计数原理与排列组合
1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
① 分类加法计数原理
做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法.
② 分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法.
③ 分类计数原、理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
Eg 小芳要去，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去呢？显然是种方式.
2排列
① 排列概念
从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列.
② 排列数
从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 表示.其中
或
③ 阶乘
表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘 规定．
3 组合
① 组合概念
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
② 组合数
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中
③ 排列与组合的区别
排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”，
比如 一个班有50个学生，选两个班长有多少种选法？
一个班有50个学生，选正副班长各1人有多少种选法？
显然问题，的答案是，选正副班长就意味着：选出的班长还要讲“顺序”.
从个元素中取出个元素的排列(排列数)
可以理解为分为两步：
第一步 从个元素中取出个元素组合，得到组合数；
第二步 再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到
③ 组合数的性质
① 规定:
②
(比如，从10个抽出8个组合的组合数与从10个抽出2个组合的组合数相等)
③
(从个中抽出个抽不到元素的组合数抽到元素的组合数)
④
(，)
PS 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！
【题型一】 计数原理
【典题1】本不同的书，任选本分给个学生，每人一本有多少种不同的分法？
将封信投入个邮筒，有多少种不同的投法？
名运动员争夺项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，那获得冠军有多少种可能
名运动员报名参加项比赛，每人只能参加一项，那有多少种报名方法？
【解析】本不同的书，任选本分给个学生的意思等价于三位学生在本不同的书上选本书，
(可想象下：你是老师，要完成一件事情：安排三个学生去拿书，具体如下)
先让学生去拿书，从本书中任选一本有种选法，
再让学生去拿书，从余下的本书中任选一本有种选法，
最后让学生去拿书，从剩下本书供选择有种选法.
由分步计数原理知：共有种选法.
(2)(想象你是个邮差，你要把四封信放在三个邮筒里，那你会如何投信呢？)
完成这件事分四步进行，每一步投一封信，每一封信都有种选择，即每一封信都有种投法.由分步计数原理知：共有种.
(3)(现在你是颁奖嘉宾，拿着个冠军奖牌给个运动员)
完成这件事分步进行，每一步颁一个奖，都有种不同的可能.由分步计数原理知：共有种方法.
(4)(这次你是教练，你带着运动员去报名)
完成这件事分步进行，每一步是运动员去报名，都有种不同的可能.由分步计数原理知：共有种方法.
(不可假设让比赛项目去挑运动员，否则同一运动员会出现报名多个比赛，是错的)
【点拨】
① 利用计数原理，要先明确你是要分类还是分步；
② 作类似题目可通过想象，想象自己是某个角色去“完成对应的事项”，同时给到对应事物“名称”有助于你的思考.
③ 问题一用到排列组合其实就是或；问题二-四属于“可重复的排列”，它允许一个邮筒里放多封信，一个运动员夺到多个冠军，一个比赛有多个运动员参加.
【典题2】 某广场中心建造一个花圃，花圃分成个部分(如图)，现有种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有________种．(用数字作答)
【解析】
你想象自己是园丁，现在去按要求栽种花，先给不同部分标数字，按照①--⑤顺序栽种，由于②④是否同色会影响到⑤的颜色选择，故要分类讨论，
分两类：
一 ②、④同色
第一步：①可用种颜色；
第二步：②可用剩下的种颜色；
第三步：③可用剩下的种颜色；
第四步：④与②同色，则种颜色选择；
第五步：①、②、④使用了两种颜色，则⑤还有种颜色选择，
即种方法；
二 ②、④不同色
第一步：①可用种颜色；
第二步：②可用剩下的种颜色；
第三步：③可用剩下的种颜色；
第四步：④与②不同色，则种颜色选择；
第五步：①、②、④使用了三种颜色，则⑤还有种颜色选择；
即种方法；
所以一共栽种的方法有.故答案为.
【点拨】 该类型“涂色问题”，要注意②与④是否同色的情况，因为它会影响⑤的选择个数.
