导数与函数的单调性
1 函数单调性与导数
在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增；
若，则函数在这个区间内单调递减．
2 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得；
解释 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数，即是个常数，则原函数不可能在内单调递增.
函数在某个区间内单调递减有类似结论！
【题型一】 不含参函数的单调性
【典题1】函数的定义域为，且图象如图所示，则不等式的解集为 .
【解析】由图可知，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，．
不等式可等价于或，
当时，有，即；
当时，有，即，
综上所述，不等式的解集为．
【点拨】由原函数图像判断出原函数的单调性，继而得到导函数的正负性(导函数的穿线图)，再看图易得不等式解集.注意原函数的趋势图与导函数的穿线图之间的转化.
【典题2】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【解析】，则，
若在区间上单调递增，则在恒成立 ，
方法一 分离参数法
要成立等价于在恒成立，
令，，
则，在递增，
故，
故，
方法二 数形结合法
令，它是开口向下，过定点，
结合图像可知若要成立，只需要.
【点拨】
① 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得；
② 处理恒成立问题，方法多样，比如直接转化为最值问题，利用分离参数法转化为最值问题，数形结合等.
【典题3】 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且对任意实数都有，则不等式的解集为 .
【解析】设，
则．
故在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，
而不等式，即，
又在上单调递增，．
【点拨】
本题属于构造函数题型，如何构造呢？角度有二
① 从已知条件入手，
思考 ，
这需要熟悉求导法则的逆运用，下表举例供参考(其中是常数)：
(1) 形式，构造函数；
(2)；
(3) ；
(4)
(5) ；
(6) ；
形式多样，不需要死记，要灵活运用，本题可利用第(5)个例子.
② 从求证入手，要求不等式，变形得，想到构造函数也不难.
【典题4】求函数的单调区间.
【解析】函数的定义域是， (注意定义域)
由，得，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在递减，在递增，
故，
故在递增，无递减区间.
【点拨】
① 本题其实是对原函数进行了“二次求导”，思路可以如下
求原函数的单调区间
分析导函数的正负性(即的零点问题)
若能画出的图像一切就清楚，那就再分析的单调性和最值，故二次求导了.
② 原函数的单调性与导函数的正负性相关，分析导函数的正负性利用注重导函数的零点问题；
③ 是个重要的不等式.
巩固练习
1(★) 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为 .
【答案】(－2，－1)∪(－1，1)
【解析】结合导数与单调性关系可知，
－2当－10，
由不等式可得，(x+1)f′(x)>0，
解可得，－1故不等式的解集(－2，－1)∪(－1，1)．
2(★★) 已知，，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令f(x)=a－c=x－ln(x+1)，x>0，f′(x)=10，
∴函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)=0，可得a>c．
令g(x)=c－b=ln(x+1)－x，x∈(0，+∞)．
∴g′(x)1+x0，
∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴g(x)>g(0)=0．
∴c>b．
综上可得：a>c>b．
故选：D．
3(★★) 已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令F(x)=f(x)－2x－1，
则F′(x)=f′(x)－2，
又∵对 x∈R恒有f′(x)<2，
∴F′(x)=f′(x)－2<0恒成立，
∴F(x)=f(x)－2x－1是R上的减函数，
又∵F(1)=f(1)－2－1=0，
∴当x≤1时，F(x)≥F(1)=0，即f(x)－2x－1≥0，
即不等式f(x)≥2x+1的解集为(－∞，1]．
故选：B．
4(★★) 已知函数，若，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数f(x)=x2－xsinx=x(x－sinx)，
设g(x)=x－sinx，x∈(0，+∞)，
则g'(x)=1－cosx≥0在(0，+∞)恒成立，
∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴g(x)>g(0)=0，
即函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，且g(x)>0，
又∵函数y=x在(0，+∞)上单调递增，且y>0，
∴函数f(x)=x2－xsinx=x(x－sinx)，在(0，+∞)上单调递增，且f(x)>0，
又∵f(－x)=(－x)2－(－x)sin(－x)=x2－xsinx=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数，
∴a=f(log0.23)=f(－log53)=f(log53)，b=f(log30.2)=f(－log35)=f(log35)，
∵，∴，而log35>log33=1，0.23=0.008，
∴，
又∵函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴，
即b>a>c，
故选：B．
5(★★★) 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2] C．(－1，1) D．[－1，1]
【答案】B
【解析】依题意，f(x)=2sinxcosx－4x－msinx，
所以f′(x)=2(2cos2x－1)－4－mcosx=4cos2x－mcosx－6≤0对 x∈[0，2π]恒成立．
设t=cosx∈[－1，1]，g(t)=4t2－mt－6，
则g(t)≤0在[－1，1]上恒成立，
由二次函数的性质得
解得－2≤m≤2，
故选：B．
6(★★★) 定义在上的函数满足，为的导函数，且对恒成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
在上单调递增，，
即，又，∴，
令，则，
∴函数在上单调递减，，
即，又，∴．
综上．
故选：A．
7(★★★) 求函数的单调性.
