导数与函数的极值、最值
1 极值的概念
若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值；
若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
PS：
① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图；
② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和.
③ 对于极值还有特别强调一下
Eg 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( )
A. 必有 B.不存在
C. 或不存在 D.存在但可能不为
解析：函数，
，
但时，时，；
故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道.
又如函数，
当时，； 当时，；
所以在处取到极值，但在导数不存在；故选.
总结
① 若可导，且是的解；
② 若是的解，.
③ 定义很重要.
2 求函数的极值的方法
解方程，当时：
(1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
(2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
3 函数在上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数在内的极值；
(2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【题型一】极值的概念
【典题1】 【多选题】设函数的定义域为是的极大值点，以下结论错误的是( )
A． B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
【典题2】 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有( )
A．个极大值点，个极小值点 B．个零点
C．个零点 D．个极小值点，无极大值点
【典题3】 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 .
巩固练习
1(★) 已知函数的导函数为函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．的极小值为极大值为 D．的极大值为极小值为
2(★)已知函数的极值点为则所在的区间为( )
A． B． C． D．
3(★★)若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是 .
4(★★) 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是 .
5(★★★) 若函数存在两个极值点则的取值范围是 .
【题型二】求函数极值
【典题1】 已知函数是函数的极值点，以下几个结论中正确的是( )
A． B．
C． D．
【典题2】 讨论的极值点的个数.
【典题3】 讨论函数的极值点的个数；
【典题4】 若有两个极值点．
(1)求的取值范围； (2)证明的极小值小于．
巩固练习
1(★★) 函数(为自然对数的底数)，则下列说法正确的是( )
A．在上只有一个极值点 B．在上没有极值点
C．在处取得极值点 D．在处取得极值点
2 (★★) 若是函数的极值点，则的极大值为 ．
3(★★) 设函数则的各极大值之和为 ．
4 (★★★) 已知函数若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是 ．
5 (★★★) 讨论的极值点的个数.
6 (★★★★) 已知函数在定义域内有两个不同的极值点．
(Ⅰ)求实数的取值范围；
(Ⅱ)当时，设有两个不同的极值点且若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【题型三】求函数最值
【典题1】 下列不等式中恒成立的有( )
A． B．
C． D．
【典题2】 若函数在上有最大值，则的取值范围为 .
【典题3】 已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最小值．
(2)在条件(1)下，当最小值为时，求的取值范围．
巩固练习
1(★) 【多选题】已知函数在区间上存在最小值，则整数可以取( )
A． B． C． D．
2 (★★)【多选题】设的最大值为则( )
A．当时 B．当时
C．当时 D．当时
3(★★★) 已知函数若恒成立，则整数的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4(★★★) 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)是否存在使得在区间上的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．导数与函数的极值、最值
1 极值的概念
若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值；
若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
PS：
① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图；
② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和.
③ 对于极值还有特别强调一下
Eg 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( )
A. 必有 B.不存在
C. 或不存在 D.存在但可能不为
解析：函数，
，
但时，时，；
故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道.
又如函数，
当时，； 当时，；
所以在处取到极值，但在导数不存在；故选.
总结
① 若可导，且是的解；
② 若是的解，.
③ 定义很重要.
2 求函数的极值的方法
解方程，当时：
(1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
(2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
3 函数在上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数在内的极值；
(2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【题型一】极值的概念
【典题1】 【多选题】设函数的定义域为是的极大值点，以下结论错误的是( )
A． B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
【解析】对于，极大值并不一定是最大值，故错误；
对于，是关于轴对称的图象，应是的极大值点，故错误；
对于，是关于轴对称的图象，应是－的极小值点，而，故错误；
对于，相当于关于原点对称的图象，是的极小值点故正确．
故选：．
【点拨】
① 熟悉函数图象的变换：相当于关于轴的对称图象，相当于关于轴的对称图象，相当于关于原点对称的对称图象；
② 数形结合是个好方法.
