型一】 空间向量基本定理的理解
【典题1】 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A． B． C． D．
【典题2】已知非零向量，，且不共面．若，则 .
【典题3】 如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点在棱上，且满足，若，则 ( )
A． B． C． D．
巩固练习
1(★) 已知为空间四点，且向量不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A．共线 B．中至少有三点共线
C．与共线 D．四点共面
2(★) (多选题)下面四个结论正确的是( )
A．空间向量，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．任意向量满足
3(★★) 如图所示，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则 ( )
A． B． C． D．
4(★★) 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则 )
A． B． C． D．
【题型二】空间向量基本定理的应用
【典题1】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证平面.
【典题2】如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段于点，若，求证：为定值，并求出该定值．
【巩固练习】
1(★★) 如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点为的重心，的延长线交于点，连接．设．
(1)用表示；(2)证明：．
2(★★) 如图，在棱长为的正方体中分别为，的中点，点在上，且 求证:；求与所成角的余弦值.
3(★★★) 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；(2)求证：共面；(3)当为何值时，．
4(★★★) 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等， 求证: 这个四面体相对的棱丙两垂直.
已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且.
求证 .
5(★★★) 已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值．
