二项式定理
1 二项式展开式
2 二项展开式的通项公式
3 二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 .
4 二项式系数的性质
(1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值：
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值．
(3)二项式系数和：，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于，
备注
令，则，
令 ，则，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于.
特别提醒
1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分.
2．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项.
【题型一】 二项式展开式
【典题1】若的展开式中，的系数是，则 ( )
A． B．所有项系数之和为
C．二项式系数之和为 D．常数项为
【典题2】在二项式的展开式中，系数最大项的系数是( )
巩固练习
1(★★) [多选题]关于的展开式，下列结论正确的是( )
A．奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．只有第项的二项式系数最大 D．含x项的系数为
2(★★) [多选题]设常数，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是( )
A．若，则各项系数随着项数增加而减小 B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若，，则第项的系数最大 D．若，，则所有奇数项系数和为
3(★★★) [多选题]设，则满足的正整数的值可能为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4(★★★) 已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：
(1)求的值；
(2)求展开式中常数项；
(3)计算式子的值．
【题型二】两个二项式相乘
【典题1】已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有( )
A．
B．展开式中常数项为
C．展开式系数的绝对值的和
D．若为偶数，则展开式中系数是系数的倍
【典题2】 的展开式中的系数为 .
巩固练习
1(★★) 的展开式中的常数项为( )
A．－19 B．－55 C．21 D．56
2(★★) 已知正整数，若的展开式中不含的项，则的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3(★★) 的展开式中的系数是( )
A．10 B．2 C．－14 D．34
4(★★★) 的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是( )
A． B．展开式中含项的系数是
C．展开式中含项 D．展开式中常数项为
【题型三】 多项式展开式
【典题1】 的展开式中项的系数为( )
A．840 B．－600 C．480 D．－360
巩固练习
1(★★) 在的展开式中，的系数为( )
A． B． C． D．
2(★★) 的展开式中的系数是 ．
3(★★) 已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则 ．
【题型四】系数问题
【典题1】已知，则( )
A． B．
C． D．
【典题2】 若，且，则下列结论正确的是( )
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
巩固练习
1(★★) [多选题]已知，则( )
A．的值为 B．的值为
C．的值为 D．的值为
2(★★★) [多选题]已知，则下列结论正确的有( )
A． B．
C． D．
3(★★★) [多选题]已知，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【题型五】 其他应用
【典题1】证明能被整除()．
【典题2】 求的近似值，使误差小于．
【典题3】 求证：．
【典题4】 用二项式定理证明：．
巩固练习
1(★★) 若是正奇数，则被除的余数为( )
A．2 B．5 C．7 D．8
2(★★) 用二项式定理证明：能被整除．
3(★★) 求的近似值(精确到小数点后三位)．
4(★★) 求和．
5(★★) 用二项式定理证明：．
6 (★★★) 记为二项展开式中的项的系数，其中，．
(1)求，，(2)证明：．二项式定理
1 二项式展开式
2 二项展开式的通项公式
3 二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 .
4 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，直线是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值：
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值．
(3)二项式系数和：，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于，
PS
令，则，
令 ，则，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于.
特别提醒
1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分.
2．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项.
【题型一】 二项式展开式
【典题1】若的展开式中，的系数是，则 ( )
A． B．所有项系数之和为
C．二项式系数之和为 D．常数项为
【解析】由，
令，得．
，得，故正确；
，
取，可得所有项系数之和为，故正确；
二项式系数之和为，故正确；
(二项式系数和：)
由，得，展开式的常数项为，故错误．
(常数项即变量的指数为)
故选：．
【点拨】
① 先写出展开式的通项，并把其化为最简的形式；
② 每项的二项式系数与其系数不是同一概念的.
【典题2】在二项式的展开式中，系数最大项的系数是( )
【解析】二项式 的展开式的通项为
设，
则
当时，，即，即递减；
而，故取到最大值，
即系数最大项的系数为
【点拨】先求出系数通项，再利用求数列单调性的方法—作商法(作差法也行)求出最大项.