【典题2】 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有( )
A．个极大值点，个极小值点 B．个零点
C．个零点 D．个极小值点，无极大值点
【解析】由原图可知，，设原图中的两切点横坐标为．
再在同一坐标系中做出与的图象如图：
由图可知，与没有公共点，故函数F(x)没有零点．
直线与、分别交于点，则的函数值可以理解为线段长度；
由图可知：当时，单调递减；当单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增．
故是函数的极小值点，是的极大值点．
故选：．
【点拨】
① 分析函数极值可先分析函数单调性.
② 的函数值可以理解为线段长度这样更好由图象得到函数单调性.
【典题3】 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 .
【解析】因为有两个不同的极值点，
所以在有个不同的零点，
所以在有个不同的零点， （二次函数零点分布问题，数形结合）
所以解得．
【点拨】
① 对于可导函数有个极值，则导函数有个零点；
② 在求解过程中进行转化一定要注意等价转化，本题中不要
若有两个不同的极值点有个不同的零点，那就错，它缺了“定义域”的考量.
巩固练习
1(★) 已知函数的导函数为函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．的极小值为极大值为 D．的极大值为极小值为
【答案】D
【解析】当x∈(－∞,－2)时,x－1<0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,则f'(x)>0,f(x)为增函数；
当x∈(－2,1)时,x－1<0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,则f'(x)<0,f(x)为减函数；
当x∈(1,2)时,x－1>0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,则f'(x)<0,f(x)为减函数；
当x∈(2,+∞)时,x－1>0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,则f'(x)>0,f(x)为增函数,
所以f(x)的极大值为f(－2),极小值为f(2),
结合选项可知,只有选项D正确．
故选：D．
2(★)已知函数的极值点为则所在的区间为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
令g(x)则g(x)单调递减且g(1)=1>0,g(2)ln2<0,
由零点判定定理可得,x0∈(1,2)．
故选：C．
3(★★)若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是 .
【答案】a>0,且a≠2
【解析】因为f(x)=x2－(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,
且
所以f′(x)=0有两个不相等的正实数解,
所以且解得a>0,且a≠2．
4(★★) 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是 .
【答案】,
【解析】,
则,
由题意得：,即恒为
是极小值,时,函数单调递减,时,函数单调递增,
结合二次函数的性质f′(x)的对称轴在x=2的左侧,
即故又,
故,
5(★★★) 若函数存在两个极值点则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数存在两个极值点,
所以的两个根为,
则且,解得,,
所以
,
令,则,
即在上单调递减,
所以,
所以的取值范围是．
【题型二】求函数极值
【典题1】 已知函数是函数的极值点，以下几个结论中正确的是( )
A． B．
C． D．
【解析】在时单调递增，
至多有一个零点，
又，
根据零点判定定理可知在上存在零点，
是函数的极值点，
，且，排除，
而
在递增，，
，
故选：．
【点拨】
① 是的零点，可用零点判定定理判断的大致范围，这属于“隐零点问题”；
② 是可导函数的极值点，则满足，可化简再求它最值.
【典题2】 讨论的极值点的个数.
【解析】函数的定义域为，
，
令，得或，
① 当，即时，
在和(，+∞)上，，在)上，，
当时，取得极大值，当时，取得极小值，故有两个极值点；
②当，即时，，
在上单调递增，无极值点；
③当，即时，
在)和上，，在上，，
当时，取得极大值；当时，取得极小值，故有两个极值点；
④当，即时，
在上，，在上，，
故时，函数求得极小值，无极大值，只有一个极值点．
综上，当时，极值点的个数为；
当时，的极值点的个数为；
当或时，的极值点的个数为.
【点拨】
① 讨论含参函数的极值问题，可转化为含参函数的单调性问题，导函数是“二次函数”型，要注意导函数有几个零点，若有两个零点则比较大小，还要注意零点与定义域端点的大小.
② 分析出导函数图象，进而得到原函数的趋势图，便可很容易得到极值个数.
