条件概率与全概率公式
1 条件概率
① 定义
一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率.
PS
(1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即
(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率)
Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是.
(2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有；
② 概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则
设，则
(1)；
(2) 如果和互斥，那么 ；
(3) 设和互为对立事件，则.
2 全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有
我们称它为全概率公式.
贝叶斯公式：
设
【题型一】 求条件概率
【典题1】某校从学生文艺部名成员(男女)中，挑选人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
【典题2】已知箱中共有个球，其中红球、黄球、蓝球各个．每次从该箱中取个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件：“三次取到的球颜色都相同”，则=（ ）
A． B． C． D．1
巩固练习
1(★) [多选题]下列说法有可能成立的是( )
A． B．
C． D．
2(★) 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为( )
A．0.495% B．0.9405% C．0.9995% D．0.99%
3(★) 将四颗骰子各掷一次，记事件“四个点数互不相同”，“至少出现一个5点”，则概率等于( )
A． B． C． D．
4(★★) 袋中有个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求：
(1)第一次摸到红球的概率；
(2)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
(3)第二次摸到红球的概率．
【题型二】 全概率公式、贝叶斯公式的运用
【典题1】(1) 在12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，求任取2件产品皆为正品的概率.
(2) 在12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率.
【典题2】用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧毁的概率.
【典题3】 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于个外卖店(外卖店的编号分别为，其中，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，则 ，与的关系式为 ．
巩固练习
1(★★) 从中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是的倍数,求甲数大于乙数的概率 .
2(★★) 从数字中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，
则 .
3(★★) 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，第二次抽出的是黑球的概率为 .
4(★★) 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为，今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为 .
5(★★) 有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球．
(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；
(2)从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．
6(★★★) 袋中装有8只红球 , 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.
(1)取出的两只球都是红球;
(2)取出的两只球都是黑球;
(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;
(4)第二次取出的是红球.条件概率与全概率公式
1 条件概率
① 定义
一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率.
PS
(1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即
(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率)
Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是.
(2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有；
② 概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则
设，则
(1)；
(2) 如果和互斥，那么 ；
(3) 设和互为对立事件，则.
2 全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有
我们称它为全概率公式.
贝叶斯公式：
设
【题型一】 求条件概率
【典题1】某校从学生文艺部名成员(男女)中，挑选人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
【解析】(1)从6名成员中挑选2名成员，共有种情况，
记“男生甲被选中”为事件，事件所包含的基本事件数为种，故．
(2)记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则，
由(1)知，故．
(3)记“挑选的2人一男一女”为事件，则，
“女生乙被选中”为事件B，，故．
【点拨】① 第一问是古典概型；② 第二、问是条件概率.
【典题2】已知箱中共有个球，其中红球、黄球、蓝球各个．每次从该箱中取个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件：“三次取到的球颜色都相同”，则=（ ）
A． B． C． D．1
【解析】方法一
由题意
，故选.
方法二
(事件分为①第一，二次摸球同色，与第三次球不同色，②三次颜色一样)
点评：求条件概率，可以使用或，一般情况下用更简单.
巩固练习
1(★) [多选题]下列说法有可能成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，P(B|A，变形可得P(AB)=P(B|A)P(A)，
而P(A)≤1，则P(B|A)≥P(AB)，A错误，
对于B，P(B|A，变形可得P(AB)=P(B|A)P(A)，
当P(A)=1时，有P(B)=P(A)P(B|A)，B正确，
对于C，当A、B是相互独立事件时，P(AB)=P(A) P(B)，C正确，
对于D，当A、B是互斥事件时，P(A|B)=P(B|A)=0，D正确，
故选：BCD．
2(★) 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为( )
A．0.495% B．0.9405% C．0.9995% D．0.99%
【答案】A
【解析】设事件A表示“患某种疾病”，设事件B表示“血检呈阳性”，
则P(A)=0.5%，P(B|A)=99%，
∴患该种疾病且血检呈阳性的概率为：
P(AB)=0.5%×99%=0.495%．
故选：A．
3(★) 将四颗骰子各掷一次，记事件“四个点数互不相同”，“至少出现一个5点”，则概率等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，记事件A=“四个点数互不相同”，B=“至少出现一个5点”，
则P(AB，P(A，
则P(B|A，
故选：A．
4(★★) 袋中有个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求：
(1)第一次摸到红球的概率；
(2)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
(3)第二次摸到红球的概率．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】根据题意，设事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到红球，
则事件：第一次摸到白球．
(Ⅰ)袋中有10个球，第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以 ，
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，，前两次都摸到红球的概率P(AB，
则P(B|A；
(Ⅲ) ，则P1﹣P(A，PB，
则P(B)=P(AB)+PB；
所以第二次摸到红球的概率．
【题型二】 全概率公式、贝叶斯公式的运用
【典题1】(1) 在12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，求任取2件产品皆为正品的概率.
