导数的概念及其运算
1 平均变化率
若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示，
则式子称为函数从到的平均变化率.
Eg 函数在区间上的平均变化率为．它与斜率相等.
2 导数概念
函数在处的瞬时变化率是
则称它为函数在处的导数，记作，即
3 导函数
若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即
4 导数的计算
基本初等函数的导数公式
5 导数运算法则
(1)；
拓展：；
记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；
(2)；
特别：，为常数；
记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”；
(3).
记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”.
6 复合函数的导数
对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作．
复合函数的导数与函数 的导数间的关系是
Eg若，设，，
则.
【题型一】导数概念的理解
【典题1】函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．大小关系不能确定
【解析】函数在到之间的平均变化量为：
．
函数在到之间的平均变化量为：
．
，而，故．
故选：．
【点拨】平均变化率，由二次函数的图象也易得.
【典题2】已知函数是可导函数，且，则等于 ．
【解析】，，
设，
故答案为：3．
【点拨】导数有不同表示形式
与相关.
【典题3】求.
【解析】设，由求导公式可知，
(构造出导数的形式)
(由导数的概念可知)
【点拨】
① 用大学知识点洛必达法则可算出；
② 本题的实质：函数在处没意义，那当时，趋向何值？在后面求函数值域时常要考虑，解析中由导数的概念也可得到值趋向，如下图.
巩固练习
1(★) 函数在的平均变化率分别记为，
则下面结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】m1f(1)－f(0)=1－0=1，
m2f(1)－f(0)=12－0=1，m3f(1)－f(0)=13－0=1，
故m1=m2=m3，故选：A．
2(★) 某物体做自由落体运动的位移，，若，
则是该物体( )
A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度
C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度
【答案】C
【解析】根据题意，9.8m/s，则有s′(1)=9.8m/s，
即物体在t=1s这一时刻的瞬时速度为9.8m/s，
故选：C．
3 (★★) 设函数可导，，则 ．
【答案】1
【解析】根据题意，.
4 (★★) 已知是的导函数，且，则 ．
【答案】-6
【解析】，
∴.
5 (★★★) 求.
【答案】1
【解析】令，
.
【题型二】导数的运算
【典题1】 设函数的导函数是，若，则 .
【解析】 ，
，是个常数)
，
，
，，
【典题2】求下列函数的导数：
(1)； (2)；
(3)； (4)
【解析】(1)方法一，
；
方法二
(2) (没有求导公式，化为)
．
(3)．(先化简)
．
(4)方法一 由复合函数求导，可得
；
方法二
.
【点拨】求导先要明确函数的结构，是函数“加减形式”、“乘除形式”还是“复合函数形式”,再选择简单形式求导.
【典题3】已知函数，其中为函数的导数，则
.
【解析】方法一
设，则是奇函数，,
是偶函数；
；
．
方法二
设，则是奇函数，,
是奇函数，是偶函数，是偶函数
；
.
【点拨】
① 函数奇偶性的判断：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶；了解这些能更快判断复杂函数的奇偶性；
② 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
【典题4】设，则 .
【解析】
方法一
.
方法二
.
【典题5】写出与的一种关系.
若，则.
若，则.
若，则 若，则
若，则.
【解析】
(1) 对应
2-5题，对应
题对应
【点拨】这是导数运算法则的逆运用，也是后面的一种构造函数的技巧，注意函数的结构灵活运用导数运算公式.
巩固练习
1(★) 若函数满足，则的值为 ．
【答案】0
【解析】求函数f(x)x3－f′(1) x2－x的导数，得，f′(x)=x2－2f′(1)x－1，
把x=1代入，得，f′(1)=1－2f′(1)－1，∴f′(1)=0.
2(★) 已知函数，则 ．
【答案】
【解析】函数f(θ)，
则 f′(θ)
所以f′(0).
3(★) 已知函数，则 ．
【答案】
【解析】令xu，
则
．
∴．
4 (★★) 已知函数，设，则的值为 ．
【答案】1
【解析】∵f(x)＝ex﹣cosx，
∴f0(x)＝f′(x)＝ex+sinx，f1(x)＝f0′(x)＝ex+cosx，f2(x)＝f1′(x)＝ex﹣sinx，
f3(x)＝f2′(x)＝ex﹣cosx，f4(x)＝f3′(x)＝ex+sinx，f5(x)＝f4′(x)＝ex﹣sinx，
则函数f′k(x)是周期为4的周期函数，
则f2014(x)＝f2(x)＝f1′(x)＝ex﹣sinx，
则f2014(0)＝e0﹣sin0＝1，
5 (★★) 求下列函数的导数：
(1) (2)．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)；
(2)；
(3)，．
6(★★★) 求.
【答案】
【解析】令，则，
所以.
7 (★★★)记函数的导数为，的导数为，…，的导数为，若可进行次求导，则均可近似表示为：，若取，根据这个结论，则可近似估计 (用分数表示)．
【答案】
【解析】f(x)＝cosx，f(1)(x)＝﹣sinx，f(2)(x)＝﹣cosx，f(3)(x)＝sinx，f(4)(x)＝cosx，…，∴T＝4，
∴当n＝4时，f(2)＝cos2＝f(0)+0×2．
故答案为：．导数的概念及其运算
1 平均变化率
若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示，
则式子称为函数从到的平均变化率.
Eg 函数在区间上的平均变化率为．它与斜率相等.
2 导数概念
函数在处的瞬时变化率是
则称它为函数在处的导数，记作，即
3 导函数
若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即
4 导数的计算
基本初等函数的导数公式
5 导数运算法则
(1)；
拓展：；
记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；
(2)；
特别：，为常数；
记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”；
(3).
记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”.
6 复合函数的导数
对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作．
复合函数的导数与函数 的导数间的关系是
Eg若，设，，
则.
【题型一】导数概念的理解
【典题1】函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．大小关系不能确定
【典题2】已知函数是可导函数，且，则等于 ．
【典题3】求.
巩固练习
1(★) 函数在的平均变化率分别记为，
则下面结论正确的是( )
A． B． C． D．
2(★) 某物体做自由落体运动的位移，，若，
则是该物体( )
A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度
C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度
3 (★★) 设函数可导，，则 ．
4 (★★) 已知是的导函数，且，则 ．
5 (★★★) 求.
【题型二】导数的运算
【典题1】 设函数的导函数是，若，则 .
【典题2】求下列函数的导数：
(1)； (2)；
(3)； (4)
【典题3】已知函数，其中为函数的导数，则 .
【典题4】设，则 .
【典题5】写出与的一种关系.
若，则.
若，则.
若，则 若，则
若，则.
巩固练习
1(★) 若函数满足，则的值为 ．
2(★) 已知函数，则 ．
3(★) 已知函数，则 ．
4 (★★) 已知函数，设，则的值为 ．
5 (★★) 求下列函数的导数：
(1) (2)．
6(★★★) 求.
7 (★★★)记函数的导数为，的导数为，…，的导数为，若可进行次求导，则均可近似表示为：，若取，根据这个结论，则可近似估计 (用分数表示)．