【典题3】 讨论函数的极值点的个数；
【解析】 的定义域是，，
令，则1，(构造函数，二次求导)
当时，，单调递增；
当时，，，即单调递减；
所以当时，有极大值，也是最大值，
(确定的最大值，想下函数图象与的大小比较决定导函数是否存在零点)
① 当，即时，
所以在上单调递减，此时无极值，
② 当时，，
，
易证时，，
所以，，
故存在满足，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以在处有极小值，在处有极大值．
综上所述，当时，没有极值点；当时，有个极值点．
【点拨】
① 求出导函数，它的图象很难确定，不知道是否存在零点(这与原函数单调性有关)，则考虑二次求导进行分析；
② 当时，导函数存在零点是怎么确定的？
误区：最大值在轴上方且是“先增后减”，想当然说它有两个零点是不严谨的.因为的图象可能如下左图，则只有一个零点；如右图，甚至没有零点；
误区：当时，显然，当时，显然，那可知存在两个零点，也不够严谨；
而因由零点判定定理可确定有两个零点
③ 那“取点”是怎么想到的呢？这需要些技巧，导函数中有参数，取常数是不行的；因有，想到含的指数幂，多尝试就可以！
【典题4】 若有两个极值点．
(1)求的取值范围； (2)证明的极小值小于．
【解析】(1)的定义域为，
，
令， (的正负性与的正负性一致)
的对称轴，开口向上，
① 当时，即，故，
在上单调递增，此时无极值．
② 当时，即，
， (灵活取点)
函数在区间有两个零点，
不妨设，其中．
当时，，
在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
当有两个极值点时，的取值范围为．
(2)由①可知，函数有唯一的极小值点为，且．
又．
（解析式中含，故想到消去）
．
令 (构造函数求最值)
在上恒成立，
在单调递减．
即的极小值小于．
【点拨】
① 函数极值问题都可先分析函数的单调性得到原函数的趋势图；
② 第二问是“隐零点问题”，的值求不出，用零点判定定理确定范围；由于它是导函数零点，不能忘了.
巩固练习
1(★★) 函数(为自然对数的底数)，则下列说法正确的是( )
A．在上只有一个极值点 B．在上没有极值点
C．在处取得极值点 D．在处取得极值点
【答案】C
【解析】,
令,
,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
由于,
所以,
所以在上存在一个零点为,
所以的解为和的解,
所以函数至少存在和,两个极值点,故,错误,正确；
因为,
所以处没有取得极值点,故错误．
故选：．
2 (★★) 若是函数的极值点，则的极大值为 ．
【答案】5e－2
【解析】f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax－1)ex=[x2+(a+2)x+a－1]ex,
由题意可得,f′(1)=2(a+1)e=0,
则a=－1,f′(x)=[x2+(a+2)x+a－1]ex=(x+2)(x－1)ex,
令f′(x)>0,解得x>1或x<－2,令f′(x)<0,解得－2所以函数f(x)在(－∞,－2),(1,+∞)上单调递增,在(－2,1)上单调递减,
故当x=－2时,函数取得极大值f(－2)=5e－2．
故答案为：5e－2．
3(★★) 设函数则的各极大值之和为 ．
【答案】
【解析】∵函数f(x)=ex(sinx－cosx),
∴f′(x)=(ex)′(sinx－cosx)+ex(sinx+cosx)′=2exsinx,
∴x∈(2kπ,2kπ+π)时f(x)函数递增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,函数f(x)递减,
故当x=2kπ+π时,f(x)取极大值,
其极大值为f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)－cos(2kπ+π)]=e2kπ+π,
又0≤x≤2021π,且x=2021π处不能取极值,
∴函数f(x)的各极大值之和为
4 (★★★) 已知函数若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数的定义域是
是函数的唯一一个极值点,
是导函数的唯一根,
在无变号零点,
令,则,
①时,恒成立,在时单调递增,
的最小值为,无解,
②时,有解,为：
时,,单调递减,
时,,单调递增,
的最小值为k,
,
画出函数和的图象,如图示：
由和图象,它们切于,
综上所述,
故答案为：．
5 (★★★) 讨论的极值点的个数.
