空间向量数量积的运算
1空间向量的夹角及其表示
已知两非零向量在空间任取一点 作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定；
若则称互相垂直，记作:.
2向量的模
设则有向线段 的长度叫做向量的长度或模，记作.
3 向量的数量积
已知向量 ，则叫做的数量积，记作
即
4 空间向量数量积的性质
②
5 空间向量数量积运算律
①
② (交换律)
③ (分配律)
④不满足乘法结合律:
【题型一】数量积的运算
【典题1】如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，则 ．
【解析】在三棱锥中，连结，取的中点为，连结，则，
异面直线所成的角就是．
，，点分别是的中点，
，
又．
．
由图可知，与所成角为钝角，则．
．
故答案为：．
【典题2】已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，
则( )
A． B． C． D．
【解析】四面体，所有棱长均为，四面体为正四面体，
分别为棱的中点，
．
故选：．
【点拨】求空间向量数量积，第一个念头是利用定义；但若两个向量的模或其夹角其一交难求解，可把所求向量的数量积转化为其他具有较多性质向量的数量积，比如本题把转化为，因为，，，四个向量之间数量积易求.
巩固练习
1(★) 平面上有四个互异点，已知，则的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．无法确定
【答案】
【解析】 ，
，可得．可得．
则的形状是等腰三角形．故选：．
2(★) 在空间四边形中，， ( )
A． B． C． D．不确定
【答案】
【解析】 根据题意，，
故选：．
3(★★) 如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 .
【答案】
【解析】由题意得，
故．
4(★★) 在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， .
【答案】
【解析】 ，，
平面，直线，
当最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为，，
平面，，
．
5(★★★★) 已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，
为球心，，
即有，，
由，①
则有，即有，②
同理对①两边取点乘，可得，③
又④
由②③④解得，，即有．
即有，
即为，
又，
即，⑤
又在直角三角形中，，即有⑥
由⑤⑥解得，
则有球的表面积．
【题型二】数量积的应用
【典题1】 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知求的长．
【解析】
方法一 如图过点作，过作，则易得，，
在中，
在中，.
方法二 如图，
的长为．
【点拨】
① ；
② 方法一利用了二面角的概念和平几的知识进行求解，方法二直接利用向量的运算显得更简洁，也体现了向量的威力！
【典题2】已知：正四面体(所有棱长均相等)的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，求，的夹角．
【解析】 (1)如图所示，
正四面体的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，
设，
，；
，
同理可得；
，
与的夹角为．
巩固练习
1(★★) 在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，求的长度.
【答案】
【解析】
则
．
．
2(★★) 如图，三棱锥各棱的棱长都是点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值．
【答案】
【解析】根据题意，连接，，点是棱的中点，点在棱上，且，
记，，．
，
根据题意，点是棱的中点，则|，且，
，
则当时，取得最小值，则的最小值为．
3(★) 如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角．
【答案】
【解析】不妨设正方体的棱长为，设，
则，
,
，
而，，
所以异面直线与所成的角为.
4(★★) 如图，在平行四边形中，，∠，将它沿对角线折起，使与成角，求间的距离．
【答案】 或
【解析】由题可知，
，，同理，
与成角，或，
又，
或.
即之间的距离为或.
5(★★) 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．
【答案】
【解析】设，且各长度均为，
则，
因为，，且，，
所以，
所以.
与所成角的余弦值为.
6(★★) 在三棱锥中，已知侧棱，，两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形．
【证明】两两互相垂直．
，
为锐角，即∠为锐角，
同理∠，∠均为锐角，
为锐角三角形．
7(★★★) 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，．
(1)求侧棱的长；
(2)分别为的中点，求及两异面直线和的夹角．
【答案】 (1)；(2)
【解析】(1)设侧棱，
在平行六面体中，底面是边长为的正方形，且，
，，，，
又，
，
，，
即侧棱．
(2)，
，
两异面直线和的夹角为．
【题型三】数量积的最值
【典题1】已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【解析】
设正方体内切球球心为，是该内切球的任意一条直径，
则内切球的半径为，
所以．
所以的取值范围是．
故选：．
巩固练习
1(★★) 已知球内切于正四面体且正四面体的棱长为2线段是球的一条动直径(是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】由正四面体棱长为，的其内切圆的半径为，
由题意，是直径的两端点，可得，，
则
，
当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为，
则的最大值为.
2(★★★) 已知球是棱长为的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设球的半径为，则，解得．
．
．
故答案为：．
3(★★★★) 如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】 在三棱锥中，，，设，
，
，
，
又，，①
，②
将①两边平方得，
，
，
代入②中，得，
，
，
又，．
的最小值为．
故答案为：．空间向量数量积的运算
1空间向量的夹角及其表示
已知两非零向量在空间任取一点 作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定；
若则称互相垂直，记作:.
2向量的模
设则有向线段 的长度叫做向量的长度或模，记作.
3 向量的数量积
已知向量 ，则叫做的数量积，记作
即
4 空间向量数量积的性质
②
5 空间向量数量积运算律
①
② (交换律)
③ (分配律)
④不满足乘法结合律:
【题型一】数量积的运算
【典题1】如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，则 ．
【典题2】已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( )
A． B． C． D．
巩固练习
1(★) 平面上有四个互异点，已知，则的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．无法确定
2(★) 在空间四边形中，， ( )
A． B． C． D．不确定
3(★★) 如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 .
4(★★) 在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， .
5(★★★★) 已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为 ．
【题型二】数量积的应用
【典题1】 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知求的长．
【典题2】已知：正四面体(所有棱长均相等)的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，求，的夹角．
巩固练习
1(★★) 在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，
求的长度.
2(★★) 如图，三棱锥各棱的棱长都是点是棱的中点，点在棱上，且，
记，，．求的最小值．
3(★) 如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角．
4(★★) 如图，在平行四边形中，，∠，将它沿对角线折起，使与成角，求间的距离．
5(★★) 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．
6(★★) 在三棱锥中，已知侧棱，，两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形．
7(★★★) 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，．
(1)求侧棱的长；
(2)分别为的中点，求及两异面直线和的夹角．
【题型三】数量积的最值
【典题1】已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
巩固练习
1(★★) 已知球内切于正四面体且正四面体的棱长为2线段是球的一条动直径(是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是 ．
2(★★★) 已知球是棱长为的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是 ．
3(★★★★) 如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为 ．
