数列的概念与简单的表示
1数列的相关概念
定义：数列是按照一定次序排列的一列数；
数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；
数列的表示：数列的一般形式可以写成，简记.
2 数列的分类
分类标准 名称 含义 例子
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的大小 递增数列
递减数列
常数列 每项都相等的数列
摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列
3数列与函数的关系
数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，其图象是一系列有限或无限孤立的点.
PS 日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.
4通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
Eg 数列，…，其通项公式可以是等.
注：与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；
数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.
5 递推公式
若已知数列的第一项(或前项)，且任一项和它的前一项(或前项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
Eg (初始条件)，(递推关系)；
.
6 与的关系
若为数列的前项和，即
则.
【题型一】对数列的相关概念的理解
【典题1】下列有关数列的说法正确的是( )
①数列可以表示成；
②数列与数列是同一数列；
③数列的第项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【典题2】 数列为从开始的非负整数有限数列，表示在这个数列中出现的次数．那么数列的项数不可能是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【典题3】求数列是增减性.
【典题4】已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是 .
【典题5】若数列中的最大项是第项，求.
巩固练习
1 (★) 下列叙述正确的是( )
A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是
C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列
2(★) 对于项数都为的数列和，记为中的最小值，给出下列命题：
①若数列的前项依次为，则；
②若数列是递减数列，则数列也是递减数列；
③数列可能是先递减后递增的数列；
④若数列是递增数列，则数列是常数列．
其中，是真命题的为( )
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
3 (★) 数列中的等于( )
A．6 B．7 C．8 D．11
4 (★) 【多选题】满足下列条件的数列是递增数列的为( )
A． B． C． D．
5(★★) 已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是 .
6(★★) 已知数列若其最大项和最小项分别为和，则的值为 .
7(★★) 已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是 ．
8 (★★★) 在数列中，已知，且，．
(1)求通项公式；(2)求证：是递增数列；(3)求证：．
【题型二】数列与函数的关系
【典题1】 数列的通项，当取最大值时， .
【典题2】数列的通项，则数列中的最大值是 .
【典题3】【多选题】对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有( )
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
巩固练习
1 (★★) 在数列中，，则此数列最大项的值是 .
2 (★★) 数列中，，则该数列前项中的最大项与最小项分别是 .
3 (★★)若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是第 项.
4(★★★) 数列的通项公式为，则数列 ( )
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．既有最大项又有最小项 D．既无最大项又无最小项
5 (★★) 数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
6 (★★★) 已知是递增数列，且，则关于数列，对任意的正整数，下列结论不可能成立的( )
A． B．
C． D．
7(★★) 数列中，，求数列的最大项和最小项.
【题型三】由数列前几项求数列通项公式
【典题1】写出下列数列的一个通项公式：
； ，，，； ； ；．
巩固练习
1 (★) 数列，，2，，的一个通项公式为( )
A． B． C． D．
2 (★) 数列…的一个通项公式为( )
A． B． C． D．
3 (★) 【多选题】已知数列，则前六项适合的通项公式为( )
A． B．
C． D．
4 (★★★) 写出下列数列的一个通项公式：
； ； ；
； ； ;
【题型四】由递推公式求通项公式
【典题1】 已知数列满足，求.
【典题2】 已知，求数列通项公式.
巩固练习
1 (★★) 在数列中，已知，，且，则 ．
2 (★★) 已知数列满足，求.
3 (★★) 已知，求.
4 (★★) 设数列是首项为的正项数列，且求通项公式是.
【题型五】与的关系的应用
【典题1】 已知数列的前项和，满足关系，求的通项公式.
【典题2】已知数列的前项和，满足，，求和数列的通项公式.
巩固练习
1 (★★) 已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.
2 (★★) 已知无穷数列的前项和，并且，求的通项公式.
3 (★★★) 设数列的前项和为，已知，，，求数列的通项公式；数列的概念与简单的表示
1数列的相关概念
定义：数列是按照一定次序排列的一列数；
数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；
数列的表示：数列的一般形式可以写成，简记.