巩固练习
1(★) 有名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
【答案】
2(★) 有名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
【答案】
3(★) 将种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是
【答案】180
【解析】方法一：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，
区域A有5种涂法，B有4种涂法，
A，D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5×4×3×2=120种，
A，D同色，D有4种涂法，C有3种涂法，有5×4×3=60种，
∴共有180种不同的涂色方案．
方法二：分步，比如先排BCD，两两不同色，有5×4×3=60种，再排A，只要与BC不同，有3种，故共180种
4(★★) 如图，用种不同的颜色给三棱柱的个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的作色方法共有 种．
【答案】264
【解析】图中每条线段的两个端点涂不同颜色，
可以根据所涂得颜色的种类来分类，
用四种颜色，则有种涂色方法；
用三种颜色，则有种涂色方法；
用两种颜色，则有种涂色方法；
根据分类计数原理知共有种不同的涂色方法．
故选故答案为：264．
5(★★) 如图，用四种不同的颜色给图中的七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有
【答案】
【解析】分别有4，3，2种方法，
①当与相同时，有1种方法，此时有2种，
(1)若与相同有有1种方法，同时有3种方法，
(2)若与不同，则此时有2种方法，
故此时共有：种方法；
②当与相同时，有1种方法，此时有3种方法，
(1)若与相同，有1种方法，同时有2种方法，
(2)若与不同，则有1种方法，
故此时共有：种方法；
③当既不同于又不同于时，有1种方法，
(1)若与相同，则必须与相同，同时有2种方法；
(2)若不同于，则有1种方法，
(Ⅰ)若与相同则有1种方法同时有2种方法；
(Ⅱ)若与不同则必与A相同，有1种方法，同时有2种方法；
故此时共有：种方法；
综上共有种方法．
【题型二】 排列组合数的性质
【典题1】 解方程
(1； (2．
【解析】(1)根据题意，若，
则有或，解得或；
(2)根据题意，，则，有，且，
则有，化简可得：，解得或，
又由，且，则，则方程的解为．
【点拨】 注意的取值范围.
【典题2】 化简．
【解析】
(利用)
(多次利用了)
【点拨】 掌握组合数和排列数的关系，多熟悉组合数的性质.
巩固练习
1(★) [多选题]下列等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，
，故成立．
，故成立．
，
，故 ，即不成立．
，故成立，
故选：．
2(★★) 求证：；
【证明】
3(★★★) 设，求证：
．
【证明】对任意，
①当时，左边，
右边，等式成立．
②假设时命题成立，
即，
当时，
左边
，
右边
.
【题型三】 排列组合解题策略
方法1 特殊元素和特殊位置优先策略
遇到有特殊要求的元素或位置，可以先优先考虑处理他们.
【典题1】由可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
【解析】由于个位必须是奇数，首位(十万位)不能为，有特殊要求，应该优先安排.
(个位、首位属于特殊位置，属于特殊元素)
方法1 从位置的角度入手，作法如下：先排个位有，然后排首位有，最后排其它位置有，由分步计数原理得.
方法2 从元素的角度入手，分类，作法如下：
若五位奇数含的，先排有，再选个奇数排个位有，最后从个数字中选个排列有，由分步计数原理得；
若五位奇数不含的，选个奇数排个位有，再全排列剩下个数有，由分步计数原
理得；故共.
【典题2】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】方法1 (视学生甲为特殊元素，优先处理)
分两步，先安排甲就位，有种可能，再安排其他名学生，有种可能，由分步计数原理得排法有种.
方法2 (视首位与末位为特殊位置，优先处理)
分两步，先从其他名学生中抽出名学生在首位与末位就位(此时甲不可能坐在首位或末位)，有种可能，再安排剩下的名学生就位，有种可能，由分步计数原理得排法有种.
【练习】人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法.
【答案】
方法2 相邻元素捆绑策略
若某几个元素要求相邻，可以用捆绑法来解决问题.
即将需要相邻的元素合并一起视为一个复合元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意复合元素内部也必须排列.
【典题1】人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
【解析】由于甲乙相邻、丙丁相邻，可先将甲乙捆绑看成一个复合元素，丙丁捆绑也看成一
个复合元素，再与其它元素共个元素进行全排列，同时对相邻元素内部进行自排，
由分步计数原理可得共有种不同的排法.
【练习】小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为 .
【答案】
方法3 不相邻问题插空策略
若某些元素要求不能相邻，则采取插空法.
即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.
【典题1】一个晚会的节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
【解析】分两步进行，
第一步 排个相声和个独唱共有种，
第二步 将个舞蹈插入第一步排好的个空档(包括元素之间空档和首尾两个空档)排列，
共有种不同的方法，
由分步计数原理，节目的不同顺序共有种.