【答案】当时，在处取得极小值，极值点只有个，
当时，有两个极值点．
【解析】函数的定义域为，
函数的导数(1)
，1；
①若，即时，则由得或(舍)，此时函数为增函数，
由得，此时，此时函数为减函数，
即当时，函数取得极小值，此时无极大值，即极值点有1个，
②若，即时，则由得或，此时函数为增函数，
由得，此时函数为减函数，
即当时，函数取得极小值，
当时，函数取得极大值，即极值点有个，
综上当时，在处取得极小值，极值点只有个，
当时，有两个极值点．
6 (★★★★) 已知函数在定义域内有两个不同的极值点．
(Ⅰ)求实数的取值范围；
(Ⅱ)当时，设有两个不同的极值点且若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(Ⅰ)由题可知f′(x)=ex(x2－a)+ex 2x,
令f′(x)=0,其有两个不相等的实数根,
即x2+2x－a=0有两个不相等的实数根,
则△=22+4a>0,解得．
(Ⅱ)设x1,x2是方程x2+2x－a=0的两个根,且x1又a>0,所以x1+x2=－2,x1x2=－a<0,
x2=－2－x1>0,x1<－2,
eλx1>0恒成立,
即eλ(－2－x2)>0恒成立,即eλ(2+x2)恒成立,
又2+x2>0,所以λ
令函数g(x2)则g′(x2)
当x2>0时,g′(x2)>0,所以函数g(x2)在(0,+∞)上单调递增,
又g(0)所以．
【题型三】求函数最值
【典题1】 下列不等式中恒成立的有( )
A． B．
C． D．
【解析】以下运用“构造函数求最值”的方法判断
选项，
设，则
当时，单调递减；当时，单调递增．
，即在上恒成立，
恒成立，即正确；
选项，
设，令，
在上递增，在上递减，
，即，即错误；
选项，
设，则，
令，解得，当时，单调递减；
当时，单调递增．，即在上恒成立，
恒成立，即正确；
选项，
设，则，
令，
则恒成立，即在上单调递增，又，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
即在上恒成立，
恒成立，即正确．
故选：．
【点拨】
① 通过构造函数证明不等式，选项中运用了二次求导；
② 研究函数的最值，其实最终还是回归到函数单调性的分析，注意结合导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图”进行分析函数最值；
③ 熟记，，以后你们会经常见到它们.
比如，这就容易得知正确.
【典题2】 若函数在上有最大值，则的取值范围为 .
【解析】函数，可得，
令，解得或，
时，递减；或时，递增，
所以函数在时取得极大值且极大值为．
函数在上有最大值，其中
(由于取不到，即最大值不是，那只能是，如图所示，
是不可能超过点)
，
即解得．
【点拨】
①本题的“坑”就在函数的定义域是个开区间，取不到；在分析函数性质的问题中，结合图象去分析会让你更容易找到突破口.
②本题还可以令，解得或，则.
【典题3】 已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最小值．
(2)在条件(1)下，当最小值为时，求的取值范围．
【解析】(1)函数的定义域是，
当时，，
(因为，所以中的，则导函数的正负性等价于在上的正负性，比较与的大小进行分类讨论)
①当，即时，，在上单调递增，
所以在上的最小值是；
②当时，即时，在递减，在递增，
在上的最小值是；
③当时，即时，在上单调递减，
在上的最小值是；
综上所述，当时，最大值为；
当时，最大值为；
当时，最大值为.