2 数列的分类
分类标准 名称 含义 例子
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的大小 递增数列
递减数列
常数列 每项都相等的数列
摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列
3数列与函数的关系
数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，其图象是一系列有限或无限孤立的点.
PS 日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.
4通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
Eg 数列，…，其通项公式可以是等.
注：与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；
数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.
5 递推公式
若已知数列的第一项(或前项)，且任一项和它的前一项(或前项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
Eg (初始条件)，(递推关系)；
.
6 与的关系
若为数列的前项和，即
则.
【题型一】对数列的相关概念的理解
【典题1】下列有关数列的说法正确的是( )
①数列可以表示成；
②数列与数列是同一数列；
③数列的第项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解析】对于①，是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列与数列是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列的第项是，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选：．
【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别. 数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求.
【典题2】 数列为从开始的非负整数有限数列，表示在这个数列中出现的次数．那么数列的项数不可能是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】表示在这个数列中出现的次数．(理解这个是关键)
当时，满足条件，此时数列有项，故排除；
当时，满足条件，此时数列有项，故排除；
当时，满足条件，此时数列有项，故排除；
故选：．
【点拨】本题是选择题，优先考虑排除法.
【典题3】求数列是增减性.
【解析】方法一 作差法
，
所以，故数列是增数列.
方法二 作商法
，
又，所以，故数列是增数列.
方法三 函数思想
，
在递增，也是随着的增大而增大，
故数列是增数列.
或，由在递增也可得结论.
【点拨】求证数列单调性，常用方法有三：
作差法，比较与的大小；
作商法，比较与1的大小，此时要注意的正负；
视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意的取值范围是正整数.
【典题4】已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是 .
【解析】数列是单调递减数列，
则，
(利用减数列的概念，相当于得到一个恒成立问题，可想到分类参数法求解，
由于的存在，需要对的奇偶性进行分类讨论)
当为偶数时，，
由于为递增数列，则数列的最小值，
，即，
当为奇数时，，
由于为递减数列，则数列的最大值，
，，
综上所述实数的取值范围是．
【点拨】本题充分考核了数列单调性的运用，其中也满满的“函数思想”，遇到类似式子进行奇偶性分类讨论是常用手段.
【典题5】若数列中的最大项是第项，求.
【解析】令，
假设，(作商法)
则，即，
又是整数，即时，；当时，；所以最大．
【点拨】本题通过讨论数列的增减性，从而得到最大值，其中就有函数思想的影子.
巩固练习
1 (★) 下列叙述正确的是( )
A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是
C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于、数列与数列中顺序不同，不是同一数列，故错误；
对于、数列的通项公式是，故错误；
对于、常数列的通项为，则不是常数列，故错误；
对于、是递增数列，也是无穷数列，故正确．
故选：．
2(★) 对于项数都为的数列和，记为中的最小值，给出下列命题：
①若数列的前项依次为，则；
②若数列是递减数列，则数列也是递减数列；
③数列可能是先递减后递增的数列；
④若数列是递增数列，则数列是常数列．
其中，是真命题的为( )
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】 D
【解析】①由数列的前项依次为，
可知，，，，①错误；
②若数列是递减数列，则数列也是递减数列是正确的；
若数列是递增数列或常数列时，则是常数列，
若数列是递减数列时，则是递减的，
③是错误的；④是正确的．故选：．
3 (★) 数列中的等于( )
A．6 B．7 C．8 D．11
【答案】 C
【解析】数列的规律为每两项相加的数值为后一项，则3+5=x=8，
故选：C．
4 (★) 【多选题】满足下列条件的数列是递增数列的为( )
A． B． C． D．
【答案】 BD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，，，不是递增数列，不符合题意，
对于，，，是递增数列，符合题意，
对于，，，不是递增数列，不符合题意，
对于，，函数为递增函数，则是递增数列，符合题意，
故选：．
5(★★) 已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】数列是递增数列，对于任意，，
，化为：，
数列单调递减，．
6(★★) 已知数列若其最大项和最小项分别为和，则的值为 .