【练习】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【答案】
方法4 元素相同问题隔板策略
将个相同的元素分成份(为正整数)，每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，所有分法数为.
【典题1】有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
【解析】题中说“个运动员名额”，说明他们是没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成个空隙.在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法.
【练习】将个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少个，乙至少个，丙至少
个，则共有多少种不同的分法？
【答案】
方法5 定序问题倍缩或空位插入策略
对某些元素的顺序要求是固定的，可用倍缩法或者空位法.
【典题1】 人排队，其中甲乙丙人顺序一定共有多少不同的排法？
【解析】(倍缩法)
对人全排列有种排法，其中甲乙丙的顺序是随意的，
甲乙丙三人排列一共有种(分别是甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲)，
假设“7人排队，其中甲乙丙人按甲乙丙顺序”有种排法，则后种情况同理也是有种排法，所以.
其实个元素排列，其中元素固定顺序，则共有不同排法种数是.
(空位法)
设想人坐在把椅子上照相，那先让除甲乙丙以外的人就坐，共有种方法；其余的三个位置再安排甲乙丙就坐，由于他们顺序一定，即只有种坐法，则共有种方法.
【练习】停车场划出一排个停车位置，今有辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
【答案】
方法6 排列组合混合问题先选后排策略
【典题1】 有个不同的小球，装入个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.
【解析】第一步从5个球中选出个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗
【练习】一个班有名战士，其中正副班长各人现从中选人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有人参加，则不同的选法有 种
【答案】
方法7 平均分组问题除法策略
【典题1】 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，则有多少种不同的分配方案？
【解析】① 分组
分组的时候，分四步取书得种方法，但这里出现重复计数的现象，
不妨给6位志愿者起名字，
我们先看两组都是2人的情况，若第一步是，第二步是，记为，
它与的分法其实是一样的，则重复了次，故分两组2人其实只有；
那两组1人的分法有种，故先将6名志愿者分为4组，共有种分法；
② 分配
再将4组人员分到4个不同场馆去，共有种分法，
故所有分配方案有：种．
【点拨】
① 对于这些分组问题，一般思路是先分组再分配，由于4个场馆是强调不一样的，故后面要有分配；
② 在遇到平均分组的时候，要注意“重复计数的现象”，采取“除法策略”，因为它是“重复了倍数计数”，采取起名字的方法能让你更好理解其中缘由！
【练习1】将名大学生分配到个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则有多少种不同的分配方案？
【答案】
【练习2】本不同的书平均分成堆，每堆本共有多少分法？
【答案】
方法8 环排问题线排策略
一般地，个不同元素作圆形排列，共有种排法.如果从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有.
【典题1】人围桌而坐，共有多少种坐法
【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余人共有种排法.
【练习】颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
【答案】
方法9 分类讨论策略
【典题1】 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？
【解析】分三种情况讨论：
①三人每人本，有种不同的分法，
(由于分组数目一样，可先让甲从本书里拿本，再让乙在剩下的本里拿2本，最后丙拿剩下的本)
②三人中一人本，一人本，一人本，有种不同的分法，
(先给书“分组”，由于题中说到甲乙丙人，说明他们谁拿几本书是有区别的，故还要“后排列”)
③三人中一人本，其余人各本，有90种不同的分法，
(先从本书中抽出本，再把它给甲乙丙其中人，最后把剩下本给剩下人)
则有种不同的分法.
点评
该题本书是不一样的，不能用“隔板法”，要分类讨论.
有点像处理定序问题的倍缩法.
若题目只改一个字“本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有 种不同的分法.”则就用“隔板法”得到答案为种.
【典题2】 已知为的任意一个排列．则满足：对于任意，都有的排列有多少个？
【解析】根据题意，为的任意一个排列，
则，
若，必有，
当时，任意排列都符合题意，此时有个排列，
当时，只要即符合题意，此时有个排列，
当时，或，此时有
，共个排列符合题意，
则有个满足题意的排列．
【练习】某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 ．
【答案】 18
方法10 正难则反总体淘汰策略
若题目从其正面入手比较麻烦，可能分类太多或不确定，或不清楚是否出现“重复计数”，则可考虑从反面入手用“淘汰法”.
【典题1】从这十个数字中取出三个数，使其和为不小于的偶数，不同的取法有多少种？
【解析】这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法.