【答案】函数的单调递增区间为，无单调递减区间
【解析】 f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=ex－1－lnx－1，，
因为f''(x)在(0，+∞)上单调递增，且f''(1)=0，
所以当x∈(0，1)时，f''(x)<0，f'(x)单调递减，
当x∈(1，+∞)时，f''(x)>0，f'(x)单调递增，
从而当x∈(0，+∞)时，f'(x)≥f'(1)=0，f(x)单调递增，
故函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
【题型二】 含参函数的单调性
【典题1】 讨论的单调性.
【解析】的定义域为，(注意函数的定义域)
，(通分，因式分解是常规操作)
令；与的符号相同)
(第一步：讨论函数类型)
(1)当时，
当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减；
(2)当时，令，解得；
(第二步：讨论二次函数开口方向)
①当时，抛物线开口向下，
由于 (留意导函数零点和定义域端点的大小)
时，，即，函数单调递增；
时，，即，函数单调递减.
②当时，抛物线开口向上，
(第三步：比较导函数零点大小)
当时，，恒成立，(不要忘了两根相等的情况)
此时，函数在上单调递增；
当时，，
时，，即，函数单调递增；
时，，即，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
当时，
时，，函数单调递增；
时，，即，函数单调递减；
时，，即，函数单调递增；
当时，， 留意导函数零点和定义域端点0的大小)
时，单调递减；
时，，即，函数单调递增；
综上所述：
当时，函数在上单调递增 , 在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增 , 在上单调递减；
当时，函数在单调递增，在单调递减；
当时，函数在单调递减 , 在单调递增.
【点拨】
①原函数的单调性等价于导函数的正负性，我们注重导函数是否存在零点，零点的个数，零点的大小等；
②求导后，通分、因式分解是个好习惯，；能因式分解说明导函数存在零点，本题就不需要考虑讨论判别式.
③ 本题分类讨论思路
④ 在第二，第三步讨论中，要注意导函数零点和定义域端点的大小.
⑤ 在讨论繁琐时，建议以思维导图形式，画“导函数图像”梳理思路，并画上对应每个分类讨论步骤中导函数与原函数的草图.
【典题2】 已知函数的单调性.
【解析】 ，
(1)若时，，由，解得，
当时，；当，，
故在递减，在递增；
(2)若，由，解得或，
① 当时，，
当时，；当或时，，
故在递减，在，递增，
② 当时，，在上恒成立，故在上单调递增，
③ 当时，，
当时，；当或时，，
故在递减，在上单调递增；
综上：当，在递减，在递增，
当时，在递减，在递增，
当时，在上单调递增，
当时，在递减，在上单调递增．
【点拨】
① 令，，与的正负性一致，
若令，解得或是错的，
因为当时才有意义，故要按照和分类讨论；
② 若时，零点有两个或，讨论的正负性，
由于与的正负性一样，
所以与的正负性一样.
③ 分类讨论思维导图如下
分类讨论有两点较难的地方
(1) 分类的“不漏不重”:把每段分类看成一个集合，每两个集合间交集为空集即为“不重”，所有集合的并集是全集即为“不漏”；
(2) 分类的标准:在利用导数求含参函数的单调性，归纳成以下方法，仅供参考理解，
导函数是否存在零点；
若有零点，有几个？有两个以上，再比较零点大小；
零点与定义域端点的大小比较.
整个分类讨论的思考过程，结合导函数与原函数的图像进行分析能让思路更清晰.
【典题3】设函数的单调性.
【解析】，
令函数，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
当时，，则在是单调递增，
当时，，
易知当时，，当时，，
由零点存在性定理知：存在，使得，
不妨设，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
故函数在递增，在递减，在递增.
综上，当时，在是单调递增；当时，
巩固练习
1 (★★) 求函数的单调区间.
【解析】易知，函数的定义域为(0，+∞)，
因为．
若，则，此时原函数不具有单调性；
若，当时，，此时函数为增函数，
当时，，此时函数为减函数；
若，当时，，此时函数为减函数，
当时，，此时函数为增函数；
2 (★★) 求函数的单调性.
【解析】 依题意，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f′(x)=2ax，
①a<0时，l令2ax2+2－a=0，可得x20，
x，(负值舍去)，
当x∈(0，)时，f'(x)>0，当x，+∞)时，f'(x)<0，
故函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)单调递减．
②0≤a≤2时，f'(x)>0恒成立，函数在(0，+∞)上单调递增，
③a>2时，当x∈(0，)时，f'(x)<0，当x，+∞)时，f'(x)>0，
故函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)单调递增．
综上，时，函数在(0，)上单调递增，在(，+∞)单调递减．
时，函数在上单调递增，
时，函数在(0，)上单调递减，在(，+∞)单调递增．
3 (★★★) 求函数的单调性.