【答案】
【解析】数列，
若其最大项为项，则
即
，
，为最大项，时，，
最小项为，
的值为
7(★★) 已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】是递增数列，，，
化为：，对都成立．
．
故答案为：．
8 (★★★) 在数列中，已知，且，．
(1)求通项公式；(2)求证：是递增数列；(3)求证：．
【答案】 (1) (2) 见解析 (3)见解析
【解析】(1)解：由题意，可知
，，
整理联立方程组，得，解得，
．
(2)证明：由(1)，知
，
则 ，
数列是递增数列．
(3)证明：由(2)，可知
当时，数列取得最小值，
当时，→，
，故得证．
【题型二】数列与函数的关系
【典题1】 数列的通项，当取最大值时， .
【解析】方法一 数列的单调性
根据题意，，
则，
当时，，即，
当时，，即，
而，故数列各项中最大项是第项.
方法二 函数法
依题意，，
表示抛物线当为正整数时对应的函数值，
又为开口向下的抛物线，
故到对称轴距离越近的点，函数值越大，
故当时，有最大值．
【点拨】数列是特殊的函数，可用数形结合的方法，但要注意自变量是正整数.
【典题2】数列的通项，则数列中的最大值是 .
【解析】，
在上单调递减，在上单调递增，(对勾函数)
，，
即为最小值，
此时取得最大值为.
【点拨】根据数列的通项公式想到与之对应的函数，形如的一般和对勾函数与基本不等式有关.
【典题3】【多选题】对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有( )
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
【解析】对于：函数在和上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，可知数列单调递增时数列不一定是单调递增，
(利用复合函数的单调性思考，要或才成立；举个反例易排除)
如：，则，，故错误；
对于：数列是常数列，
，
数列不是常数列，，
，整理可得，，
(类比：若满足，则是以为周期的函数)
数列是以为周期的周期数列，故正确；
对于，若，则，
(遇到进行奇偶性分类讨论)
①当为偶数时，
，
易得且偶数项单调递增，
此时，
②当为奇数时，
，
易得且奇数项单调递减，
此时，
由以上分析可得，数列的图象如图，
(数形结合的威力还是很大的，突出前面确定为奇数为偶数的必要性)
故数列有最大值和最小值，即错误，正确，
故本题选.
【点拨】本题可进一步理解数列作为一特别函数，看到两者的共同点，在讨论其性质均可利用到函数的周期性、复合函数单调性、最值等众多性质，最主要是通过数列通项公式的形式你可以想到与之对应的函数不，本题实际可以理解为复合函数.
巩固练习
1 (★★) 在数列中，，则此数列最大项的值是 .
【答案】108
【解析】对应的抛物线开口向下，对称轴为，
是整数，
当时，数列取得最大值，此时最大项的值为.
2 (★★) 数列中，，则该数列前项中的最大项与最小项分别是 .
【答案】最大项为,最小项为.
【解析】 ,
而在都是递减,
因为,故数列在上递减,在时递减,
借助的图像,可知最大项为,最小项为.
3 (★★)若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是第 项.
【答案】
【解析】根据题意，设，，
则，又由2，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最小值，此时取得最大值，
对于数列，其通项公式为，
而，则有，
则数列中最大项是第项，
4(★★★) 数列的通项公式为，则数列 ( )
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．既有最大项又有最小项 D．既无最大项又无最小项
【答案】C
【解析】由已知，设，
则，(，且随着的增大，的值一直在减小)，
画出其图象如下：
图象开口向上，且对称轴为，据图可知，
当，即时，取得最大值，又当时，
当时，且时，的值更接近，
所以当时，的值最小．故选：．
5 (★★) 数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数列中，，若对任意，都有成立，
故有，，即，
当时，，不等式恒成立；
当时，，
当时，，
当时，．
综上，实数的取值范围为，
故选：．
6 (★★★) 已知是递增数列，且，则关于数列，对任意的正整数，下列结论不可能成立的( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】．，，
取，则数列满足条件，选项可能成立；
．，令，则；令，则；令，则；令，则，，即，，与是递增数列矛盾，选项不可能成立；
．，，
取，则数列满足条件，选项可能成立；
．，，取，则数列满足条件，
选项可能成立．
故选：．
7(★★) 数列中，，求数列的最大项和最小项.