三个数之和为偶数有两种可能，所取的三个数含有3个偶数的取法有，只含有1个偶数的取法有，和为偶数的取法共有，而其中和小于10的偶数共9种，
符合条件的取法共有
【典题2】 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法
【解析】方法一 分类讨论
① 甲在最右端，有种方法；
② 乙在最左端，甲不在最右端，有种方法；
③ 甲乙均在中间，有种方法；
则一共有种方法.
(本题有两个特殊元素，若采取分类讨论的方法，则比较麻烦.)
方法二 淘汰法
6人全排列，有种方法；
甲在最左端，有种方法；乙在最右端，有种方法；
甲在最左端且乙在最右端，有种方法；
则一共有种方法.(不要漏加回)
(利用集合中的图，更便于理解.)
【点拨】遇到这种由于限制条件有些多，导致分类太多或者不能很明确分类的时候，可以采取淘汰法！
巩固练习
以下每题尽量用多种方法求解.
1(★★) 【多选题】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则( )
A．某学生从中选门，共有种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法
【答案】CD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，某学生从中选3门，6门中选3门共有种，故A错误；
对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排“射”“御”，共有种排法，故B错误；
对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法分析：将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有种排法，故C正确；
对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，若课程“乐”排在最后一周，有A55种排法，若课程“乐”不排在最后一周，
有C41C41A44种排法，则共有种排法，故D正确．
故选：CD．
2(★★) 将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数(首位不为)，则产生的不同的位数的个数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行，拼成一个8位数，
由于0不能在首位，则有5×A55=600个8位数，
其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”之前的排法有60种，
“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”之前的排法有48种，
“20”和“19”都出现2次的排法有6种，
则满足题意的8位数有600－60－48+6=498个，
故选：B．
3(★★) 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次．三人去询问比赛结果，裁判对说：“你和都不是第一名”；对说：“你不是最差的”；对说：“你比的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有 种不同情况．
【答案】180
【解析】根据题意，不是第一名，也不是最后一名，则可以为第二、三、四、五名，
据此分4种情况讨论：
①B为第二名，必须为第一名，剩下4人，安排在第三、四、五、六名，有种情况，
②B为第三名，
若C为第一名，A有4种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有4×6=24种情况，
若C为第二名，A有3种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有3×6=18种情况，
此时有24+18=42种情况，
③B为第四名，
若C为第一名，A有4种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有4×6=24种情况，
若C为第二名，A有3种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有3×6=18种情况，
若C为第三名，A有2种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有2×6=12种情况，
此时有24+18+12=54种情况，
④B为第五名，
若C为第一名，A有4种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有4×6=24种情况，
若C为第二名，A有3种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有3×6=18种情况，
若C为第三名，A有2种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有2×6=12种情况，
若C为第四名，A有1种情况，剩下3人有A33=6种情况，此时有1×6=6种情况，
此时有24+18+12+6=60种情况，
则一共有24+42+54+60=180种情况；
故答案为：180．
4(★★★) 设集合，则集合中满足条件“3”元素个数为 ．
【答案】130
【解析】由xi∈{－1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，
由于|xi|只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①xi中有2个取值为0，另外3个从－1，1中取，共有方法数：；
②xi中有3个取值为0，另外2个从－1，1中取，共有方法数：；
③xi中有4个取值为0，另外1个从－1，1中取，共有方法数：2．
∴总共方法数是：2=130．
故答案为：130．
5(★★★) 一个含有项的数列满足，，
且，则符合这样条件的数列共有 个．
【答案】
【解析】由题意，，其中 ．
由于问题中的 可能相等，导致问题相对复杂，
构造数列 ，
则可将原问题看作，其中，
此问题相当于在和 中间(共个数)取个数从大到小构成数列，共有 个数，
考虑到，故共有 个满足条件的数列．
故答案为：．
6(★★★) 在班级活动中，名男生和名女生站成一排表演节目：(写出必要的数学式，结果用数字作答)
(1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
(2)四名男生相邻有多少种不同的排法？
(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？(甲乙丙三位同学身高互不相等)
(5)从中选出名男生和名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？
(6)现在有个座位连成一排，仅安排个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？