巩固练习
1(★★) [多选题]关于的展开式，下列结论正确的是( )
A．奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．只有第项的二项式系数最大 D．含x项的系数为
【答案】BD
【解析】（x2）5的展开式的所有二项式系数和为32，奇数项的二项式系数和为16，故A错误；
取x＝1，可得所有项的系数和为﹣1，故B正确；
（x2）5的展开式有6项，第3项与第四项的二项式系数相等且最大，故C错误；
展开式的通项为，
由10﹣3r＝1，得r＝3，
∴含x项的系数为，故D正确．
故选：BD．
2(★★) [多选题]设常数，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是( )
A．若，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若，，则第项的系数最大
D．若，，则所有奇数项系数和为
【答案】BCD
【解析】二项式(1+a)n的展开式的通项为Tr+1=ar nr，
对于A：若a<0，则各项系数一正一负交替出现，故A不对，
对于B：对于任意的r=0，1，2，…，n－1，都成立，
所以a>0，且对任意的r都成立，
∴a>n，故B正确；
当a=－2，n=10，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，
所以，只需比较，，…，，，即可，
可得，最大，即展开式中第7项的系数最大，故C正确；
当a，n=7，则奇数项系数和为：239，故D正确；
故选：BCD．
3(★★★) [多选题]设，则满足的正整数的值可能为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
【解析】二项式的展开式的通项T，
所以，要使，
则，
即()2 22n=2，
化简得n2－5n+6=0，解得n=2或3，
故选：BC．
4(★★★) 已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：
(1)求的值；
(2)求展开式中常数项；
(3)计算式子的值．
【答案】（1）6 （2）60 （3）729
【解析】(1)二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 ：2：5，
求得．
(2)展开式的通项公式为 Tr+1 26－r ，令60，求得r=4，
可得常数项为 22=60．
(3)(2+1)6=36=729．
【题型二】两个二项式相乘
【典题1】已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有( )
A．
B．展开式中常数项为
C．展开式系数的绝对值的和
D．若为偶数，则展开式中系数是系数的倍
【解析】对于，
令，可得的展开式中各项系数的和为，
，故A正确；
对于，易知展开式中通项为
其中，
即
则，
则展开式中常数项为，
由，易得，则，故错误;
对于，
的展开式中各项系数绝对值的和，即项的各系数和，
令，为，故正确；
对于
由，
当时，的系数是，的系数是，而，故不正确.
故选：．
【点拨】对于二个二项式模型“多项式”，比如对于选项，
想象下对展开后的形式:
若要继续展开最后得到常数项，那只有乘以的常数项和乘以的项，
即所求的常数项.
【典题2】 的展开式中的系数为 .
【解析】
，
则的项为1，
即的系数为，
故选：B．
【点拨】式子复杂，若能化简为熟悉的模型“多项式”，在求解过程中更便于思考.
巩固练习
1(★★) 的展开式中的常数项为( )
A．－19 B．－55 C．21 D．56
【答案】B
【解析】的展开式中的常数项为 (－1)3+6(－1)20－36+1=－55，
故选：B．
2(★★) 已知正整数，若的展开式中不含的项，则的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】正整数n≥7，若(x)(1－x)n的展开式中不含x4的项，
则 (1－x)n的展开式中的含x3的项和含x5的项的系数和为0，
即0，∴n=8，
故选：B．
3(★★) 的展开式中的系数是( )
A．10 B．2 C．－14 D．34