(2) 在12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率.
【解析】 令先取的1件是次品，,，
令后取的2件皆为正品，则，
(1) 由全概率公式得.
(2) 由贝叶斯公式得.
点评
① 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果未知，那么：
(1) 如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；
(2) 如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率.
熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
② 本试验视为分成两个阶段，第一阶段是“先取1件”，结果未知；第二阶段是“在剩下的11件中再取2件”，结果已知：都是正品.
求“任取2件产品皆为正品的概率”，用全概率公式；
求第一阶段中“先取1件为次品的概率”，用贝叶斯公式.
【典题2】用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧毁的概率.
【解析】 设事件次命中目标，事件目标被命中弹
事件目标被摧毁，
依题意得
由由于三次射击时相互独立的，所以
,
,
由全概率公式可得
.
【典题3】 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于个外卖店(外卖店的编号分别为，其中，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，则 ，与的关系式为 ．
【解析】由于约定外卖小哥“首先从1号外卖店取单”，所以肯定有，
根据“游戏规则”，第二次取单肯定不会1号店了，故；
第二次是1号外的一家店取单，那第三次在剩下的家店中随机得到1号店取单的概率当然是，即；
第次是否“从1号店取单”，取决于第次的情况，
(--在第次不是从号店取单条件下第次从号店取单的概率为，--第次从号店取单下第次从号店取单的概率当然为)
故答案为：；．
巩固练习
1(★★) 从中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是的倍数,求甲数大于乙数的概率 .
【答案】
【解析】设事件{甲取到的数比乙的大}甲取到的数是的倍数，
则显然所要求的概率为
,,
.
2(★★) 从数字中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，
则 .
【答案】
【解析】由离散型随机变量的概率分布有
由题意得，，，
，
则根据全概率公式得到
.
3(★★) 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，第二次抽出的是黑球的概率为 .
【答案】
【解析】设第一次抽出的是黑球，第二次抽出的是黑球，
由题意得,
有分解，
由全概率公式得
.
4(★★) 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为，今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为 .
【答案】
【解析】设中途停车修理，经过的是货车，经过的是客车，则，由贝叶斯公式有
.
5(★★) 有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球．
(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；
(2)从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】(1)根据题意，记事件A1：从甲箱中取一球为红球，事件A2：从乙箱中取一球为红球，事件A3：从丙箱中取一球为红球，
记事件B：取得的三球都为红球，且事件A1，A2，A3相互独立，
所以，
所以三球都为红球的概率为．
(2)记事件C：该球为红球，事件D1：取甲箱，事件D2：取乙箱，事件D3：取丙箱
因为，
所以P(C)=P(D1) P(C|D1)+P(D2) P(C|D2)+P(D3) P(C|D3，
所以该球为红球的概率为．
6(★★★) 袋中装有8只红球 , 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.
(1)取出的两只球都是红球;
(2)取出的两只球都是黑球;
(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;
(4)第二次取出的是红球.
【答案】（1） （2） （3）（4）
【解析】设事件{第一次取到的红球}，事件
(1) 要求的是,根据题意，,
.
(2) 要求的是,根据题意，,
.
(3)要求的是取出一只红球一只黑球，它包括两种情况，即求
,
;
;
(4)要求第二次取出红球，即求
.