(3)由(2)时，在上的最小值是，符合题意；
时，在上的最小值是，不合题意；
时，在上的最小值是，不合题意．
综上可知，的取值范围为．
【点拨】
① 求含参函数的最值，也需要先分析讨论函数的单调性，得到导函数的“穿线图”和原函数的“趋势图”就很容易确定最值；本题是属于“一次函数”型的导函数分析，注意零点
与定义域端点的大小比较；
② 在第三问中不要令，求的值，注意到这恒成立式子就剩下不少脑细胞了！有时候对含参函数要注意它会不会过某些定点，一般都是令
之类的特殊值.
巩固练习
1(★) 【多选题】已知函数在区间上存在最小值，则整数可以取( )
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由f(x)x3+x2－2,得f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(－∞,－2),(0,+∞)上是增函数,
在(－2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,
令x3+x2－2=－2,得x=0或x=－3,
则结合图象可知解得：a∈[－1,2),又a∈Z,
∴a可以取－1,0,1．故选：BCD．
2 (★★)【多选题】设的最大值为则( )
A．当时 B．当时
C．当时 D．当时
【答案】AB
【解析】对于A：当a=－1时,f(x)=xsinx,f′(x)=sinx+xcosx>0,x∈[],
故f(x)在[]递增,
故M=f(sin故A正确；
对于 B：a=1时,f(x)f′(x)令h(x)=xcosx－sinx,x∈[],
则h′(x)=cosx－xsinx－cosx=－xsinx<0,h(x)在x∈[]递减,
而h(0,故f′(x)<0,f(x)在x∈[]递减,
故M=f(1,故B正确；
对于C：a=2时,f(x)
则f′(x)令h(x)=xcosx－2sinx,x∈[],
则h′(x)=cosx－xsinx－2cosx=－cosx－xsinx<0,
故h(x)在x∈[]递减,而h()<0,h(x)在x∈[]递减,
而h()<0,即f′(x)<0,f(x)在x∈[]递减,
故M=f(故C错误；
对于D：a=3时,f(x)
则f′(x)令h(x)=xcosx－3sinx,x∈[],
则h′(x)=cosx－xsinx－3cosx=－2cosx－xsinx<0,
故h(x)在x∈[]递减,而h()<0,h(x)在x∈[]递减,
而h()<0,即f′(x)<0,f(x)在x∈[]递减,
故M=f(故D错误；
故选：AB．
3(★★★) 已知函数若恒成立，则整数的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】∵
∴可化为即
令则g'(x)
令h(x)=x－1－ln(x+1),则
当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,∴g'(x)在(0,+∞)单调递增．
又∵
∴ x0∈(2,3)使g'(x0)=0,则ln(x0+1)=x0－1．
当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴
∵x0∈(2,3),∴x0+1∈(3,4),
∴正整数k的最大值为3．
故选：B．
4(★★★) 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)是否存在使得在区间上的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 当b=0时,f(x)=x3+c在R上单调递增,
当b<0时,同理得,函数在(0)上单调递减,在(+∞),(－∞,0)上单调递增,
(2) 或
【解析】(1)f′(x)=3x2+2bx=x(3x+2b),
当b>0时,令f′(x)>0,得x>0或x令f′(x)<0,得x<0,
故函数在(0)上单调递减,在(0,+∞),(－∞)上单调递增,
当b=0时,f(x)=x3+c在R上单调递增,
当b<0时,同理得,函数在(0)上单调递减,在(+∞),(－∞,0)上单调递增,
(2)假设存在满足条件的b,c,
①当0所以f(x)max=f()=cb3=1,
若f(x)min=f(－1)=b+c－1=－1,
则b=3,c=－1(舍),
若f(x)min=f(0)=c=－1,则b(舍),
②当b时,由(1)知,f(x)在[－1,0]上单调递减,
故当x=－1时函数取得最大值f(－1)=b+c－1=1,
当x=0时,函数取得最小值f(0)=c=－1,
所以b=3,c=－1,
③当b≤0时,由(1)知,f(x)在[－1,0]上单调递增,
故当x=－1时函数取得最小值f(－1)=b+c－1=－1,
当x=0时,函数取得最小值f(0)=c=1,
所以b=－1,c=1,
综上,或