【答案】最小项为，没有最大项.
【解析】方法一:作商法
又，，数列是递增数列,
数列的最小项为，没有最大项.
方法二:
,显然是递增数列,
数列的最小项为，没有最大项.
【题型三】由数列前几项求数列通项公式
【典题1】写出下列数列的一个通项公式：
； ，，，； ； ；．
【解析】分解结构法
数列每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到，
序号
符号
绝对值
项
故；(奇偶性的符号变换规律可考虑或).
数列，，，每项可分解成分子和分母相除得到，
序号
分子
分母
项
(分子相邻数之间的差是，是等差数列；分母相邻数之间是倍的关系，是等比数列)
故
变形法
数列中若每项减去，则变成，
这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是，
则原数列只需要在这基础上加回便可，即.
(4)数列中若每项加上，
则变成，
再每项乘以，变成
其中，，，
则其通项，
要求原数列的通项公式，
则“逆回去”，除以再减可得.
奇偶项拆分
数列相邻每项之间没什么关系，若分奇偶性来看，就简单多了，
可得奇数项为可得．偶数项为可得．
则该数列通项公式.
巩固练习
1 (★) 数列，，2，，的一个通项公式为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】数列，，2，， 即为，，，， ，
则发现被开方数成等差数列，
即其中一个通项公式为，
故选：．
2 (★) 数列…的一个通项公式为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，数列的符号正负项间隔出现，故符号为，且每项为，
故数列的一个通项公式为 ，
故选：．
3 (★) 【多选题】已知数列，则前六项适合的通项公式为( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于选项，取前六项得，满足条件；
对于选项，取前六项得，不满足条件；
对于选项，取前六项得，满足条件；
对于选项，取前六项得，不满足条件；
故选：．
4 (★★★) 写出下列数列的一个通项公式：
； ； ；
； ； ;
【解析】 ； ； ；
； ； ．
【题型四】由递推公式求通项公式
【典题1】 已知数列满足，求.
【解析】由条件知
把以上个式子累加得到
满足上式，
故
【点拨】这是累加法，适合形如的递推公式求解通项公式.
【典题2】 已知，求数列通项公式.
【解析】，，
又有，
满足上式，
.
【点拨】这是累加法，适合形如的递推公式求解通项公式.
巩固练习
1 (★★) 在数列中，已知，，且，则 ．
【答案】
【解析】法一：令，则；
令，则；
令，则；
令，则；
令，则；
令，则；
数列为周期为的周期数列，
．
法二：①，
②，
①+②得，
，，周期为，
，
由，得．
2 (★★) 已知数列满足，求.
【答案】.
【解析】由条件知：
把以上个式子累加得到
,
.
3 (★★) 已知，求.
【答案】
【解析】
4 (★★) 设数列是首项为的正项数列，且求通项公式是.
【答案】
【解析】是首项为1的正项数列，且，
可得，
即有，
由是首项为的正项数列，
可得，
则，
可得，．
【题型五】与的关系的应用
【典题1】 已知数列的前项和，满足关系，求的通项公式.
【解析】，
当时，
当时，不满足，
(注意的值是否满足)
.
【典题2】已知数列的前项和，满足，，求和数列的通项公式.
【解析】在中，
当时，；
由 ①得， ②，
由②①可得，，
化简得，
当时，有，(此处利用裂项)
(累加法)
，
，
，(不能漏，注意所得结论的前提)
故，(此时注意的取值改为)
又也都符合上式，
所以．
【点拨】若已知条件已知或者与的关系式，均可以利用求解数列的通项公式.
巩固练习
1 (★★) 已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】当时，
当时，不满足，
2 (★★) 已知无穷数列的前项和，并且，求的通项公式.
【答案】
【解析】，当时，
，，又，
是以首项为，公比为的等比数列，
.
3 (★★★) 设数列的前项和为，已知，，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】由可得，
，
，，满足，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
