导数的几何意义
1 导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率，
切线的方程为．
2 过点与在点处的区别
曲线在点处的切线指的是为切点的切线，如图一；
过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条，如图二.
【题型一】在某点处的切线
【典题1】 函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是( )
A． B．
C． D．
【典题2】 若直线是曲线的切线，则 ．
【典题3】 已知，是曲线上一点，则的最小值为 .
巩固练习
1(★) 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
2(★) 曲线在点处的切线方程为 ．
3(★★) 曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
4(★★★) 已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则 ．
5(★★★) 若函数的图象上存在互相垂直的切线，则实数的值为 ．
【题型二】过某点处的切线
【典题1】 已知曲线，曲线过点的切线方程.
【典题2】 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是 .
巩固练习
1(★★) 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为 .
2 (★★) 过点做曲线的切线，最多有 条.
3(★★) 已知曲线的一条切线经过点，求该切线方程．
4(★★) 已知函数，求经过点的曲线的切线方程．
【题型三】两曲线的公切线
【典题1】 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【典题2】若曲线 与曲线 存在公共切线，则的取值范围为 ．
巩固练习
1(★★) 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．
2(★★) 若存在过点的直线与曲线和都相切，则实数 ．
3(★★★) 若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 ．
4(★★★) 若曲线与存在公共切线，则实数的取值范围是 ．导数的几何意义
1 导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率，
切线的方程为．
2 过点与在点处的区别
曲线在点处的切线指的是为切点的切线，如图一；
过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条，如图二.
【题型一】在某点处的切线
【典题1】 函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是( )
A． B．
C． D．
【解析】根据题意，设为函数的上的点，
则为函数在处切线的斜率，
为函数在处切线的斜率，
为直线的斜率，
结合图象分析可得，即；
故选：．
【点拨】，直线越靠近轴，斜率越大.
【典题2】 若直线是曲线的切线，则 ．
【解析】依题意得
设切点
则由导数的几何意义可得 ①
点在切线上 ②
点在曲线上 ③
由①，②, ③联立得，解得或
的值为或．
【点拨】由于本题不知道切点，由待定系数法的想法，设切点，它即在切线上又在曲线上，又由导数的几何意义得到了关于的方程组！
【典题3】 已知，是曲线上一点，则的最小值为 .
【解析】的导数为．
设，可得过的切线的斜率为，
当垂直于切线时，取得最小值，
可得，即，
因为单调递增，且，
所以，即，
所以的最小值为．
【点拨】当垂直切线时，取得最小值；如图，.
巩固练习
1(★) 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，
∴f′(x1)故选：B．
2(★) 曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】 4x－y－2=0
【解析】由y=x3+lnx+1，得，
∴曲线在(1，2)处的斜率k=y'|x=1=4，
∴曲线在点(1，2)处的切线方程为y－2=4(x－1)，
即4x－y－2=0．
3(★★) 曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
【答案】
【解析】由y=lnx，得y'，
∴曲线y=lnx在x=1处的切线斜率k=2，
∵曲线y=lnx在x=1处的切线的倾斜角为α，
∴tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα．
故答案为：．
4(★★★) 已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则 ．
【答案】
【解析】∵y=ex，∴y′=ex，
∴y=ex在点(ak，eak)处的切线方程是：y－eak=eak(x－ak)，
整理，得eakx－y－akeak+eak=0，
∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1，
∴ak+1=ak－1，
∴{an}是首项为a1=0，公差d=－1的等差数列，
∴a1+a3+a5=0－2－4=－6．
故答案为：－6．
5(★★★) 若函数的图象上存在互相垂直的切线，则实数的值为 ．
【答案】 0
【解析】
，
假设函数的图象上存在互相垂直的切线，
不妨设在与处的切线互相垂直
则
因为的值必然存在，即方程必然有解，所以
判别式
所以
解得 或
由于，所以有， 或，且
所以变为：所以
故答案为：0
【题型二】过某点处的切线
【典题1】 已知曲线，曲线过点的切线方程.
【解析】
设切点为，则切线斜率，
切线方程为
切线过点
解得或，
则切线方程为或.
【点拨】
① 本题点不一定是切点，故可先设切点，利用“在某点处的切线”方法求出含参数的切线方程，再把点代入求出，进而容易得到切线方程;
② 如何求解方程？
方法一 拆项分组因式分解
或
方法二 待定系数法
先由方程特点猜出有一个解是,则可知是的因式，
设，把右式展开易得，
则
或
【典题2】 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是 .
【解析】
设切点为，
过点P的切线方程为，
代入点坐标化简为，
即这个方程有三个不等根即可，
令，求导得到，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故得到.
答案为.
【点拨】过某点作曲线的切线可以有多条，先求在曲线上一点处的切线方程，把问题转化为方程解的个数.
巩固练习
1(★★) 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为(a，lna)，
∵y=lnx，∴y′，切线的斜率是，
切线的方程为y－lna(x－a)，
将(0，0)代入可得lna=1，∴a=e，
∴切线的斜率是；
2 (★★) 过点做曲线的切线，最多有 条.