【答案】（1）1440 （2）3720 （3） （4）840 （5）432 （6）480
【解析】(1)根据题意，分2步进行分析：
①，将4名男生全排列，有24种情况，排好后有5个空位，
②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有60种情况，
则三名女生不能相邻的排法有24×60=1440种；
(2)根据题意，分2步进行分析：
①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有24种情况，
②，将这个整体与三名女生全排列，有24种情况，
则四名男生相邻的排法有24×24=576种；
(3)根据题意，分2种情况讨论：
①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有720种情况，
②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有120种站法，
则此时有5×5×120=3000种站法，
则一共有720+3000=3720种站法；
(4)根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果，
甲乙丙三人内部的排列共有6种结果，
要使得甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840；
(5)根据题意，首先将4名男生和3名女生中各选出2人，有18种情况，其次4人分四个不同角色，有24种情况，共有18×24=432种选派方法；
(6)根据题意，恰好有两个空座位相邻分2种情况：①，两个相邻空座位在两边，12或67上，第三个空座4种选择；②，两个相邻空座位在中间，可能是23，34，45，56中的一个，第三个空位有3种选择，4个男生全排列有24种坐法，共(2×4+4×3)×24=480种选派方法．
7 (★★★) 由这六个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的四位数？
(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)能组成多少个无重复数字且被整除的四位数？
(4)组成无重复数字的四位数中比大的数有多少个？
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】(1)根据题意，四位数的千位不能为0，有A51种选法，
在剩下的5个数字中任选3个，作为四位数的后三位数字，有A53种选法，
则有个无重复数字的四位奇数；
(2)根据题意，分2种情况讨论：
①0在四位数的个位，在剩下的5个数字中任选3个，作为四位数的前三位数字，有A53种选法，
②0不在四位数的个位，则四位数的个位有A21种选法，千位数字有A41种选法，
在剩下的4个数字中任选2个，作为四位数的百位和个位数字，有A42种选法，
则有个无重复数字的四位偶数
(3)根据题意，分2种情况讨论：
①四位数的最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做千位，剩下的三个数字选一个放在百位，共有A31A31种选法，
②四位数的最后两位数字是50，共有A42种选法，
则有个符合题意的四位数；
(4)根据题意，分4种情况讨论：
①四位数的千位数字为5，在剩下的5个数字中任选3个，作为四位数的后三位数字，有A53个四位数，
②四位数的千位数字为4，百位数字为1、2、4、5中1个时，在剩下的4个数字中任选2个，作为四位数的十位、个位数字，有A41A42个四位数，
③四位数的千位数字为4，百位数字为0，十位数字为5时，有A31个四位数，
④四位数的千位数字为4，百位数字为0，十位数字为3时，只有4035这一个四位数符合条件，
则有个符合题意的四位数.
8(★★★) 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
个不同的小球放入个不同的盒子；
个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
个相同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
个不同的小球放入个不同的盒子，恰有个空盒．
【答案】（1）243 （2） （3） （4）
【解析】(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个小球都有3种可能，利用乘法原理可得不同的方法有35=243；
(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把5个小球分组，有两种分法：2、2、1；3、1、1；
再放入3个不同的盒子，故不同的方法共有；
(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，不同的方法共有；
(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把5个小球分2组，有两种分法：3、2；4、1；
再放入3个不同的盒子，故不同的方法共有．计数原理与排列组合
1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
① 分类加法计数原理
做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法.
② 分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法.
③ 分类计数原、理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
Eg 小芳要去，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去呢？显然是种方式.
2排列
① 排列概念
从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列.
② 排列数
从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 表示.其中
或
③ 阶乘
表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘 规定．
3 组合
① 组合概念
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
② 组合数
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中
③ 排列与组合的区别
排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”，
比如 一个班有50个学生，选两个班长有多少种选法？
一个班有50个学生，选正副班长各1人有多少种选法？
显然问题，的答案是，选正副班长就意味着：选出的班长还要讲“顺序”.
