空间向量及其运算
1空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
PS
(1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；
(2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或；
(3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
(4) 向量具有平移不变性.
(5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.
2 运算
(1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).
， ，
(2) 运算律
① 加法交换律:；
② 加法结合律:；
③ 数乘分配律:；
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.
PS 平行六面体法则:在平行六面体中，.
3 共线向量
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作.
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使.
(3) 三点共线：三点共线(其中)
(4) 与共线的单位向量为.
4 共面向量
(1) 定义
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使.
(3) 四点共面
方法1 若要证明四点共面，只需要证明
方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中)
证明 若，
则
，
，，
即共面，即四点共面.
【题型一】空间向量的线性运算
【典题1】如图所示，在平行六面体中为与的交点，
若，，则 )
A． B． C． D．
【解析】(与平面向量的方法类似，用“首尾相接法”把向靠拢)
；
故选：．
【点拨】
① 空间向量运算符合三角形法则、平行四边形法则，类似平面向量；
② 本题解法很多，比较灵活，而本题解题思路是“首尾相接法”：以为基底，在对“首尾相接”的时候，尽量向三个基底靠拢(利用或其共线向量表示)，做到最后的式子只含三个基底向量；
③ 类似题目需要大胆下笔推算，也可利用一些常见结论：
在三角形中，点是的中点，则.
平行六面体法则:在平行六面体中，.
【典题2】已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1)；(2)；(3)
【解析】(1)
，
(2)；
(3)，
在三角形中，，
则，
即有，则有．
巩固练习
1(★) 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于 .(用，，表示)
【答案】
【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，
所以．
2(★) 在空间四边形中，连结，．若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________．
【答案】
【解析】如图，延长交于点，根据题意知为的中点．
又因为为正三角形的中心，所以，即，
所以．
3(★★) 如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是 .
【答案】
【解析】是的中点，
．
4(★★★) 在三棱锥中，为内一点，若，则 . (用，，表示)
【答案】
【解析】三棱锥中，为内一点，如图所示：
延长至，使得，延长至，使得，连接，
因为，所以，
所以为的重心，所以，
即，
所以，
所以．
【题型二】空间向量共线共面问题
【典题1】如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且，求证：三点共线．
【解析】设
，
，，
，，
，
又由(1)知，
，且有公共点，
所以三点共线．
【典题2】 已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
(1)；(2)．
【解析】(1)三点不共线，故三点共面，
又对于平面外的任意一点，
若，
则，
，故点与共面，
(2)三点不共线，故三点共面，
又对于平面外任意一点，
若，则，
故点与不共面．
【典题3】 如图所示，已知四边形是平行四边形，点是四边形所在平面外一点，连接，设点分别为的重心．试用向量法证明四点共面．
【解析】 分别延长，交对边于点，
因为分别是所在三角形的重心，所以为所在边的中点，
顺次连接得到的四边形为平行四边形，
且有；如图所示，
；
又，
，
由共面向量定理知：四点共面．
巩固练习
1(★) 已知向量且，则一定共线的三点为( )．
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，
所以与共线，即三点共线．
2(★) 在下列条件中，使与一定共面的是( )
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】在中，由，得，则为共面向量，即四点共面；
对于，由，得，不能得出四点共面；
对于，由，得1，所以四点不共面；
对于，由，得，其系数和不为，所以四点不共面．
故选：．
3(★) (多选题)在以下命题中，不正确的命题有( )
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点，若，
则四点共面
D．若两个非零空间向量，满足，则
【答案】
【解析】 当，满足与共线，与共线，而与不一定共线，故错误；
当与均为零向量时，能够保证，则存在无数多的实数，
使得，故错误；
，即，
，
由平面向量基本定理可得四四点共面，故正确；
非零空间向量满足，，，故正确．
故选：．
4(★★) 已知在正方体中，为空间任意两点，如果有，那么点必在平面 内.
【答案】
【解析】因为
，
所以四点共面，即点必在平面内．
5(★★) 在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则 .
【答案】
【解析】如图所示，
正方体中，，
，
，，，四点共面，，，，四点共面，
，解得，；
．
6(★) 如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？
【答案】共线
【解析】由已知可得：
．
所以，故与共线．
7(★★) 已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．
【证明】设，则，
，又为两个不共线的非零向量，
，，，四点共面，
故原命题得证．
8(★★) 如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．
【证明】设，则，
为的中点，，
又，，
，
为共面向量，
又三向量有相同的起点，四点共面．
9(★★) 已知是不共面的向量，且，，
，.
(1)判断四点是否共面；(2)能否用表示？并说明理由.
【答案】 (1) 不共面 (2)
【解析】(1)假设四点共面，
则存在实数，使得，且，
即
比较对应的系数，得到，解得，这与矛盾，
故四点不共面；
(2)若共面，则存在，使得，
同(1)可证，不共面，即是向量与的线性组合，
令，
由，得，
所以
.
10(★★★) 已知为空间9个点(如图)，并且，，，，．求证：
(1)四点共面；(2)；(3)．
【证明】(1)，
由共面向量基本定理得是共面向量，
有公共点，
四点共面．
(2)
，
．
(3)由(1)知，
．空间向量及其运算
1空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
PS
(1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；
(2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或；
(3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
(4) 向量具有平移不变性.
(5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.
2 运算
(1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).
， ，
(2) 运算律
① 加法交换律:；
② 加法结合律:；
③ 数乘分配律:；
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.
PS 平行六面体法则:在平行六面体中，.
3 共线向量
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作.
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使.
(3) 三点共线：三点共线(其中)
(4) 与共线的单位向量为.
4 共面向量
(1) 定义
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使.
(3) 四点共面
方法1 若要证明四点共面，只需要证明
方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中)
证明 若，
则
，
，，
即共面，即四点共面.
【题型一】空间向量的线性运算
【典题1】如图所示，在平行六面体中为与的交点，若，，则 )
A． B． C． D．
【典题2】已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1)；(2)；(3)
巩固练习
1(★) 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于 .(用，，表示)
2(★) 在空间四边形中，连结，．若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________．
3(★★) 如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是 .
4(★★★) 在三棱锥中，为内一点，若，则 . (用，，表示)
【题型二】空间向量共线共面问题
【典题1】如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且，求证：三点共线．
【典题2】 已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
(1)；(2)．
【典题3】 如图所示，已知四边形是平行四边形，点是四边形所在平面外一点，连接，设点分别为的重心．试用向量法证明四点共面．
巩固练习
1(★) 已知向量且，则一定共线的三点为( )．
A． B． C． D．
2(★) 在下列条件中，使与一定共面的是( )
A． B．
C． D．
3(★) (多选题)在以下命题中，不正确的命题有( )
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点，若，
则四点共面
D．若两个非零空间向量，满足，则
4(★★) 已知在正方体中，为空间任意两点，如果有，那么点必在平面 内.
5(★★) 在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则 .
6(★) 如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？
7(★★) 已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．
8(★★) 如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．
9(★★) 已知是不共面的向量，且，，，.
(1)判断四点是否共面；(2)能否用表示？并说明理由.
10(★★★) 已知为空间9个点(如图)，并且，，，
，．求证：
(1)四点共面；(2)；(3)．