【解析】(1)f′(x)=－a(x－1)+(x－1)ex=(x－1)(ex－a)，
∵a>0，由f′(x)=0可得x=1或x=lna，
(i)当时，，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减；
(ii)当时，，在上恒成立，即在上单调递增；
(iii)当时，，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减；
【题型三】函数单调性的应用
【典题1】已知且，且，且，则( )
A． B． C． D．
【解析】根据题意，设， (同构)
且，变形可得，即，
且，变形可得，即，
且，变形可得，即，
，其导数，
在区间上，，则为减函数，
在区间上，，则为增函数，
其草图如图，则有，
故选：．
【点拨】
① 本题通过构造函数再利用单调性判断大小. 如何构造函数呢？
通过变形寻找“相似结构”为关键，通过移项变形为，此时等式两边式子的结构想到函数.
下面再举些例子：
移项易得函数；
变形可得函数；
两边取对数得易得函数.
两边取对数得可得函数，
或者两边平方得.
通过变形可得函数则有.
② 是常见的超越函数，其图象如下图.
【典题2】已知，则下列不等式中恒成立的是( )
A． B． C． D．
【解析】构造函数，则，
令，解得，令，解得，
函数在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
函数f(x)在上单调递增，
，即，
，即，
故选：．
【点拨】
① 遇到“指数型函数”可两边取对数找到需要构造的函数.
② 对于选项左右式子“结构相似”可构造函数但这函数复杂故放弃，两边取对数可得则可构造函数它在上递减，上递增 , 故判断不了大小.
③是常见的超越函数，其图象如下图.
巩固练习
1(★★) 若，，则的大小是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设f(x)，f′(x)，
令f′(x)>0，可得0e，
所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
因为e<4<5.3<6，
所以f(4)>f(5.3)>f(6)，
即，即a>b>c．
故选：B．
2(★★) 若，且，则下列结论中必定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式αsinα－βsinβ>cosα－cosβ，可整理为αsinα－cosα>βsinβ－cosβ，
令f(x)=xsinx－cosx，x∈[，]，上述不等式等价于f(α)>f(β)，
∵f(－x)=(－x)sin(－x)－cos(－x)=xsinx－cosx=f(x)，∴f(x)为偶函数．
又f'(x)=2sinx+xcosx，
∴当00，xcosx≥0，∴f'(x)>0，
∴f(x)在(0，]上单调递增，在[，0)上单调递减．
结合f(x)的单调性和奇偶性可作出函数f(x)的大致草图如下：
∵f(α)>f(β)，∴|α|>|β|．
故选：D．
3(★★) 若(，)，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，
令，则，
∴函数f(t)在R上单调递增，
∵，即f(lnx)∴lnx∴1∴y－x>0，
∴ey－x>e0=1．
故选：A．
4(★★★) 已知，，若，则下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数f(x)=ex－cosx，x∈(0，π)，则f′(x)=ex+sinx>0，
∴函数f(x)在(0，π)上单调递增，
又eα－eβ=cosα－2cosβ，即eα－cosα=eβ－cosβ－cosβ，亦即f(α)=f(β)－cosβ，
①当时，cosβ>0，则f(β)>f(α)，
∴β>α；
②当时，cosβ<0，则f(β)∴α>β；
又函数y=sinx在单调递增，在单调递减，
故由①②可知，选项A一定成立．
故选：A．导数与函数的单调性
1 函数单调性与导数
在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增；
若，则函数在这个区间内单调递减．
2 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得；
解释 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数，即是个常数，则原函数不可能在内单调递增.
函数在某个区间内单调递减有类似结论！
【题型一】 不含参函数的单调性
【典题1】函数的定义域为，且图象如图所示，则不等式的解集为 .
【典题2】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【典题3】 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且对任意实数都有，则不等式的解集为 .
【典题4】求函数的单调区间.
巩固练习
1(★) 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为 .
2(★★) 已知，，，，则( )
A． B． C． D．
3(★★) 已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为( )
A． B． C． D．
4(★★) 已知函数，若，，，则( )
A． B． C． D．
5(★★★) 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2] C．(－1，1) D．[－1，1]
6(★★★) 定义在上的函数满足，为的导函数，且对恒成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
7(★★★) 求函数的单调性.
【题型二】 含参函数的单调性
【典题1】 讨论的单调性.
【典题2】 已知函数的单调性.
【典题3】设函数的单调性.
巩固练习
1 (★★) 求函数的单调区间.
2 (★★) 求函数的单调性.
3 (★★★) 求函数的单调性.
【题型三】函数单调性的应用
【典题1】已知且，且，且，则( )
A． B． C． D．
【典题2】已知，则下列不等式中恒成立的是( )
A． B． C． D．
巩固练习
1(★★) 若，，则的大小是( )
A． B． C． D．
2(★★) 若，且，则下列结论中必定成立的是( )
A． B． C． D．
3(★★) 若(，)，则( )
A． B． C． D．
4(★★★) 已知，，若，则下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