从个元素中取出个元素的排列(排列数)
可以理解为分为两步：
第一步 从个元素中取出个元素组合，得到组合数；
第二步 再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到
③ 组合数的性质
① 规定:
②
(比如，从10个抽出8个组合的组合数与从10个抽出2个组合的组合数相等)
③
(从个中抽出个抽不到元素的组合数抽到元素的组合数)
④
(，)
PS 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！
【题型一】 计数原理
【典题1】本不同的书，任选本分给个学生，每人一本有多少种不同的分法？
将封信投入个邮筒，有多少种不同的投法？
名运动员争夺项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，那获得冠军有多少种可能
名运动员报名参加项比赛，每人只能参加一项，那有多少种报名方法？
【典题2】 某广场中心建造一个花圃，花圃分成个部分(如图)，现有种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有________种．(用数字作答)
巩固练习
1(★) 有名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
2(★) 有名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
3(★) 将种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是
4(★★) 如图，用种不同的颜色给三棱柱的个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的作色方法共有 种．
5(★★) 如图，用四种不同的颜色给图中的七个点涂色，要求每个点涂一
种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有
【题型二】 排列组合数的性质
【典题1】 解方程
(1； (2．
【典题2】 化简．
巩固练习
1(★) [多选题]下列等式正确的是( )
A． B．
C． D．
2(★★) 求证：；
3(★★★) 设，求证：
．
【题型三】 排列组合解题策略
方法1 特殊元素和特殊位置优先策略
遇到有特殊要求的元素或位置，可以先优先考虑处理他们.
【典题1】由可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
【典题2】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【练习】人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法.
方法2 相邻元素捆绑策略
若某几个元素要求相邻，可以用捆绑法来解决问题.
即将需要相邻的元素合并一起视为一个复合元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意复合元素内部也必须排列.
【典题1】人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
【练习】小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为 .
方法3 不相邻问题插空策略
若某些元素要求不能相邻，则采取插空法.
即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.
【典题1】一个晚会的节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
【练习】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
方法4 元素相同问题隔板策略
将个相同的元素分成份(为正整数)，每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，所有分法数为.
【典题1】有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
【练习】将个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少个，乙至少个，丙至少
个，则共有多少种不同的分法？
方法5 定序问题倍缩或空位插入策略
对某些元素的顺序要求是固定的，可用倍缩法或者空位法.
【典题1】 人排队，其中甲乙丙人顺序一定共有多少不同的排法？
【练习】停车场划出一排个停车位置，今有辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
方法6 排列组合混合问题先选后排策略
【典题1】 有个不同的小球，装入个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.
【练习】一个班有名战士，其中正副班长各人现从中选人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有人参加，则不同的选法有 种
方法7 平均分组问题除法策略
【典题1】 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，则有多少种不同的分配方案？
【练习1】将名大学生分配到个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则有多少种不同的分配方案？
【练习2】本不同的书平均分成堆，每堆本共有多少分法？
方法8 环排问题线排策略
一般地，个不同元素作圆形排列，共有种排法.如果从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有.
【典题1】人围桌而坐，共有多少种坐法
【练习】颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
方法9 分类讨论策略
【典题1】 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？
【典题2】 已知为的任意一个排列．则满足：对于任意，都有的排列有多少个？
【练习】某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 ．
方法10 正难则反总体淘汰策略
若题目从其正面入手比较麻烦，可能分类太多或不确定，或不清楚是否出现“重复计数”，则可考虑从反面入手用“淘汰法”.
【典题1】从这十个数字中取出三个数，使其和为不小于的偶数，不同的取法有多少种？
【典题2】 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法
巩固练习
以下每题尽量用多种方法求解.
1(★★) 【多选题】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则( )
A．某学生从中选门，共有种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法
2(★★) 将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数(首位不为)，则产生的不同的位数的个数是( )
A． B． C． D．
3(★★) 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次．三人去询问比赛结果，裁判对说：“你和都不是第一名”；对说：“你不是最差的”；对说：“你比的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有 种不同情况．
4(★★★) 设集合，则集合中满足条件“3”元素个数为 ．
5(★★★) 一个含有项的数列满足，，
且，则符合这样条件的数列共有 个．
6(★★★) 在班级活动中，名男生和名女生站成一排表演节目：(写出必要的数学式，结果用数字作答)
(1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
(2)四名男生相邻有多少种不同的排法？
(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？(甲乙丙三位同学身高互不相等)
(5)从中选出名男生和名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？
(6)现在有个座位连成一排，仅安排个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？
7 (★★★) 由这六个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的四位数？
(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)能组成多少个无重复数字且被整除的四位数？
(4)组成无重复数字的四位数中比大的数有多少个？
8(★★★) 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
个不同的小球放入个不同的盒子；
个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
个相同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
个不同的小球放入个不同的盒子，恰有个空盒．