【答案】 3
【解析】设切点为P(x0，x03－3x0)，f′(x0)=3x02－3，
则切线方程y－x03+3x0=(3x02－3)(x－x0)，
代入A(2，1)得，2x03－6x02+7=0．
令y=2x03－6x02+7=0，则由y′=0，得x0=0或x0=2，
且当x0=0时，y=7>0，x0=2时，y=－1<0．
所以方程2x03－6x02+7=0有3个解，
则过点A(2，1)作曲线f(x)=x3－3x的切线的条数是3条．
3(★★) 已知曲线的一条切线经过点，求该切线方程．
【答案】 或
【解析】设切点为(m，n)，
y=4x2的导数为y′=8x，
则切线的斜率为k=8m，
切线方程为y－n=8m(x－m)，
代入(0，－1)可得n=8m2－1，
又n=4m2．
则有4m2－1=0，
解得m或，
则切线的斜率为2或－2．
即有过点(0，－1)的切线方程为或．
4(★★) 已知函数，求经过点的曲线的切线方程．
【答案】 或
【解析】设切点坐标为P(a，a3－4a2+5a－4)，
∵f(x)=x3－4x2+5x－4，∴f′(x)=3x2－8x+5，
∴切线的斜率为f′(a)=3a2－8a+5，
由点斜式可得切线方程为y－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(x－a)，①
又根据已知，切线方程过点A(2，－2)，
∴－2－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(2－a)，即a3－5a2+8a－4=0，
∴(a－1)(a2－4a+4)=0，即(a－1)(a－2)2=0，
解得a=1或a=2，
将a=1和a=2代入①可得，切线方程为y+2=0或x－y－4=0，
故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为或
【题型三】两曲线的公切线
【典题1】 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【解析】设直线与和的切点分别为()和()，
则切线分别为，，
化简得：，，
依题意有：，
由方程①得，代入方程②解得，
则．
故答案为：．
【点拨】先分别求出两条切线，由于是公切线，所以它们是同一直线，两切线的斜率和轴上的截距相等.
【典题2】若曲线 与曲线 存在公共切线，则的取值范围为 ．
【解析】在点的切线斜率为，
切线方程为;
在点的切线斜率为，切线方程为;
如果两个曲线存在公共切线，那么两切线相同，
则有，
，，
由②①，得，即，
代入得，
存在公共切线，等价于方程有解，
由的图象有交点即可．
设它们刚好相切，切点为，
则，且，
解得，
由图易得要满足题意，
又，
故答案为 ．
【点拨】得到”有解”，可用分离参数法转化为有解，
即与有交点，从而转化为求函数的的值域；
在递增，在递减，
且.
巩固练习
1(★★) 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．
【答案】
【解析】f(x)=x lnx的导数为y′=lnx+1，
曲线f(x)=x lnx在x=e处的切线斜率为k=2，
则曲线f(x)=x lnx在点(e，f(e))处的切线方程为y=2x－e．
由于切线与曲线y=x2+a相切，故y=x2+a可联立y=2x－e，得 x2－2x+a+e=0，
所以由△=4－4(a+e)=0，解得a=1－e，
故答案为：．
2(★★) 若存在过点的直线与曲线和都相切，则实数 ．
【答案】 或
【解析】设直线与曲线y=x3的切点坐标为(x0，y0)，
则，则切线的斜率k=3x02=0或k，
若k=0，此时切线的方程为y=0，
由，
消去y，可得ax2x－9=0，
其中△=0，即()2+36a=0，
解可得a；
若k，其切线方程为y(x－1)，
由，
消去y可得ax2－3x0，
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=－1．
故或．
3(★★★) 若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】f(x)=x2+1的导数为f′(x)=2x，g(x)=aex+1的导数为g′(x)=aex，
设公切线与f(x)=x2+1的图象切于点(x1，x12+1)，
与曲线C：g(x)=aex+1切于点(x2，aex2+1)，
∴2x1=aex2，
化简可得，2x1，得x1=0或2x2=x1+2，
∵2x1=aex2，且a>0，∴x1>0，则2x2=x1+2>2，即x2>1，
由2x1=aex2，得a，
设h(x)(x>1)，则h′(x)，
∴h(x)在(1，2)上递增，在(2，+∞)上递减，
∴h(x)max=h(2)，
∴实数a的取值范围为(0，]，
故答案为：．
4(★★★) 若曲线与存在公共切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】 (－∞，0)∪(0，2e]
【解析】y=alnx在点(n，alnn)(n>0)的切线斜率为，切线方程为：y－alnn(x－n)，
因为切线方程也是曲线y=x2的切线方程，
所以x2－alnn(x－n)，可得△0，可得a=4(1－lnn)n2，
令f(n)=4(1－lnn)n2，(n>0)，
可得f′(n)=4n(1－2lnn)，当n∈(0，)时，f′(n)>0，函数是增函数，
当n∈(，+∞)时，f′(n)＜0，函数是减函数，所以f()=2e是函数的最大值，
所以a∈(－∞，0)∪(0，2e]．