【答案】C
【解析】∵(1－x)
=(1－x) ( x4 x3 x2+ )，
故展开式中x的系数是 14，
故选：C．
4(★★★) 的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是( )
A． B．展开式中含项的系数是
C．展开式中含项 D．展开式中常数项为
【答案】AD
【解析】令x＝1则有1+a＝2，得a＝1，故二项式为（x）（2x）5，
（2x）5通项公式为（﹣1）r25﹣rC5rx5﹣2r，r依次为0，1，2，3，4，5
（x）（2x）5的展开式中含x6项系数为（2x）5通项展开式式中x5项系数的与x7项的系数之和，
令5﹣2r＝5解得r＝0，所以（2x）5通项展开式式中x5项系数（﹣1）025C50＝32，
令5﹣2r＝7解得r＝﹣1，不合题意，
∴展开式中含x6项的系数是32，
（x）（2x）5的展开式中含x﹣1项系数为（2x）5通项展开式式中x﹣2项系数的与常数项之和，
令5﹣2r＝﹣2，解得r，不合题意，
令5﹣2r＝0，解得r，不合题意，
则展开式不含x﹣1项，
（x）（2x）5的展开式中含常数项为（2x）5通项展开式式中x﹣1项系数的与x项的系数之和，
令5﹣2r＝﹣1，解得r＝3，令5﹣2r＝1，解得r＝2，
所以其常数项为﹣22×C53+23C52＝40．
故选：AD．
【题型三】 多项式展开式
【典题1】 的展开式中项的系数为( )
A．840 B．－600 C．480 D．－360
【解析】 ，它展开式通项为，
对于，它展开式通项为，其中为非负整数且．
(特别注意的限制范围)
多项式展开式中的幂指数为，
求的系数，则令，
可得(舍去)，(舍去)，，(舍去)，(舍去)，
(利用的限制范围排除某些结果)
所以只有成立，
故展开式中项的系数为 ，
故选：．
【点拨】① 多项式展开式，可转化为二项式展开式，本题把看成“一项”，其实也可以把“”看成一项；
② 本题利用了二次展开式，得到最后变量的指数，此时要特别注意的限制范围.
巩固练习
1(★★) 在的展开式中，的系数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于的表示8个因式(1－x)的乘积，
故有2个因式取x，其余的因式都取1，即可得到含x2的项，
故x2的系数 28，
故选：B．
2(★★) 的展开式中的系数是 ．
【答案】－60
【解析】(x+y－z)6表示6个因式(x+y－z)的乘积，故其中有一个因式取x，
其中2个因式取y，其余的因式都取－z，
即可得到展开式中xy2z3的项，故该项的系数为 (－1)3=－60，
故答案为：－60．
3(★★) 已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则 ．
【答案】－40
【解析】∵(x2y)6表示6个因式(x2y)的乘积，
故当有3个因式取x，其余的3个因式取 时，可得它的常数项为 20=a5，
等差数列{an}的第5项是(x2y)6展开式中的常数项，则a2+a8=2a5=－40.
【题型四】系数问题
【典题1】已知，则( )
A． B．
C． D．
【解析】对于，令，则，正确；
对于，
令，则已知等式变成
，
展开式通项为， ．错误；
对于，
令，得，
令，得
，，正确；
对于，
令，得
又，，正确，
故选：．
【点拨】① 对于类似系数问题，常令或根据等式结构取其他特殊值，这样往往能够得到展开式中某些系数的关系，这个要多尝试；
② 题目中等式右边(它是以展开的)，不是我们熟悉的按来展开，那可以用换元法，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题是求解数学题的常用思考模式.
【典题2】 若，且，则下列结论正确的是( )
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
【解析】对于，
，
较易得到1，
令，可得，
，故正确；
对于，
展开式中二项式系数和为，故错误；
对于，
展开式中所有项系数和，
故正确；
对于，
，
两边求导得
，
令得，故正确．
故选：．
【点拨】对于选项，，每项的前还有个系数，在原展开式中令取什么值都无法得到这形式，对展开式两边取导数再给取数是个巧妙的方法.
巩固练习
1(★★) [多选题]已知，则( )
A．的值为 B．的值为
C．的值为 D．的值为
【答案】ABC
【解析】∵已知，
令等式中的x=0，可得a0=2，故A正确．
a5的值，即展开式中x5的系数，为，故a5=16正确．
在所给的等式中，令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=－3①，又a0=2，
∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=－5，故C正确；
在所给的等式中，令x=－1，得a0－a1+a2－a3+a4－a5+a6=243②，
由①②得：a1+a3+a5=－123，D错误．
故选：ABC．
2(★★★) [多选题]已知，则下列结论正确的有( )
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】∵（x﹣2）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+ +a10（x﹣1）10，
令x＝1，得a0＝1，故A正确，
令x＝2，得a0+a1+a2+…+a9+a10＝0，
令x＝0，得a0﹣a1+a2+…﹣a9+a10＝210，所以a0+a2+a4+a6+a8+a10512，故D正确；
令x，得a0，所以1，故C正确，
∵（x﹣2）10＝[（x﹣1）﹣1]10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+ +a10（x﹣1）10，
∴a6 （﹣1）4＝210，故B错误，
故选：ACD．
3(★★★) [多选题]已知，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】∵(2x－3)(x－2)8=a0+a1(x－1)+a2(x－1)2+a3(x－1)3+…+a9(x－1)9，
令x=1，得a0=－1，
令x=2，得a0+a1+a2+…+a9=0，所以a1+a2+…+a9=1，故A正确；
由(2x－3)(x－2)8=[2(x－1)－1][(x－1)－1]8，
所以，故B错误；
令，
得，
所以，又a0=－1，所以，故C正确；
设f(x)=(2x－3)(x－2)8=a0+a1(x－1)，
则f'(x)=2(x－2)8+8(2x－3)，
令x=2，得a1+2a2+…+9a9=0，故D正确，
故选：ACD．
【题型五】 其他应用
【典题1】证明能被整除()．
【证明】
是整数，
能被整除．
【点拨】这是整除与余数的问题，由于证明中的除数是，则要在中尽量找到与其有关信息，没直接信息与有关，而中含有的信息，这就找到了可靠的突破口，可往下演算尝试.
【典题2】 求的近似值，使误差小于．
【解析】
．
【点拨】这是求近似值，由于接近，则由进行演算.
【典题3】 求证：．
【证明】设 ①
把①式右边倒转过来得，
又由可得 ②
①+②得 ，
，
即，
原等式得证．
【点拨】这是证明“左式=右式”的题型，方法很多，
① 直接把左式化简得到右式，本题就是这样，它借鉴了数列中的“倒序相加法”，主要是留意到组合数的性质；
② 左式，右式同步化简，化简为同一结果，则左式=右式；
③ 数学归纳法对于与正整数有关的等式或不等式均较为友好.
【典题4】 用二项式定理证明：．
【证明】，，
由二项式定理可得
．
．
当时，，
时，．
【点拨】不等式的证明常用的方法有放缩法，而二项式的展开式是放缩法中的一种方式，展开式中有多项，那可有选择的把“影响大的项”留下，去除“影响小的项”，从而达到放缩的目的，留“几项”就看放缩的要求了，在求近似值也是类似的方法.
巩固练习
1(★★) 若是正奇数，则被除的余数为( )
A．2 B．5 C．7 D．8
【答案】C
【解析】∵n是正奇数，
则
，
它被除的余数为，即它被除的余数为，
故选：．
2(★★) 用二项式定理证明：能被整除．
【证明】1110－1=(10+1)10－1
=(1010 109 10+1)－1=1010 109 108+…+102
=100(108 107 106+…+1)．
∴1110－1能被100整除．
3(★★)求的近似值(精确到小数点后三位)．
【答案】1.17
【解析】1.028=(1+0.02)8=1+C81×0.02+C82×0.022+…≈1+0.16+0.0112≈1.17．
4(★★) 求和．
【答案】
【解析】∵an=3n+1为等差数列，∴a0+an=a1+an－1=…，
而，(运用反序求和方法)，
∵①，
∴②，
①+②得，
∴．
5(★★) 用二项式定理证明：．
【证明】由题意可得，k+1为正整数，即k为自然数，
∵(1)k+1
1+1=2，
当k=0时，取等号，
即(1)k+1≥2成立．
6 (★★★) 记为二项展开式中的项的系数，其中，．
(1)求，，
(2)证明：．
【答案】（1），，（2）见解析
【解析】(1)∵(ax+1)n二项展开式中的x3项的系数为．
∴f(a)，则，，；
证明：(2)由(1)得，(13+23+…+n3)．
首先利用数学归纳法证明(n≥3)．
①当n=3时，，
②假设当n=k(k≥3且k∈N*)时，结论成立，即．
那么，当n=k+1时，13+23+…+k3+(k+1)3
．
∴对任意不小于3的正整数n，均有，
∴
．
故．
